高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算课件 理 新人教A版.ppt

第1讲导数的概念及运算 知识梳理 2 几何意义 函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是在曲线y f x 上点 处的 相应地 切线方程为 2 函数y f x 的导函数如果函数y f x 在开区间 a b 内的每一点处都有导数 其导数值在 a b 内构成一个新函数 这个函数称为函数y f x 在开区间内的导函数 记作f x 或y x0 f x0 切线的斜率 y y0 f x0 x x0 3 基本初等函数的导数公式 0 x 1 cosx sinx ex axlna f x g x f x g x f x g x yu ux y对u u对x 1 判断正误 在括号内打 或 1 f x0 与 f x0 表示的意义相同 2 求f x0 时 可先求f x0 再求f x0 3 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点 4 若f x e2x 则f x e2x 诊断自测 答案A 3 2014 新课标全国 卷 设曲线y ax ln x 1 在点 0 0 处的切线方程为y 2x 则a A 0B 1C 2D 3 答案D 4 设函数f x 在 0 内可导 且f ex x ex 则f 1 答案2 5 2015 全国 卷 已知函数f x ax3 x 1的图象在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则a 解析 f x 3ax2 1 f 1 3a 1 又f 1 a 2 切线方程为y a 2 3a 1 x 1 切线过点 2 7 7 a 2 3a 1 解得a 1 答案1 考点一导数的运算 规律方法 1 熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提 求导之前 应利用代数 三角恒等式等变形对函数进行化简 然后求导 这样可以减少运算量提高运算速度 减少差错 2 如函数为根式形式 可先化为分数指数幂 再求导 复合函数求导 应先确定复合关系 由外向内逐层求导 必要时可换元处理 考点二导数的几何意义 例2 已知函数f x x3 4x2 5x 4 1 求曲线f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 求经过点A 2 2 的曲线f x 的切线方程 解 1 f x 3x2 8x 5 f 2 1 又f 2 2 曲线在点 2 f 2 处的切线方程为y 2 x 2 即x y 4 0 2 设曲线与经过点A 2 2 的切线相切于点P x0 x 4x 5x0 4 f x0 3x 8x0 5 切线方程为y 2 3x 8x0 5 x 2 又切线过点P x0 x 4x 5x0 4 x 4x 5x0 2 3x 8x0 5 x0 2 整理得 x0 2 2 x0 1 0 解得x0 2或1 经过A 2 2 的曲线f x 的切线方程为x y 4 0 或y 2 0 规律方法 1 导数f x0 的几何意义就是函数y f x 在点P x0 y0 处的切线的斜率 切点既在曲线上 又在切线上 切线有可能和曲线还有其他的公共点 2 曲线在点P处的切线 是以点P为切点 曲线过点P的切线 则点P不一定是切点 此时应先设出切点坐标 3 当曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线垂直于x轴时 函数在该点处的导数不存在 切线方程是x x0 训练2 1 2014 广东卷 曲线y e 5x 2在点 0 3 处的切线方程为 2 2015 全国 卷 已知曲线y x lnx在点 1 1 处的切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 则a 答案 1 5x y 3 0 2 8 考点三导数几何意义的综合应用 例3 2016 曲师大附中模拟 已知函数f x 2x3 3x 1 求f x 在区间 2 1 上的最大值 2 若过点P 1 t 存在3条直线与曲线y f x 相切 求t的取值范围 规律方法解决本题第 2 问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程 可将问题等价转化为关于x0的方程有三个不同的实根 构造函数后 利用函数的单调性求极值 通过数形结合方法找到t满足的条件即可 解析 1 由题意得 f x 3x2 3 设切点为 x0 x 3x0 那么切线的斜率为k 3x 3 利用点斜式方程可知切线方程为y x 3x0 3x 3 x x0 将点A 2 1 代入可得关于x0的一元三次方程2x 6x 7 0 令y 2x 6x 7 则y 6x 12x0 由y 0得x0 0或x0 2 当x0 0时 y 7 0 x0 2时 y 1 0 结合函数y 2x 6x 7的单调性可得方程2x 6x 7 0有3个解 故过点A 2 1 作曲线f x x3 3x的切线最多有3条 故选A 答案 1 A 2 2 思想方法 1 f x0 代表函数f x 在x x0处的导数值 f x0 是函数值f x0 的导数 而函数值f x0 是一个常量 其导数一定为0 即 f x0 0 2 对于函数求导 一般要遵循先化简再求导的基本原则 求导时 不但要重视求导法则的应用 而且要特别注意求导法则对求导的制约作用 在实施化简时 首先必须注意变换的等价性 避免不必要的运算失误 对于复合函数求导 关键在于分清复合关系 适当选取中间变量 然后 由外及内 逐层求导 易错防范 1 利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式 x x 1与指数函数的求导公式 ax axlna混淆 2 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征 直线与曲线只有一个公共点 不能说明直线就是曲线的切线 反之 直线是曲线的切线 也不能说明直线与曲线只有一个公共点 3 曲线未必在其切线的 同侧 例如直线y 0是曲线y x3在点 0 0 处的切线