高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理.ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 4 常用的数学方法与思想数形结合思想 转化与化归思想 1 下列命题 若直线l垂直于平面 内的两条直线 则l 若直线l垂直于平面 内的无数条直线 则l 若直线l垂直于平面 内的任意一条直线 则l 若l 则直线l垂直于平面 内的无数条直线 其中真命题的个数是 A 4B 3C 2D 11 C 解析 都要求平面 内的直线相交 所以均错误 由线面垂直的定义可知 正确 2 如果一条直线l与平面 的一条垂线垂直 那么直线l与平面 的位置关系是 A l B l C l D l 或l 2 D3 二面角是指 A 两个平面相交的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形C 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形D 以两个相交平面交线上任意一点为端点 在两个平面内分别引垂直于交线的射线 这两条射线所成的角3 C 4 不能肯定两个平面一定垂直的情况是 A 两个平面相交 所成二面角是直二面角 B 一个平面经过另一个平面的一条垂线 C 一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 D 平面 内的直线a与平面 内的直线b是垂直的 4 D5 2015 浙江新阵地教育研究联盟联考 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列四个命题中正确的是 A m n 则m nB m n m n 则 C m n 则m nD m n 则m n5 B 解析 若 m n 则m n可能平行 相交或异面 所以A不正确 由线面垂直的性质和面面垂直的判定可知B正确 若 m n 则m n C不正确 若 m n 则m n可能平行 相交或异面 所以D不正确 6 如图 P是正方形ABCD所在平面外的一点 PA AB 且PA 平面ABCD 则在 PAB PBC PCD PAD PAC及 PBD中 直角三角形有个 6 5 解析 因为PA 平面ABCD 所以 PAB PAD PAC是直角三角形 又BC PAB 则 PBC是直角三角形 CD 平面PAD 则 PCD是直角三角形 设BD AC交于点O 则PO AO BO 则可证 PBD不是直角三角形 故有5个直角三角形 典例1 1 2015 安徽高考 已知m n是两条不同直线 是两个不同平面 则下列命题正确的是 A 若 垂直于同一平面 则 与 平行B 若m n平行于同一平面 则m与n平行C 若 不平行 则在 内不存在与 平行的直线D 若m n不平行 则m与n不可能垂直于同一平面 解题思路 A中 垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行 故A错误 B中 平行于同一个平面的两条直线可以平行 相交或异面 故B错误 C中 两个平面相交时 其中的一个平面内的直线只要平行于交线时就一定和另外一个平面平行 故C错误 D中 反面思考可知 如果两条直线垂直于同一个平面 则这两条直线平行 若两条直线不平行 则它们不可能垂直于同一平面 D正确 参考答案 D 2 2015 福州质检 直线l垂直于平面 的一个必要不充分条件是 A 直线l与平面 内的任意一条直线垂直B 过直线l的任意一个平面与平面 垂直C 存在平行于直线l的直线与平面 垂直D 经过直线l的某一个平面与平面 垂直 解题思路 利用空间直线与平面位置关系的概念 判定定理和性质定理 结论等逐一判断 A B C均为充要条件 因为 直线l垂直于平面 可以推出 经过直线l的某一个平面与平面 垂直 反之未必成立 故D选项正确 参考答案 D 变式训练 2015 金华十校模拟 若m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 则下列命题中为真命题的是 A 若m 则m B 若 m n m n 则 C 若m m 则 D 若 则 C 解析 若m 则m 位置关系不确定 可能平行 相交或m在平面 上 A错误 若 m n m n 则 或 相交 B错误 由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可得C正确 若 则 可能平行或相交 D错误 典例2 2016 吉林实验中学四模 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 AC BC AB BB1 AC BC BB1 2 D为AB的中点 且CD DA1 1 求证 BB1 平面ABC 2 求证 BC1 平面CA1D 3 求三棱锥B1 A1DC的体积 解题思路 利用线面垂直的判定定理和平行线的性质证明 变式训练 2015 常州监测 如图 四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形 平面PBD 平面ABCD PB PD PA PC CD PC O M分别是BD PC的中点 连接OM 求证 1 OM 平面PAD 2 OM 平面PCD 解析 1 连接AC 因为ABCD是平行四边形 所以O为AC的中点 在 PAC中 因为O M分别是AC PC的中点 所以OM PA 因为OM 平面PAD PA 平面PAD 所以OM 平面PAD 2 连接PO 因为O是BD的中点 PB PD 所以PO BD 又因为平面PBD 平面ABCD 平面PBD 平面ABCD BD PO 平面PBD 所以PO 平面ABCD 从而PO CD 又因为CD PC PC PO P PC 平面PAC PO 平面PAC 所以CD 平面PAC 因为OM 平面PAC 所以CD OM 因为PA PC OM PA 所以OM PC 又因为CD 平面PCD PC 平面PCD CD PC C 所以OM 平面PCD 命题角度2 直线与平面垂直的性质定理的应用典例3已知AD AB AD AC AE BC交BC于点E D为FG的中点 AF AG EF EG 求证 BC FG 解题思路 证明BC FG同时垂直于一个平面 利用线面垂直的性质定理证明 参考答案 因为AD AB AD AC AB AC A 所以AD 平面ABC 又BC 平面ABC 所以AD BC 又AE BC AD AE A 得BC 平面ADE 连接DE 又因为D为FG的中点 AF AG EF EG 所以FG AD FG DE AD DE D 所以FG 平面ADE 所以BC FG 变式训练 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 EF与异面直线AC A1D都垂直相交 求证 EF BD1 解析 如图所示 连接AB1 B1C BD 因为DD1 平面ABCD AC 平面ABCD 所以DD1 AC 又因为BD AC DD1 BD D 所以AC 平面BDD1B1 所以AC BD1 同理可证BD1 B1C 又AC B1C C 所以BD1 平面AB1C 因为EF A1D 又A1D B1C 所以EF B1C 因为EF AC AC B1C C 所以EF 平面AB1C 所以EF BD1 典例4 2016 哈尔滨六中月考 如图 已知棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形 且AA1 平面ABCD DAB 60 AD AA1 1 F为棱AA1的中点 M为线段BD1的中点 1 求证 平面D1FB 平面BDD1B1 2 求三棱锥D1 BDF的体积 解题思路 1 利用判定定理法证两平面垂直 2 利用转换底面法求三棱锥D1 BDF的体积 典例5 2015 广东高考 如图 三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直 PD PC 4 AB 6 BC 3 点E是CD边的中点 点F G分别在线段AB BC上 且AF 2FB CG 2GB 1 证明 PE FG 2 求二面角P AD C的正切值 3 求直线PA与直线FG所成角的余弦值 解题思路 1 通过等腰三角形底边中线垂直底边可得 2 由面面垂直得 PDC即为二面角P AD C的平面角 求解即可 3 连接AC 结合已知条件可知连线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角 应用勾股定理与余弦定理求解 位置关系中的转化思想典例空间四边形PABC中 PA PB PC两两相互垂直 PBA 45 PBC 60 M为AB的中点 1 求BC与平面PAB所成的角 2 求证 AB 平面PMC 解题思路 先考虑数量关系及计算 发现解题思路 针对训练 如图 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中 O是AC BD的交点 E F分别是AB与AD的中点 1 求证 OD1 A1C1 2 求异面直线EF与A1C1所成角的大小 解析 1 A1C1 AC OD1与AC所成的锐角或直角就是OD1与A1C1所成的角 连接AD1 CD1 AA1 CC1 A1D1 C1D1 AA1D1 CC1D1 90 AA1D1 CC1D1 AD1 CD1 AD1C是等腰三角形 O是底边AC的中点 OD1 AC 故OD1与A1C1所成的角是90 OD1 A1C1 2 E F分别是AB AD的中点 EF BD 又 A1C1 AC AC与BD所成的锐角或直角就是EF与A1C1所成的角 四边形ABCD是正方形 AC BD EF与A1C1所成的角为90