高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用课件 理.ppt

第七章不等式 7 4基本不等式及其应用 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 易错警示系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 基本不等式成立的条件 2 等号成立的条件 当且仅当时取等号 a 0 b 0 a b 2ab 2 知识梳理 1 答案 答案 3 算术平均数与几何平均数设a 0 b 0 则a b的算术平均数为 几何平均数为 基本不等式可叙述为 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 4 利用基本不等式求最值问题已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当时 x y有最值 简记 积定和最小 2 如果和x y是定值p 那么当且仅当时 xy有最值 简记 和定积最大 x y 小 x y 大 答案 思考辨析 答案 1 设x 0 y 0 且x y 18 则xy的最大值为 当且仅当x y 9时 xy max 81 81 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析由log2x log2y 1得xy 2 又x y 0 4 解析答案 1 2 3 4 5 解析当x 2时 x 2 0 即x 3时取等号 即当f x 取得最小值时 x 3 即a 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 4 若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地 则矩形场地的最大面积是 m2 25 当且仅当x 10 x 即x 5时 ymax 25 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知x y R 且x 4y 1 则xy的最大值为 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 命题点1配凑法求最值 1 题型一利用基本不等式求最值 解析答案 解析答案 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 1 应用基本不等式解题一定要注意应用的前提 一正 二定 三相等 所谓 一正 是指正数 二定 是指应用基本不等式求最值时 和或积为定值 三相等 是指满足等号成立的条件 2 在利用基本不等式求最值时 要根据式子的特征灵活变形 配凑出积 和为常数的形式 然后再利用基本不等式 例2 1 若正数x y满足x 3y 5xy 则3x 4y的最小值是 命题点2常数代换或消元法求最值 解析答案 3x 4y的最小值是5 解析答案 解析答案 答案5 解析答案 思维升华 解析 a b 2 解析答案 思维升华 又a b 2 b 0 答案 2 思维升华 思维升华 条件最值的求解通常有两种方法 一是消元法 即根据条件建立两个量之间的函数关系 然后代入代数式转化为函数的最值求解 二是将条件灵活变形 利用常数 1 代换的方法构造和或积为常数的式子 然后利用基本不等式求解最值 跟踪训练1 解析答案 解得m 4 答案4 2 已知x 0 y 0 x 3y xy 9 则x 3y的最小值为 解析答案 方法一 消元法 x 0 y 0 y 3 解析答案 即y 1 x 3时 x 3y min 6 解析答案 方法二 x 0 y 0 当且仅当x 3y时等号成立 设x 3y t 0 则t2 12t 108 0 t 6 t 18 0 又 t 0 t 6 故当x 3 y 1时 x 3y min 6 答案6 命题点1用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题 题型二基本不等式与学科知识的综合 解析答案 解析圆x2 y2 2y 5 0化成标准方程 得x2 y 1 2 6 所以圆心为C 0 1 因为直线ax by c 1 0经过圆心C 所以a 0 b 1 c 1 0 即b c 1 解析答案 因为b c 0 答案9 当且仅当a b 1时 等号成立 4 解析答案 命题点2求参数的值或取值范围 m 12 m的最大值为12 12 解析答案 思维升华 思维升华 1 应用基本不等式判断不等式是否成立 对所给不等式 或式子 变形 然后利用基本不等式求解 2 条件不等式的最值问题 通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 3 求参数的值或范围 观察题目特点 利用基本不等式确定相关成立条件 从而得参数的值或范围 跟踪训练2 解析答案 解析由各项均为正数的等比数列 an 满足a7 a6 2a5 可得a1q6 a1q5 2a1q4 所以q2 q 2 0 解得q 2或q 1 舍去 解析答案 解析答案 解析对任意x N f x 3恒成立 例5运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米 按交通法规限制50 x 100 单位 千米 时 假设汽油的价格是每升2元 而汽车每小时耗油 2 升 司机的工资是每小时14元 1 求这次行车总费用y关于x的表达式 题型三不等式的实际应用 解析答案 2 当x为何值时 这次行车的总费用最低 并求出最低费用的值 解析答案 思维升华 思维升华 1 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 2 根据实际问题抽象出函数的解析式后 只需利用基本不等式求得函数的最值 3 在求函数的最值时 一定要在定义域 使实际问题有意义的自变量的取值范围 内求解 1 写出年利润L x 万元 关于年产量x 千件 的函数解析式 跟踪训练3 解析答案 当x 80时 解当0 x 80时 2 当年产量为多少千件时 该厂在这一商品的生产中所获利润最大 对称轴为x 60 即当x 60时 L x 最大 950 万元 当且仅当x 100时 L x 最大 1000 万元 综上所述 当x 100时 年获利最大 解析答案 返回 易错警示系列 易错警示系列 9 忽视最值取得的条件致误 解析答案 易错分析 解析 x 0 y 0 温馨提醒 解析答案 返回 易错分析 解析 x 0 温馨提醒 温馨提醒 1 利用基本不等式求最值 一定要注意应用条件 2 尽量避免多次使用基本不等式 若必须多次使用 一定要保证等号成立的条件一致 返回 思想方法感悟提高 1 基本不等式具有将 和式 转化为 积式 和将 积式 转化为 和式 的放缩功能 常常用于比较数 式 的大小或证明不等式 解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点 选择好利用基本不等式的切入点 方法与技巧 方法与技巧 1 使用基本不等式求最值 一正 二定 三相等 三个条件缺一不可 2 连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 故 不正确 运用基本不等式时需保证 一正 二定 三相等 而当x k k Z时 sinx的正负不定 故 不正确 由基本不等式可知 正确 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析因为a b R时 都有a2 b2 2ab a b 2 0 必要不充分 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以log4 3a 4b log4ab 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 已知正数x y满足x 2y xy 0 则x 2y的最小值为 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 已知x 0 y 0 且4xy x 2y 4 则xy的最小值为 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意知 z x2 3xy 4y2 当且仅当x 2y时取等号 此时z xy 2y2 所以x 2y z 2y 2y 2y2 2y2 4y 2 y 1 2 2 2 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x 3 所以x 3 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 若关于x的方程9x 4 a 3x 4 0有解 则实数a的取值范围是 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 已知x 0 y 0 且2x 5y 20 1 求u lgx lgy的最大值 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 x 0 y 0 2x 5y 20 当且仅当2x 5y时 等号成立 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 此时xy有最大值10 u lgx lgy lg xy lg10 1 当x 5 y 2时 u lgx lgy有最大值1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 x 0 y 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由已知得 3a 2b 0 c 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 2 2 4 当且仅当a 5c 0 ab 1 a a b 1时 等号成立 答案4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 已知x y R且满足x2 2xy 4y2 6 则z x2 4y2的取值范围为 x2 4y2 4 当且仅当x 2y时取等号 又 x 2y 2 6 2xy 0 即2xy 6 z x2 4y2 6 2xy 12 当且仅当x 2y时取等号 综上可知4 x2 4y2 12 4 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意知3a 3b 3 即3a b 3 a b 1 a 0 b 0 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 求该城市的旅游日收益W t 万元 与时间t 1 t 30 t N 的函数关系式 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 求该城市旅游日收益的最小值 所以t 1 30 时 W t 的最小值为441万元 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16