高考数学一轮复习 几何证明选讲课件 湘教版选修4-1.ppt

4 1 1相似三角形的判定及有关性质4 1 2直线与圆的位置关系 选修4 1几何证明选讲 知识点 考纲下载 相似三角形 1 理解相似三角形的定义与性质 了解平行截割定理 2 会证明和应用直角三角形射影定理 直线与圆 会证明和应用以下定理 1 圆周角定理 2 圆的切线的判定定理及性质定理 3 相交弦定理 4 圆内接四边形的性质定理与判定定理 5 切割线定理 4 1 1相似三角形的判定及有关性质 1 平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段 那么在其他直线上截得的线段也 推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论2经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线 相等 相等 平分第三边 平分另一腰 2 平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线 所得的 成比例 推论平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的 成比例 思考探究 使用平行截割定理时要注意什么 提示 要注意对应线段 对应边对应成比例 不要乱对应顺序 对应线段 对应线段 3 相似三角形的判定及性质 1 相似三角形的判定定义 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形对应边的比值叫做相似比 或相似系数 预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 对应角相等 判定定理1对于任意两个三角形 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 对应相等 那么这两个三角形相似 简述为 两角对应相等 两三角形相似 判定定理2对于任意两个三角形 如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应 并且夹角相等 那么这两个三角形相似 简述为 两边对应 且夹角相等 两三角形相似 判定定理3对于任意两个三角形 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 那么这两个三角形相似 简述为 三边对应 两三角形相似 两个角 成比例 成比例 成比例 成比例 2 两个直角三角形相似的判定定理 如果两个直角三角形的一个锐角对应 那么它们相似 如果两个直角三角形的两条直角边对应 那么它们相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应 那么这两个直角三角形相似 相等 成比例 成比例 3 相似三角形的性质性质定理 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于 相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于 相似三角形外接圆 或内切圆 的直径比 周长比等于相似比 外接圆 或内切圆 的面积比等于 相似比 相似比 相似比的平方 相似比的平方 比例中项 比例中项 1 如图所示 在 ABC中 MN DE DC 若AE EC 7 3 则DB AB的值为 A 3 7B 7 3C 3 10D 7 10 解析 MN DE BC AD DB AE EC 7 3 AD DB DB 7 3 3 AB DB 10 3 DB AB 3 10 故选C 答案 C 2 2014 锦州模拟 如图 锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O 则与 DOB相似的三角形个数是 A 1B 2C 3D 4 解析 因为CD和BE是高 可得 DCA EBA 所以 BOD与 COE CAD BAE相似 故选C 答案 C 3 2014 广州模拟 如图 已知在平行四边形ABCD中 O1 O2 O3为对角线BD上三点 且BO1 O1O2 O2O3 O3D 连接AO1并延长交BC于点E 连接EO3并延长交AD于F 则AD FD A 9 2B 9 1C 8 1D 7 1 解析 在平行四边形ABCD中 BE DF BO1 O1O2 O2O3 O3D BE DF O3B O3D 3 1 同理AD BE O1D O1B 3 1 AD FD 9 1 答案 B 4 2013 西安模拟 如图 在 ABC中 M N分别是AB BC的中点 AN CM交于点O 那么 MON与 AOC面积的比是 平行线分线段成比例定理的应用 1 充分利用已知条件的比例作出相应的平行线段是关键 2 有关两线段的比值的问题 除了应用平行线分线段成比例定理外 也可利用相似三角形的判定和性质求解 3 注意观察图形特点 巧添辅助线 相似三角形的性质与判定定理 1 相似三角形的判定主要是依据三个判定定理 结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系 2 相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素 如两个三角形的高 周长 角平分线 中线 面积 外接圆的直径 内切圆的面积等 如图 已知在 ABC中 点D是BC边上的中点 且AD AC DE BC DE与AB相交于点E EC与AD相交于点F 1 求证 ABC FCD 2 若S FCD 5 BC 10 求DE的长 解析 1 证明 DE BC D是BC边上的中点 EB EC B ECD 又AD AC ADC ACD ABC FCD 2 过点A作AM BC 垂足为点M DM 1 2DC 5 2 则BM BD DM 5 5 2 15 2 ABC FCD BC 2CD S ABC S FCD BC CD 2 4 又 S FCD 5 S ABC 20 又S ABC 1 2 BC AM 1 2 10 AM 20 解得AM 4 又DE AM DE AM BD BM DE 4 解得DE 变式训练 2 如图 在梯形ABCD中 AD BC AB CDDE CA 且交BA的延长线于E 求证 ED CD EA BD 证明 在梯形ABCD中 AB DC ABC DCB 又BC BC ABC DCB BAC BDC AC ED AD BC E BAC BDC EAD ABC DCB EAD DCB EADC EDDB 即ED CD EA BD 直角三角形射影定理的应用 1 在使用直角三角形射影定理时 要学会将 乘积式 转化为相似三角形中的 比例式 2 证题时 要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法 运用相似三角形的性质解题关键在于求出相似比 在具体论证过程中 往往是判定定理和性质定理结合运用 由判定三角形相似得到角相等或对应线段成比例 本章内容在高考中属容易题 通常考查平行线分线段成比例定理 射影定理和相似三角形相关性质 更多是与其他结合作为解决几何问题的工具使用 2013 陕西卷 如图 AB与CD相过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P 已知 A C PD 2DA 2 则PE 规范解答 PE BC C PED 又 C A 则有 A PED 又 P为公共角 所以 PDE PEA 则PDPE PEPA 即PE2 PD PA 2 3 6 故PE 答案 阅后报告 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理 特别要注意对应角和对应边 证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题 1 2014 天津卷 BAC的平分线交圆于点D 交BC于点E 过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F 在上述条件下 给出下列四个结论 BD平分 CBF FB2 FD FA AE CE BE DE AF BD AB BF 则所有正确结论的序号是 A B C D 解析 如图所示 1 3 2 4 且 1 2 4 3 1 BD平分 CBF ABF BDF AB BD AF BF AF BF BF DF AB BF AF BD BF2 AF DF 故 正确 答案 D 2 2014 广东卷 如图所示 在平行四边形ABCD中 点E在AB上且EB 2AE AC与DE交于点F 则S CDF S AEF 解析 本题考查相似三角形的性质定理 面积比等于相似比的平方 EB 2AE AE 1 3AB 1 3CD 又 四边形ABCD是平行四边形 AEF CDF S CDF S AEF CD AE 2 9 答案 9 3 2014 陕西卷 如图 ABC中 BC 6 以BC为直径的半圆分别交AB AC于点E F 若AC 2AE 则EF 解析 由题意 可知 AEF ACB 又 A A 所以 AEF ACB 所以AE AC EF BC 因为AC 2AE BC 6 所以EF 3 答案 3 课时作业4 1 1 4 1 2直线与圆的位置关系 1 圆周角定理 1 圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 2 圆心角定理圆心角的度数等于 推论1同弧或等弧所对的圆周角 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也 推论2半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弦是 一半 它所对弧 的度数 相等 相等 直角 直径 2 圆内接四边形的性质与判定定理 1 性质定理1圆的内接四边形的对角 定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的 2 判定判定定理如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点 推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点 互补 对角 共圆 共圆 3 圆的切线的性质及判定定理 1 性质性质定理圆的切线垂直于经过切点的 推论1经过圆心且垂直于切线的直线必过 推论2经过切点且垂直于切线的直线必过 2 判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 4 弦切角的性质定理弦切角等于它所夹的弧所对的 半径 切点 圆心 切线 圆周角 5 与圆有关的比例线段 1 相交弦定理圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的 相等 2 割线定理从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 相等 3 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 4 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的 积 积 比例中项 夹角 2 2014 天津模拟 如图 ACB 90 CD AB于点D 以BD为直径的圆与BC交于点E 则 A CE CB AD DBB CE CB AD ABC AD AB CD2D CE EB CD2 解析 由切割线定理可知CE CB CD2 又由射影定理可知AD DB CD2 CE CB AD DB 故选A 答案 A 5 2014 湛江调研 如图所示 AB是 O的直径 直线CB切 O于点B 直线CD切 O于点D CD交BA的延长线于点E 若AB 3 ED 2 则BC的长为 解析 由切割线定理 得DE2 EA EB 即4 EA EA 3 解得EA 1 设BC x 则CD x 在 BCE中 根据勾股定理 得 2 x 2 x2 42 解得x 3 故BC的长为3 答案 3 圆内接四边形的性质与判定定理 证明多点共圆 当它们在一条线段同侧时 可证它们对此线段张角相等 也可以证明它们与某一定点距离相等 如两点在一条线段异侧 则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补 弦切角和圆周角 1 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 从而证明三角形全等或相似 可求线段或角的大小 2 涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化 关于圆周上的点 常作直径 或半径 或向弦 弧 两端作圆周角或弦切角 圆的切线的性质及判定定理 利用圆的切线的判定定理判定直线与圆的位置关系 经过半径的外端且与此半径垂直的直线是圆的切线 从而可转化为证明线线垂直 如图 在Rt ABC中 C 90 BE平分 ABC交AC于点E 点D在AB上 DE EB 且AD AE 6 1 判断直线AC与 BDE的外接圆的位置关系 2 求EC的长 解析 1 取BD的中点O 连接OE 则DO OB OE OBE BEO BE平分 ABC CBE OBE CBE BEO BC OE C 90 OE AC 直线AC是 BDE的外接圆的切线 即直线AC与 BDE的外接圆相切 2 设 BDE的外接圆的半径为r 在 AOE中 OA2 OE2 AE2 与圆有关的比例线段 1 应用相交弦定理 切割线定理要抓住几个关键内容 如线段成比例与相似三角形 圆的切线及其性质 与圆有关的相似三角形等 2 相交弦定理 切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明 解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角 弦切角 圆的切线等相关知识的综合应用 变式训练 4 如图 O的半径OB垂直于直径AC M为AOBM的延长线交 O于N 过N点的切线交CA的延长线于P 1 求证 PM2 PA PC 2 若 O的半径为求MN的长 解析 1 证明 连接ON 则ON PN 且 OBN为等腰三角形 则 OBN ONB PMN OMB 90 OBN PNM 90 ONB PMN PNM PM PN 根据切割线定理 有PN2 PA PC PM2 PA PC 1 在圆中 只要有弧就有弧所对的圆周角 同弧所对的圆周角相等 而相等的角为几何命题的证明提供了条件 2 证明某条直线是圆的切线时 若已知直线过圆上的一点 则作出过该点的半径 证明直线与这条半径垂直 若直线与圆的公共点不确定 则过圆心作直线的垂线 再证明垂线段长等于半径 3 四点共圆时 充分利用外角等于内对角 对角互补 相交弦 切割线 割线定理等证明等积式 由直径 切线构造直角三角形 从近几年选考4 1的试卷来看 本节是重点 通常以圆为载体考查四点共圆 相交弦定理 切割弦定理 与圆有关的比例线段以及相似三角形有关性质等 题型为填空题和解答题 难度为容易题 2013 天津卷 如图 ABC为圆的内接三角形 BD为圆的弦 且BD AC 过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E AD与BC交于点F 若AB AC AE 6 BD 5 则线段CF的长为 规范解答 由切割线定理得AE2 EB ED 解得EB 4 因为AB AC 所以 ABC ACB ADB 由弦切角定理得 EAB EDA 所以 EAB ABC 则AE BC 因为AC BD 所以四边形AEBC是平行四边形 所以AE BC 6 AC EB 4 又由 CAF ADE ACB可得 CAF CBA 所以CA CB CF CA CF CA2 CB 答案 阅后报告 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段 常利用圆周角或弦切角证明三角形相似 在相似三角形中寻找比例线段 也可以利用相交弦定理 切割线定理证明线段成比例 在实际应用中 一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理 涉及两条割线就要想到割线定理 见到切线和割线时要注意应用切割线定理 1 2014 重庆卷 过圆外一点P作圆的切线PA A为切点 再作割线PBC依次交圆于B C 若PA 6 AC 8 BC 9 则AB 解析 根据题意 作出图形如图所示 由切割线定理 得PA2 PB PC PB PB BC 即36 PB PB 9 PB 3 PC 12 由弦切角定理知 PAB PCA 又 APB CPA PAB PCA AB CA PB PA 即AB PB CA PA 4 答案 4 2 2014 湖北卷 如图 P为 O外一点 过P点作 O的两条切线 切点分别为A B 过PA的中点Q作割线交 O于C D两点 若QC 1 CD 3 则PB 解析 由切线长定理得QA2 QC QD 1 1 3 4 解得QA 2 故PB PA 2QA 4 答案 4 证明 1 连接AB AC 由题设知PA PD 故 PAD PDA 因为 PDA DAC DCA PAD BAD PAB DCA PAB 所以 DAC BAD 所以BE EC 2 由切割线定理得PA2 PB PC 因为PA PD DC 所以DC 2PB BD PB 由相交弦定理得AD DE BD DC 所以AD DE 2PB2