高考数学一轮复习 5.5数列模型的应用课件 文 湘教版.ppt

5 5数列模型的应用 1 数列在实际生活中有着广泛的应用 其解题的基本步骤 可用图表示如下 2 气象学院用3 2万元买了一台天文观测仪 已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用 第n天的维修保养费为n 4910元 n N 使用它直至报废最合算 所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少 为止 一共使用了 A 600天B 800天C 1000天D 1200天 解析 由第n天的维修保养费为元 n N 可知每天的维修保养费构成以 5为首项 为公差的等差数列 设一共使用了n天 则使用n天的平均耗资为当且仅当时取得最小值 此时n 800 答案 B 4 2014 成都一模 现有一根n节的竹竿 自上而下每节的长度依次构成等差数列 最上面一节长为10cm 下面的三节长度之和为114cm 第6节的长度是首节与末节长度的等比中项 则n 解析 设每节竹竿的长度对应的数列为 an 公差为d d 0 由题意知a1 10 an an 1 an 2 114 a26 a1an 由an an 1 an 2 114 得3an 1 114 解得an 1 38 a1 5d 2 a1 an 1 d 即 10 5d 2 10 38 d 解得d 2 所以an 1 a1 n 2 d 38 即10 2 n 2 38 解得n 16 答案 16 5 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一棵 相邻两棵树相距10米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小 这个最小值为米 等差数列模型的应用 解等差数列应用题 首先要认真审题 深刻理解问题的实际背景 理清蕴含在语言中的数学关系 把应用问题抽象为数学中的等差数列问题 使关系明朗化 标准化 然后用等差数列知识求解 这其中体现了把实际问题数学化的能力 也就是所谓的数学建模能力 祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来 在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园 台湾农民在那里申办个体工商户可以享受 绿色通道 的申请 受理 审批一站式服务 某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂 第一年各种经费12万美元 以后每年增加4万美元 每年销售蔬菜收入50万美元 设f n 表示前n年的纯收入 f n 前n年的总收入 前n年的总支出 投资额 1 从第几年开始该台商获利 2 若干年后 该台商为开发新项目 有两种处理方案 年平均利润最大时以48万美元出售该厂 纯利润总和最大时 以16万美元出售该厂 问哪种方案最合算 解析 由题意知 每年的经费是以12为首项 4为公差的等差数列 则f n 50n 72 2n2 40n 72 1 获取纯利润就是要求f n 0 故有 2n2 40n 72 0 解得2 n 18 又n N 可知从第三年开始获利 2 平均利润为 16 当且仅当n 6时取等号 故此方案获利 2 62 40 6 72 48 144 万美元 此时n 6 f n 2n2 40n 72 2 n 10 2 128 当n 10时 f n max 128 故此方案共获利128 16 144 万美元 比较两种方案 第 种方案只需6年 第 种方案需要10年 故选择第 种方案更合算 变式训练 1 有一种零存整取的储蓄项目 在每月某日存入一笔相同金额 这是零存 到期可以提出全部本金和利息 这是整取 它的本利和公式如下 本利和 每期存入的金额 存期 存期 存期 1 利率 1 试解释这个本利和公式 2 若每月初存入100元 月利率为5 1 到第12个月底的本利和是多少 3 若每月初存入一笔金额 月利率是5 1 希望到第12个月底取得本利和2000元 那么每月初应存入多少 等比数列模型的应用 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍 并且每年年底固定给股东们分红500万元 该企业2011年年底分红后的资金为1000万元 1 求该企业2015年年底分红后的资金 2 求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元 解析 设an为 2011 n 年年底分红后的资金 其中n N 则a1 2 1000 500 1500 a2 2 1500 500 2500 an 2an 1 500 n 2 an 500 2 an 1 500 n 2 即数列 an 500 是首项为a1 500 1000 公比为2的等比数列 an 500 1000 2n 1 an 1000 2n 1 500 1 a4 1000 24 1 500 8500 该企业2015年年底分红后的资金为8500万元 2 由an 32500 即2n 1 32 得n 6 该企业从2018年开始年底分红后的资金超过32500万元 递推数列模型的应用 在求解与自然数相关的实际问题时 如果不能或不容易直接找出数列中通项的关系式时 往往可以从项与项之间的关系出发 找到数列的一个递推关系 并以此为突破口 利用递推数列的知识与方法解决问题 某企业为加大对新产品的推销力度 决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传 以增加新产品的销售收入 已知今年的销售收入为250万元 经市场调查 预测第n年与第n 1年销售收入an与an 1 单位 万元 满足关系式 1 设今年为第1年 求第n年的销售收入an 2 依上述预测 该企业前几年的销售收入总和Sn最大 解析 1 由题意可知an an 1 100 n 2 an 1 an 2 100 a3 a2 100 a2 a1 100 a1 250 以上各式相加得 an 500 2 要求销售收入总和Sn的最大值 即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和 an 500 100 n 1 要使an 0 即500 100 n 1 0 也就是 1 令bn 则bn bn 1 显然 当n 3时 bn bn 1 而b51 a5 0 a6 0 该企业前5年的销售收入总和最大 用数列模型解决实际应用问题的高考命题在前几年较为普遍 近两年较少出现 但随着经济活动在社会生活中越来越频繁的发生以及它越来越重要的地位 不可避免地会有越来越多的与之相关的实际问题产生 因此不能排除重新出现高考命题的可能 对于这一块知识的复习不可掉以轻心 2012 湖南卷 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 该企业第一年年初有资金2000万元 将其投入生产 到当年年底资金增长了50 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同 公司要求企业从第一年开始 每年年底上缴资金d万元 并将剩余资金全部投入下一年生产 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元 1 用d表示a1 a2 并写出an 1与an的关系式 2 若公司希望经过m m 3 年使企业的剩余资金为4000万元 试确定企业每年上缴资金d的值 用m表示 全解全析 1 由题意 得a1 2000 1 50 d 3000 d a2 a1 1 50 d a1 d 4500 d an 1 an 1 50 d an d 2 由 1 得an an 1 d d an 2 d d 整理 得an 由题意 得am 4000 即解得d 故该企业每年上缴资金d的值为时 经过m m 3 年企业的剩余资金为4000万元 解析 方法一设 an 的公比为q f an a2n f an 是等比数列 排除B D f an f an 是等比数列 排除A 方法二不妨令an 2n 因为f x x2 所以f an 4n 显然 f an 是首项为4 公比为4的等比数列 因为f x 2x 所以f a1 f 2 22 f a2 f 4 24 f a3 f 8 28 所以所以 f an 不是等比数列 因为f x 所以f an 显然 f an 是首项为 公比为的等比数列 因为f x ln x 所以f an ln2n nln2 显然 f an 是首项为ln2 公差为ln2的等差数列 答案 C