高考数学一轮复习 2-8 函数与方程课件 理 新人教A版.ppt

第八节函数与方程 最新考纲展示1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 一 函数的零点方程的实数解与函数的零点1 零点的定义函数y f x 的图象与的交点的称为这个函数的零点 2 函数零点的判定若函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是连续曲线 并且在区间端点的函数值符号相反 即 则在区间 a b 内 函数y f x 至少有一个零点 即相应的方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实数解 横轴 横坐标 f a f b 0 二 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 三 二分法1 二分法的含义每次取区间的中点 将区间一分为二 再经比较 按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法 2 利用二分法求方程实数解的过程 框图表示 其中 M 的含义 取新区间 一个端点是原区间的中点 另一端是原区间两端点中的一个 新区间两端点的函数值反号 N 的含义 方程解满足要求的精度 1 函数f x 的零点是指方程f x 0的根 也可以认为函数f x 图象与x轴交点的横坐标 但不是指交点 x f x 也要把这里的 点 与几何学中的 点 区别开来 所以函数的零点是一个数 而不是一个点 在写函数零点时 所写的一定是一个数字 而不是一个坐标 2 如果函数f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的曲线 并且函数f x 在区间 a b 上是一个单调函数 那么当f a f b 0 那么 函数f x 在区间 a b 内不一定没有零点 4 如果函数f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的曲线 那么当函数f x 在区间 a b 内有零点时不一定有f a f b 0 例如函数f x x3 5x2 6x在区间 1 4 上有零点2和3 却有f 1 f 4 0 5 二次函数在给定区间上的零点问题的处理方略 1 结合图象分析 对称轴与区间关系 2 考虑判别式 的取值 3 区间端点值的符号 1 函数f x 2x 3x的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 解析 易知f x 2x 3x在R上是增函数 而f 2 2 2 60 f 1 f 0 0 故函数f x 在区间 1 0 上有零点 故选B 答案 B 答案 B 解析 由f 2 f 3 0可知x0 2 3 答案 2 3 例1 1 2015年皖南八校联考 设f x ex x 4 则函数f x 的零点位于区间 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 确定函数零点所在的区间 自主探究 答案 1 C 2 C 规律方法 1 对函数零点存在的判断中 必须强调 f x 在 a b 上连续 f a f b 0 在 a b 内存在零点 这是零点存在的一个充分条件 但不必要 2 对于定义域内连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 例2定义在R上的奇函数y f x 满足f 3 0 且不等式f x xf x 在 0 上恒成立 则函数g x xf x lg x 1 的零点的个数为 A 4B 3C 2D 1解析g x 0即xf x lg x 1 xf x f x xf x 由已知得xf x 在 0 上单调递增 又f x 为奇函数 所以xf x 为偶函数且零点为3 3 0 在同一坐标系中作出函数y xf x 和y lg x 1 的图象 易知交点有3个 故g x 的零点个数为3 函数零点个数的判断 师生共研 答案B 规律方法判断函数y f x 零点个数的常用方法 1 直接法 令f x 0 则方程实根的个数就是函数零点的个数 2 零点存在性定理法 判断函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 再结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 可确定函数的零点个数 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 画出两个函数的图象 其交点的个数就是函数零点的个数 在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点 在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性 确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理 有时可结合函数的图象辅助解题 1 已知函数y f x 是周期为2的周期函数 且当x 1 1 时 f x 2 x 1 则函数F x f x lgx 的零点个数是 A 9B 10C 11D 18解析 由F x 0得f x lgx 所以函数F x f x lgx 的零点个数就是函数y f x 与y lgx 图象交点的个数 作出函数图象 如图所示 当010时 lgx 1 所以此时函数y f x 与y lgx 图象无交点 故函数F x f x lgx 的零点个数是10 答案 B 函数零点的应用 师生共研 解析 1 画出函数f x 的图象如图所示 观察图象可知 若方程f x a 0有三个不同的实数根 则函数y f x 的图象与直线y a有3个不同的交点 此时需满足0 a 1 故选D 规律方法已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后数形结合求解 与二次函数有关的零点分布 师生共研 答案C 规律方法 1 解决二次函数的零点问题 可利用一元二次方程的求根公式 可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系 利用二次函数的图象列不等式组 2 二次方程实数根的分布问题主要是构造二次函数之后 数形结合从判别式 对称轴与区间关系及区间端点值符号三个方面得出条件 解决时要注意逐一方面进行验证 3 关于x的方程mx2 2 m 3 x 2m 14 0有两实根 且一个大于4 一个小于4 求实数m的取值范围