高考数学 考前三个月复习冲刺 专题9 第41练 几何证明选讲课件 理.ppt

第41练几何证明选讲 专题9系列4选讲 题型分析 高考展望 本讲主要考查相似三角形与射影定理 圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理 圆周角定理及弦切角定理 相交弦 切割线 割线定理等 本部分内容多数涉及圆 并且多是以圆为背景设计的综合性考题 考查逻辑推理能力 试题主要以解答题形式出现 难易程度均为中低档题 常考题型精析 高考题型精练 题型一相似三角形及射影定理 题型二相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理的应用 题型三四点共圆的判定 常考题型精析 题型一相似三角形及射影定理 例1如图所示 CD垂直平分AB 点E在CD上 DF AC DG BE F G分别为垂足 求证 AF AC BG BE 证明因为CD垂直平分AB 所以 ACD和 BDE均为直角三角形 并且AD BD 又因为DF AC DG BE 所以AF AC AD2 BG BE DB2 因为AD2 DB2 所以AF AC BG BE 点评 1 在使用直角三角形射影定理时 要学会将 乘积式 转化为相似三角形中的 比例式 2 证题时 作垂线构造直角三角形是解该类问题的常用方法 变式训练1如图 Rt ABC中 BAC 90 AD BC于D BE平分 ABC交AC于E EF BC于F 求证 EF DF BC AC 证明 BAC 90 且AD BC 由射影定理得AC2 CD BC EF BC AD BC EF AD 又BE平分 ABC 且EA AB EF BC 题型二相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理的应用 例2 2014 重庆改编 过圆外一点P作圆的切线PA A为切点 再作割线PBC依次交圆于B C 若PA 6 AC 8 BC 9 求AB的值 解由切割线定理得PA2 PB PC PB PB BC 即62 PB PB 9 解得PB 3 负值舍去 由弦切角定理知 PAB PCA 又 APB CPA 故 APB CPA 解得AB 4 点评 1 圆中线段长度成比例的问题 要结合切割线定理 相交弦定理 构造比例关系 2 利用相似关系求解线段长度要灵活地在三角形中对条件进行转化或等比替换 变式训练2 2015 天津改编 如图 在圆O中 M N是弦AB的三等分点 弦CD CE分别经过点M N 若CM 2 MD 4 CN 3 求线段NE的长 解根据相交弦定理可知 题型三四点共圆的判定 例3如图 已知 ABC的两条角平分线AD和CE相交于H B 60 F在AC上 且AE AF 证明 1 B D H E四点共圆 证明在 ABC中 因为 B 60 所以 BAC BCA 120 因为AD CE分别是 BAC DCF的平分线 所以 HAC HCA 60 故 AHC 120 于是 EHD AHC 120 所以 EBD EHD 180 所以B D H E四点共圆 2 CE平分 DEF 证明连结BH 则BH为 ABC的平分线 得 HBD 30 由 1 知B D H E四点共圆 所以 CED HBD 30 又 AHE EBD 60 由已知可得EF AD 可得 CEF 30 所以CE平分 DEF 点评 1 如果四点与一定点距离相等 那么这四点共圆 2 如果四边表的一组对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 3 如果四边形的一个外角等于它的内对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 变式训练3 2015 湖南 如图 在 O中 相交于点E的两弦AB CD的中点分别是M N 直线MO与直线CD相交于点F 证明 1 MEN NOM 180 证明如图所示 因为M N分别是弦AB CD的中点 所以OM AB ON CD 即 OME 90 ENO 90 因此 OME ENO 180 又四边形的内角和等于360 故 MEN NOM 180 2 FE FN FM FO 证明由 1 知 O M E N四点共圆 故由割线定理即得FE FN FM FO 高考题型精练 1 2015 重庆改编 如图 圆O的弦AB CD相交于点E 过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P 若PA 6 AE 9 PC 3 CE ED 2 1 求BE的长 1 2 3 4 5 6 7 8 高考题型精练 因此CE 6 ED 3 再由相交弦定理得AE EB CE ED 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2015 陕西 如图 AB切 O于点B 直线AO交 O于D E两点 BC DE 垂足为C B 高考题型精练 1 证明 CBD DBA 1 2 3 4 5 6 7 8 证明因为DE为 O直径 则 BED EDB 90 又BC DE 所以 CBD EDB 90 从而 CBD BED 又AB切 O于点B 得 DBA BED 所以 CBD DBA 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 高考题型精练 解由 1 知BD平分 CBA 1 2 3 4 5 6 7 8 故DE AE AD 3 即 O直径为3 3 如图 O的半径OB垂直于直径AC M为AO上一点 BM的延长线交 O于N 过N点的切线交CA的延长线于P 1 求证 PM2 PA PC 高考题型精练 证明连结ON 则ON PN 且 OBN为等腰三角形 则 OBN ONB 1 2 3 4 5 6 7 8 PMN OMB 90 OBN PNM 90 ONB PMN PNM PM PN 根据切割线定理 有PN2 PA PC PM2 PA PC 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 高考题型精练 解OM 2 在Rt BOM中 1 2 3 4 5 6 7 8 延长BO交 O于点D 连结DN MN BN BM 6 4 2 4 2015 课标全国 如图 O为等腰三角形ABC内一点 O与 ABC的底边BC交于M N两点 与底边上的高AD交于点G 且与AB AC分别相切于E F两点 1 证明 EF BC 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 证明由于 ABC是等腰三角形 AD BC 所以AD是 CAB的平分线 又因为 O分别与AB AC相切于点E F 所以AE AF 故AD EF 从而EF BC 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 解由 1 知 AE AF AD EF 故AD是EF的垂直平分线 又EF为 O的弦 所以O在AD上 连接OE OM 则OE AE 由AG等于 O的半径得AO 2OE 所以 OAE 30 因此 ABC和 AEF都是等边三角形 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 5 2014 课标全国 如图 四边形ABCD是 O的内接四边形 AB的延长线与DC的延长线交于点E 且CB CE 1 证明 D E 高考题型精练 证明由题设知 A B C D四点共圆 所以 D CBE 由已知CB CE得 CBE E 故 D E 1 2 3 4 5 6 7 8 高考题型精练 2 设AD不是 O的直径 AD的中点为M 且MB MC 证明 ADE为等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 证明如图 设BC的中点为N 连结MN 则由MB MC知MN BC 故O在直线MN上 又AD不是 O的直径 M为AD的中点 故OM AD 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 即MN AD 所以AD BC 故 A CBE 又 CBE E 故 A E 由 1 知 D E 所以 ADE为等边三角形 6 如图所示 已知AP是 O的切线 P为切点 AC是 O的割线 与 O交于B C两点 圆心O在 PAC的内部 点M是BC的中点 1 证明 A P O M四点共圆 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 证明连结OP OM 因为AP与 O相切于点P 所以OP AP 因为M是 O的弦BC的中点 所以OM BC 于是 OPA OMA 180 由圆心O在 PAC的内部 可知四边形APOM的对角互补 所以A P O M四点共圆 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 2 求 OAM APM的大小 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 解由 1 得 A P O M四点共圆 所以 OAM OPM 由 1 得OP AP 由圆心O在 PAC的内部 可知 OPM APM 90 所以 OAM APM 90 7 2014 辽宁 如图 EP交圆于E C两点 PD切圆于D G为CE上一点且PG PD 连结DG并延长交圆于点A 作弦AB垂直EP 垂足为F 1 求证 AB为圆的直径 高考题型精练 证明因为PD PG 所以 PDG PGD 由于PD为切线 故 PDA DBA 1 2 3 4 5 6 7 8 又由于 PGD EGA 故 DBA EGA 所以 DBA BAD EGA BAD 从而 BDA PFA 由于AF EP 所以 PFA 90 于是 BDA 90 故AB是直径 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 2 若AC BD 求证 AB ED 高考题型精练 证明连结BC DC 由于AB是直径 故 BDA ACB 90 在Rt BDA与Rt ACB中 AB BA AC BD 从而Rt BDA Rt ACB 于是 DAB CBA 1 2 3 4 5 6 7 8 高考题型精练 又因为 DCB DAB 所以 DCB CBA 故DC AB 由于AB EP 所以DC EP DCE为直角 于是ED为直径 由 1 得ED AB 1 2 3 4 5 6 7 8 8 如图所示 过圆O外一点M作它的一条切线 切点为A 过A点作直线AP垂直于直线OM 垂足为P 1 证明 OM OP OA2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 证明因为MA是圆O的切线 所以OA AM 又因为AP OM 在Rt OAM中 由射影定理知 OA2 OM OP 高考题型精练 2 N为线段AP上一点 直线NB垂直于直线ON 且交圆O于B点 过B点的切线交直线ON于K 证明 OKM 90 1 2 3 4 5 6 7 8 证明因为BK是圆O的切线 BN OK 同 1 有OB2 ON OK 又OB OA 所以OP OM ON OK 又 NOP MOK 所以 ONP OMK 故 OKM OPN 90