高考数学 考前三个月复习冲刺 专题7 第31练 双曲线的渐近线和离心率问题课件 理.ppt

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资源描述
专题7解析几何 第31练双曲线的渐近线和离心率问题 题型分析 高考展望 双曲线作为三种圆锥曲线之一 也是高考热点 其性质是考查的重点 尤其是离心率与渐近线 考查形式除常考的解答题外 也会在选择题 填空题中考查 一般为中等难度 熟练掌握两种性质的求法 用法是此类问题的解题之本 常考题型精析 高考题型精练 题型一双曲线的渐近线问题 题型二双曲线的离心率问题 题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题 常考题型精析 题型一双曲线的渐近线问题 例1 1 2015 重庆 设双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点是F 左 右顶点分别是A1 A2 过F作A1A2的垂线与双曲线交于B C两点 若A1B A2C 则该双曲线的渐近线的斜率为 左 右顶点分别为A1 a 0 A2 a 0 易求 答案C 求双曲线C的方程 过C上一点P x0 y0 y0 0 的直线l y0y 1与直线AF相交于点M 与直线x 相交于点N 证明 当点P在C上移动时 恒为定值 并求此定值 因为直线AF的方程为x 2 c a2 b2 答案A 题型二双曲线的离心率问题 例2 1 2015 湖北 将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b a b 同时增加m m 0 个单位长度 得到离心率为e2的双曲线C2 则 A 对任意的a b e1 e2B 当a b时 e1 e2 当ab时 e1e2 双曲线C2的实半轴长为a m 虚半轴长为b m 综上 当a b时 e1e2 答案D 又A在以OF为直径的圆上 答案C 1 求C1 C2的方程 所以b 1 a2 2 2 过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB M为AB的中点 当直线OM与C2交于P Q两点时 求四边形APBQ面积的最小值 解因AB不垂直于y轴 且过点F1 1 0 故可设直线AB的方程为x my 1 易知此方程的判别式大于0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2是上述方程的两个实根 设点A到直线PQ的距离为d 则点B到直线PQ的距离也为d 因为点A B在直线mx 2y 0的异侧 所以 mx1 2y1 mx2 2y2 0 于是 mx1 2y1 mx2 2y2 mx1 2y1 mx2 2y2 而0 2 m2 2 故当m 0时 S取得最小值2 综上所述 四边形APBQ面积的最小值为2 题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题 例3 2014 福建 已知双曲线E 1 a 0 b 0 的两条渐近线分别为l1 y 2x l2 y 2x 1 求双曲线E的离心率 2 如图 O为坐标原点 动直线l分别交直线l1 l2于A B两点 A B分别在第一 四象限 且 OAB的面积恒为8 试探究 是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E 若存在 求出双曲线E的方程 若不存在 请说明理由 设直线l与x轴相交于点C 当l x轴时 若直线l与双曲线E有且只有一个公共点 则 OC a AB 4a 又因为 OAB的面积为8 若存在满足条件的双曲线E 以下证明 当直线l不与x轴垂直时 记A x1 y1 B x2 y2 即m2 4 4 k2 4 k2 4 得 4 k2 x2 2kmx m2 16 0 因为4 k2 0 所以 4k2m2 4 4 k2 m2 16 16 4k2 m2 16 又因为m2 4 k2 4 所以 0 即l与双曲线E有且只有一个公共点 设直线l的方程为x my t A x1 y1 B x2 y2 设直线l与x轴相交于点C 则C t 0 所以t2 4 1 4m2 4 1 4m2 得 4m2 1 y2 8mty 4 t2 a2 0 因为4m2 1 0 直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当 64m2t2 16 4m2 1 t2 a2 0 即4m2a2 t2 a2 0 即4m2a2 4 1 4m2 a2 0 即 1 4m2 a2 4 0 所以a2 4 因此 存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E 点评解决此类问题 一是利用离心率公式 渐近线方程 斜率关系等列方程组 二是数形结合 由图形中的位置关系 确定相关参数的范围 变式训练3 2014 浙江 设直线x 3y m 0 m 0 与双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线分别交于点A B 若点P m 0 满足 PA PB 则该双曲线的离心率是 设直线l x 3y m 0 m 0 因为 PA PB 所以PC l 所以kPC 3 化简得a2 4b2 在双曲线中 c2 a2 b2 5b2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 焦距相等B 实半轴长相等C 虚半轴长相等D 离心率相等 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析因为0 k 9 所以两条曲线都表示双曲线 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考题型精练 3 已知双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线均和圆C x2 y2 6x 5 0相切 且双曲线的右焦点为圆C的圆心 则该双曲线的方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 圆C的标准方程为 x 3 2 y2 4 圆心为C 3 0 又渐近线方程与圆C相切 即直线bx ay 0与圆C相切 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a2 b2 9 由 得a2 5 b2 4 答案A 高考题型精练 4 以椭圆的右焦点为圆心 且与双曲线 1的渐近线相切的圆的方程是 A x2 y2 10 x 9 0B x2 y2 10 x 9 0C x2 y2 10 x 9 0D x2 y2 10 x 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以所求的圆是圆心坐标为 5 0 半径为4的圆 即圆的方程为x2 y2 10 x 9 0 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考题型精练 6 已知双曲线C 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线 垂足为H 若F2H的中点M在双曲线C上 则双曲线C的离心率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考题型精练 7 已知抛物线y2 8x的准线过双曲线 a 0 b 0 的一个焦点 且双曲线的离心率为2 则该双曲线的方程为 解析由y2 8x 2p 8 p 4 其准线方程为x 2 即双曲线的左焦点为 2 0 c 2 又e 2 a 1 b2 c2 a2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 8 已知双曲线C的中心在原点 且左 右焦点分别为F1 F2 以F1F2为底边作正三角形 若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点 则双曲线C的离心率为 解析设以F1F2为底边的正三角形与双曲线C的右支交于点M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由双曲线的定义有 MF1 MF2 2a 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 9 已知F1 F2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M 若点M在以线段F1F2为直径的圆外 则双曲线离心率的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 解析设双曲线的右焦点为F1 连接PF1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 PF1 FP PF 2 PF1 2 FF1 2 PF1 a PF 2a PF1 3a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 求此双曲线的方程 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 设P为双曲线上一点 A B两点在双曲线的渐近线上 且分别位于第一 二象限 若 求 AOB的面积 解由 1 知双曲线的渐近线方程为y 2x 设A m 2m B n 2n 其中m 0 n 0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 已知双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点为F c 0 1 若双曲线的一条渐近线方程为y x且c 2 求双曲线的方程 c2 a2 b2 2a2 4 a2 b2 2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 依题意 圆的方程为x2 y2 c2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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