高考数学 考前三个月复习冲刺 专题7 第30练 椭圆问题中最值得关注的基本题型课件 理.ppt

专题7解析几何 第30练椭圆问题中最值得关注的基本题型 题型分析 高考展望 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位 并且占的分值也较多 分析历年的高考试题 在选择题 填空题 解答题中都涉及到椭圆的题 所以我们对椭圆知识必须系统的掌握 对各种题型 基本的解题方法也要有一定的了解 常考题型精析 高考题型精练 题型一利用椭圆的几何性质解题 题型二直线与椭圆相交问题 题型三利用 点差法 设而不求思想 解题 常考题型精析 题型一利用椭圆的几何性质解题 例1如图 焦点在x轴上的椭圆的离心率e F A分别是椭圆的一个焦点和顶点 P是椭圆上任意一点 求的最大值和最小值 解设P点坐标为 x0 y0 由题意知a 2 点评熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本 利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题 最值问题 利用a b c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程 1 求E的方程 2 设过点A的动直线l与E相交于P Q两点 当 OPQ的面积最大时 求l的方程 解当l x轴时不合题意 故设l y kx 2 P x1 y1 Q x2 y2 1 4k2 x2 16kx 12 0 且满足 0 题型二直线与椭圆相交问题 例2 2015 山东 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆C a b 0 的离心率为 左 右焦点分别是F1 F2 以F1为圆心 以3为半径的圆与以F2为圆心 以1为半径的圆相交 且交点在椭圆C上 1 求椭圆C的方程 解由题意知2a 4 则a 2 2 设椭圆E P为椭圆C上任意一点 过点P的直线y kx m交椭圆E于A B两点 射线PO交椭圆E于点Q 设A x1 y1 B x2 y2 将y kx m代入椭圆E的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 由 0 可得m2 4 16k2 因为直线y kx m与y轴交点的坐标为 0 m 将y kx m代入椭圆C的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 由 0 可得m2 1 4k2 由 可知0 t 1 由 知 ABQ面积为3S 点评解决直线与椭圆相交问题的一般思路 将直线方程与椭圆方程联立 转化为一元二次方程 由判别式范围或根与系数的关系解决 求范围或最值问题 也可考虑求 交点 由 交点 在椭圆内 外 得出不等式 解不等式 变式训练2 2014 四川 已知椭圆C 1 a b 0 的焦距为4 其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 1 求椭圆C的标准方程 解得a2 6 b2 2 2 设F为椭圆C的左焦点 T为直线x 3上任意一点 过F作TF的垂线交椭圆C于点P Q 证明OT平分线段PQ 其中O为坐标原点 证明由 1 可得F的坐标是 2 0 设T点的坐标为 3 m 直线PQ的方程是x my 2 当m 0时 直线PQ的方程是x 2 也符合x my 2的形式 消去x 得 m2 3 y2 4my 2 0 其判别式 16m2 8 m2 3 0 所以点M在直线OT上 因此OT平分线段PQ 当最小时 求点T的坐标 题型三利用 点差法 设而不求思想 解题 两式相减并整理可得 点评当涉及平行弦的中点轨迹 过定点的弦的中点轨迹 过定点且被定点平分的弦所在直线方程时 用 点差法 来求解 变式训练3已知椭圆 1 a b 0 的一个顶点为B 0 4 离心率e 直线l交椭圆于M N两点 1 若直线l的方程为y x 4 求弦 MN 的长 则4x2 5y2 80与y x 4联立 2 如果 BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F 求直线l方程的一般式 解如图 椭圆右焦点F的坐标为 2 0 设线段MN的中点为Q x0 y0 由三角形重心的性质知 又B 0 4 2 4 2 x0 2 y0 故得x0 3 y0 2 即得Q的坐标为 3 2 设M x1 y1 N x2 y2 则x1 x2 6 y1 y2 4 即6x 5y 28 0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以c 2 a 4 将x 2代入椭圆方程 解得y 3 所以 AB 6 答案B 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 令 122 4 9 r2 46 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由题意设焦距为2c 椭圆的长轴长为2a 双曲线的实轴长为2m 不妨令P在双曲线的右支上 由双曲线的定义知 PF1 PF2 2m 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由椭圆的定义知 PF1 PF2 2a 又PF1 PF2 F1PF2 90 PF1 2 PF2 2 4c2 式的平方加上 式的平方得 PF1 2 PF2 2 2a2 2m2 答案B 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 解析设M x0 y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 x0 a a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 c2 b2 2c2 c2 a2 c2 2c2 2c2 a2 3c2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考题型精练 6 2014 辽宁 已知椭圆C 点M与C的焦点不重合 若M关于C的焦点的对称点分别为A B 线段MN的中点在C上 则 AN BN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图 设MN的中点为D 则 DF1 DF2 2a 6 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D F1 F2分别为MN AM BM的中点 BN 2 DF2 AN 2 DF1 AN BN 2 DF1 DF2 12 答案12 高考题型精练 7 2014 江西 过点M 1 1 作斜率为 的直线与椭圆C a b 0 相交于A B两点 若M是线段AB的中点 则椭圆C的离心率等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x1 x2 2 y1 y2 2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a2 2b2 又 b2 a2 c2 a2 2 a2 c2 a2 2c2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 9 2014 江苏 如图 在平面直角坐标系xOy中 F1 F2分别是椭圆1 a b 0 的左 右焦点 顶点B的坐标为 0 b 连接BF2并延长交椭圆于点A 过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C 连接F1C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解设椭圆的焦距为2c 则F1 c 0 F2 c 0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若F1C AB 求椭圆离心率e的值 解因为B 0 b F2 c 0 在直线AB上 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又AC垂直于x轴 由椭圆的对称性 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又b2 a2 c2 整理得a2 5c2 高考题型精练 10 2015 重庆 如图 椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 过F2的直线交椭圆于P Q两点 且PQ PF1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解由椭圆的定义 得 高考题型精练 设椭圆的半焦距为c 由已知PF1 PF2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 2 若 PF1 PQ 求椭圆的离心率e 解方法一如图 设点P x0 y0 在椭圆上 且PF1 PF2 则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由 PF1 PQ PF2 得x0 0 从而 由椭圆的定义 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 从而由 PF1 PQ PF2 QF2 有 QF1 4a 2 PF1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二如图 由椭圆的定义 得 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 从而由 PF1 PQ PF2 QF2 有 QF1 4a 2 PF1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解过点 c 0 0 b 的直线方程为bx cy bc 0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 易知 AB与x轴不垂直 设其方程为y k x 2 1 代入 得 1 4k2 x2 8k 2k 1 x 4 2k 1 2 4b2 0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 从而x1x2 8 2b2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得b2 3 方法二由 1 知 椭圆E的方程为x2 4y2 4b2 设A x1 y1 B x2 y2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 两式相减并结合x1 x2 4 y1 y2 2 得 4 x1 x2 8 y1 y2 0 易知AB与x轴不垂直 则x1 x2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 代入 得x2 4x 8 2b2 0 所以x1 x2 4 x1x2 8 2b2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2015 安徽 设椭圆E的方程为 a b 0 点O为坐标原点 点A的坐标为 a 0 点B的坐标为 0 b 点M在线段AB上 满足 BM 2 MA 直线OM的斜率为 1 求E的离心率e 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 设点C的坐标为 0 b N为线段AC的中点 证明 MN AB 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由 1 的计算结果可知a2 5b2