高考数学 考前三个月复习冲刺 专题5 第24练 数列求和问题课件 理.ppt

专题5数列 第24练数列求和问题 题型分析 高考展望 数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一 主要考查等差 等比数列的前n项和公式以及其他求和方法 尤其是错位相减法 裂项相消法是高考的热点内容 常与通项公式相结合考查 有时也与函数 方程 不等式等知识交汇 综合命题 常考题型精析 高考题型精练 题型一分组转化法求和 题型二错位相减法求和 题型三裂项相消法求和 常考题型精析 题型一分组转化法求和 例1等比数列 an 中 a1 a2 a3分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且a1 a2 a3中的任何两个数不在下表的同一列 1 求数列 an 的通项公式 解当a1 3时 不合题意 当a1 2时 当且仅当a2 6 a3 18时 符合题意 当a1 10时 不合题意 因此a1 2 a2 6 a3 18 所以公比q 3 故an 2 3n 1 n N 2 若数列 bn 满足 bn an 1 nlnan 求数列 bn 的前n项和Sn 解因为bn an 1 nlnan 2 3n 1 1 nln 2 3n 1 2 3n 1 1 n ln2 n 1 ln3 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 所以Sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 所以当n为偶数时 当n为奇数时 点评分组求和常见的方法 1 根据等差 等比数列分组 即分组后 每一组可能是等差数列或等比数列 2 根据正号 负号分组 3 根据数列的周期性分组 4 根据奇数项 偶数项分组 变式训练1已知等差数列 an 的前n项和为Sn n N a3 5 S10 100 1 求数列 an 的通项公式 解设等差数列 an 的公差为d 所以an 2n 1 2 设bn 2an 2n 求数列 bn 的前n项和Tn 所以Tn b1 b2 bn 题型二错位相减法求和 例2 2015 山东 设数列 an 的前n项和为Sn 已知2Sn 3n 3 1 求 an 的通项公式 解因为2Sn 3n 3 所以2a1 3 3 故a1 3 当n 1时 2Sn 1 3n 1 3 此时2an 2Sn 2Sn 1 3n 3n 1 2 3n 1 即an 3n 1 2 若数列 bn 满足anbn log3an 求 bn 的前n项和Tn 解因为anbn log3an 当n 1时 bn 31 nlog33n 1 n 1 31 n 当n 1时 Tn b1 b2 b3 bn 所以3Tn 1 1 30 2 3 1 n 1 32 n 点评错位相减法的关注点 1 适用题型 等差数列 an 乘以等比数列 bn 对应项 an bn 型数列求和 2 步骤 求和时先乘以数列 bn 的公比 把两个和的形式错位相减 整理结果形式 变式训练2 2014 四川 设等差数列 an 的公差为d 点 an bn 在函数f x 2x的图象上 n N 1 若a1 2 点 a8 4b7 在函数f x 的图象上 求数列 an 的前n项和Sn 解由已知 得b7 b8 4b7 有 4 2a7 解得d a8 a7 2 2 若a1 1 函数f x 的图象在点 a2 b2 处的切线在x轴上的截距为2 求数列 的前n项和Tn 解函数f x 2x在 a2 b2 处的切线方程为y 2 2ln2 x a2 所以d a2 a1 1 从而an n bn 2n a2 a2 题型三裂项相消法求和 例3在公差不为0的等差数列 an 中 a1 a4 a8成等比数列 1 已知数列 an 的前10项和为45 求数列 an 的通项公式 解设数列 an 的公差为d 由a1 a4 a8成等比数列可得 a1 9d 则数列 bn 的前n项和为 故数列 an 的公差d 1或 1 2 利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项 也可能前面剩两项 后面也剩两项 变式训练3 2014 大纲全国 等差数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 10 a2为整数 且Sn S4 1 求 an 的通项公式 解由a1 10 a2为整数 知等差数列 an 的公差d为整数 又Sn S4 故a4 0 a5 0 于是10 3d 0 10 4d 0 数列 an 的通项公式为an 13 3n 于是Tn b1 b2 bn 高考题型精练 1 2015 浙江 已知 an 是等差数列 公差d不为零 前n项和是Sn 若a3 a4 a8成等比数列 则 A a1d 0 dS4 0B a1d 0 dS4 0C a1d 0 dS4 0D a1d 0 dS4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 a3 a4 a8成等比数列 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2014 课标全国 等差数列 an 的公差为2 若a2 a4 a8成等比数列 则 an 的前n项和Sn等于 解析由a2 a4 a8成等比数列 得 即 a1 6 2 a1 2 a1 14 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a1 2 2n n2 n n n 1 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 若数列 an 的通项公式为an 则其前n项和Sn为 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以Sn a1 a2 an 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故选D 答案D 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 设等差数列 an 的前n项和为Sn Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则m等于 A 3B 4C 5D 6解析am 2 am 1 3 故d 1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为am am 1 5 故am am 1 2a1 2m 1 d m 1 2m 1 5 即m 5 答案C 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 在等比数列 an 中 a1 3 a4 81 若数列 bn 满足bn log3an 则数列的前n项和Sn 解析设等比数列 an 的公比为q 所以an a1qn 1 3 3n 1 3n 故bn log3an n 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 数列 an 满足an 1 1 nan 2n 1 则 an 的前60项和为 解析 an 1 1 nan 2n 1 a2 1 a1 a3 2 a1 a4 7 a1 a5 a1 a6 9 a1 a7 2 a1 a8 15 a1 a9 a1 a10 17 a1 a11 2 a1 a12 23 a1 a57 a1 a58 113 a1 a59 2 a1 a60 119 a1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a1 a2 a60 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a57 a58 a59 a60 10 26 42 234 答案1830 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 在数列 an 中 a1 1 当n 2时 其前n项和Sn满足 1 求Sn的表达式 an Sn Sn 1 n 2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即2Sn 1Sn Sn 1 Sn 由题意得Sn 1 Sn 0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 2014 课标全国 已知 an 是递增的等差数列 a2 a4是方程x2 5x 6 0的根 1 求 an 的通项公式 解方程x2 5x 6 0的两根为2 3 由题意得a2 2 a4 3 设数列 an 的公差为d 则a4 a2 2d 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 两式相减得 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 2015 天津 已知数列 an 满足an 2 qan q为实数 且q 1 n N a1 1 a2 2 且a2 a3 a3 a4 a4 a5成等差数列 1 求q的值和 an 的通项公式 解由已知 有 a3 a4 a2 a3 a4 a5 a3 a4 即a4 a2 a5 a3 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以a2 q 1 a3 q 1 又因为q 1 故a3 a2 2 由a3 a1q 得q 2 由递推公式得 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设 bn 的前n项和为Sn 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上述两式相减得 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2015 安徽 设n N xn是曲线y x2n 2 1在点 1 2 处的切线与x轴交点的横坐标 1 求数列 xn 的通项公式 解y x2n 2 1 2n 2 x2n 1 曲线y x2n 2 1在点 1 2 处的切线斜率为2n 2 从而切线方程为y 2 2n 2 x 1 令y 0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明由题设和 1 中的计算结果知 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12