高考数学 考前三个月复习冲刺 专题6 第26练 完美破解立体几何证明题课件 理.ppt

专题6立体几何与空间向量 第26练完美破解立体几何证明题 题型分析 高考展望 立体几何证明题 是高考必考题 证明平行 垂直关系是主要题型 特别是垂直关系尤为重要 掌握判定定理 性质定理并能灵活运用是解题的根本 学会分析推理的方法和证明技巧是提升推理能力的关键 在二轮复习中 通过专题训练 使解立体几何证明的能力更上一层楼 确保该类题型不失分 常考题型精析 高考题型精练 题型一空间中的平行问题 题型二空间中的垂直问题 题型三空间中的平行 垂直综合问题 常考题型精析 题型一空间中的平行问题 例1如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 S是B1D1的中点 E F G分别是BC DC SC的中点 求证 1 直线EG 平面BDD1B1 证明如图 连接SB E G分别是BC SC的中点 EG SB 又 SB 平面BDD1B1 EG 平面BDD1B1 直线EG 平面BDD1B1 2 平面EFG 平面BDD1B1 证明连接SD F G分别是DC SC的中点 FG SD 又 SD 平面BDD1B1 FG 平面BDD1B1 FG 平面BDD1B1 由 1 知 EG 平面BDD1B1 且EG 平面EFG FG 平面EFG EG FG G 平面EFG 平面BDD1B1 点评证明平行关系的方法 1 证明线线平行的常用方法 利用平行公理 即证明两直线同时和第三条直线平行 利用平行四边形进行转换 利用三角形中位线定理证明 利用线面平行 面面平行的性质定理证明 2 证明线面平行的常用方法 利用线面平行的判定定理 把证明线面平行转化为证明线线平行 利用面面平行的性质定理 把证明线面平行转化为证明面面平行 3 证明面面平行的方法 证明面面平行 依据判定定理 只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可 从而将证明面面平行转化为证明线面平行 再转化为证明线线平行 变式训练1 2015 广东 如图 三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直 PD PC 4 AB 6 BC 3 1 证明 BC 平面PDA 证明因为四边形ABCD是长方形 所以BC AD 因为BC 平面PDA AD 平面PDA 所以BC 平面PDA 2 证明 BC PD 证明因为四边形ABCD是长方形 所以BC CD 因为平面PDC 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD CD BC 平面ABCD 所以BC 平面PDC 因为PD 平面PDC 所以BC PD 3 求点C到平面PDA的距离 解如图 取CD的中点E 连接AC和PE 因为PD PC 因为平面PDC 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD CD PE 平面PDC 所以PE 平面ABCD 由 2 知 BC 平面PDC 由 1 知 BC AD 所以AD 平面PDC 因为PD 平面PDC 所以AD PD 设点C到平面PDA的距离为h 因为V三棱锥CPDA V三棱锥PACD 题型二空间中的垂直问题 例2如图所示 已知AB 平面ACD DE 平面ACD ACD为等边三角形 AD DE 2AB F为CD的中点 求证 1 AF 平面BCE 证明如图 取CE的中点G 连接FG BG F为CD的中点 AB 平面ACD DE 平面ACD AB DE GF AB 四边形GFAB为平行四边形 AF BG AF 平面BCE BG 平面BCE AF 平面BCE 2 平面BCE 平面CDE 证明 ACD为等边三角形 F为CD的中点 AF CD DE 平面ACD AF 平面ACD DE AF 又CD DE D 故AF 平面CDE BG AF BG 平面CDE BG 平面BCE 平面BCE 平面CDE 点评 1 证明线面垂直的常用方法 利用线面垂直的判定定理 把线面垂直的判定转化为证明线线垂直 利用面面垂直的性质定理 把证明线面垂直转化为证明面面垂直 利用常见结论 如两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 2 证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理 即证明一个面过另一个面的一条垂线 将证明面面垂直转化为证明线面垂直 一般先从现有直线中寻找 若图中不存在这样的直线 则借助中点 高线或添加辅助线来解决 变式训练2 2014 广东 如图 1 四边形ABCD为矩形 PD 平面ABCD AB 1 BC PC 2 作如图 2 折叠 折痕EF DC 其中点E F分别在线段PD PC上 沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M 并且MF CF 1 证明 CF 平面MDF 证明因为PD 平面ABCD AD 平面ABCD 所以PD AD 又因为ABCD是矩形 CD AD PD与CD交于点D 所以AD 平面PCD 又CF 平面PCD 所以AD CF 即MD CF 又MF CF MD MF M 所以CF 平面MDF 2 求三棱锥M CDE的体积 解因为PD DC BC 2 CD 1 PCD 60 题型三空间中的平行 垂直综合问题 例3 2015 山东 如图 三棱台DEFABC中 AB 2DE G H分别为AC BC的中点 1 求证 BD 平面FGH 证明方法一如图 连接DG 设CD GF M 连接MH 在三棱台DEF ABC中 AB 2DE G为AC的中点 可得DF GC DF GC 所以四边形DFCG为平行四边形 则M为CD的中点 又H为BC的中点 所以HM BD 又HM 平面FGH BD 平面FGH 所以BD 平面FGH 方法二在三棱台DEFABC中 由BC 2EF H为BC的中点 可得BH EF BH EF 所以四边形HBEF为平行四边形 可得BE HF 在 ABC中 G为AC的中点 H为BC的中点 所以GH AB 又GH HF H AB BE B 所以平面FGH 平面ABED 又因为BD 平面ABED 所以BD 平面FGH 2 若CF BC AB BC 求证 平面BCD 平面EGH 证明连接HE 因为G H分别为AC BC的中点 所以GH AB 由AB BC 得GH BC 又H为BC的中点 所以EF HC EF HC 因此四边形EFCH是平行四边形 所以CF HE 又CF BC 所以HE BC 又HE GH 平面EGH HE GH H 所以BC 平面EGH 又BC 平面BCD 所以平面BCD 平面EGH 点评 1 立体几何中 要证线垂直于线 常常先证线垂直于面 再用线垂直于面的性质易得线垂直于线 要证线平行于面 只需先证线平行于线 再用线平行于面的判定定理易得 2 证明立体几何问题 要紧密结合图形 有时要利用平面几何的相关知识 因此需要多画出一些图形辅助使用 3 平行关系往往用到三角形的中位线 垂直关系往往用到三角形高线 中线 变式训练3在如图所示的几何体中 四边形ABCD是正方形 MA 平面ABCD PD MA E G F分别为MB PB PC的中点 且AD PD 2MA 1 求证 平面EFG 平面PMA 证明 E G F分别为MB PB PC的中点 EG PM GF BC 又 四边形ABCD是正方形 BC AD GF AD EG GF在平面PMA外 PM AD在平面PMA内 EG 平面PMA GF 平面PMA 又 EG GF都在平面EFG内且相交 平面EFG 平面PMA 2 求证 平面EFG 平面PDC 证明由已知MA 平面ABCD PD MA PD 平面ABCD 又BC 平面ABCD PD BC 四边形ABCD为正方形 BC DC 又PD DC D BC 平面PDC 由 1 知GF BC GF 平面PDC 又GF 平面EFG 平面EFG 平面PDC 3 求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比 解 PD 平面ABCD 四边形ABCD为正方形 不妨设MA 1 则PD AD 2 DA 平面MAB 且PD MA DA即为点P到平面MAB的距离 VP MAB VP ABCD 即三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比为1 4 高考题型精练 1 2015 广东 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 A l与l1 l2都不相交B l与l1 l2都相交C l至多与l1 l2中的一条相交D l至少与l1 l2中的一条相交 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析若l与l1 l2都不相交则l l1 l l2 l1 l2 这与l1和l2异面矛盾 l至少与l1 l2中的一条相交 答案D 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 已知直线l 平面 直线m 平面 则 是 l m 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分也非必要条件解析 直线l 平面 直线l 平面 又 直线m 平面 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 l m 但直线l 平面 直线m 平面 且l m时 与 可以相交 故 是 l m 的充分不必要条件 选A 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A AP PEF所在平面B AG PEF所在平面C EP AEF所在平面D PG AEF所在平面 3 如图 在正方形ABCD中 E F分别是BC CD的中点 AC EF G 现在沿AE EF FA把这个正方形折成一个四面体 使B C D三点重合 重合后的点记为P 则在四面体P AEF中必有 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析在折叠过程中 AB BE AD DF保持不变 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 已知 是两个不同的平面 给出下列四个条件 存在一条直线a a a 存在一个平面 存在两条平行直线a b a b a b 存在两条异面直线a b a b a b 可以推出 的是 A B C D 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析对于 平面 与 还可以相交 对于 当a b时 不一定能推出 所以 是错误的 易知 正确 故选C 答案C 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 2014 浙江 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 则 A 若m n n 则m B 若m 则m C 若m n n 则m D 若m n n 则m 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析A中 由m n n 可得m 或m 或m与 相交 错误 B中 由m 可得m 或m 或m与 相交 错误 C中 由m n 可得m n 又n 则m 正确 D中 由m n n 可得m与 相交或m 或m 错误 答案C 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 设l m n表示不同的直线 表示不同的平面 给出下列四个命题 若m l 且m 则l 若m l 且m 则l 若 l m n 则l m n 若 m l n 且n 则l m 其中正确的个数是 A 1B 2C 3D 4 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析对于 两条平行线中有一条与一平面垂直 则另一条也与这个平面垂直 故 正确 对于 直线l可能在平面 内 故 错误 对于 三条交线除了平行 还可能相交于同一点 故 错误 对于 结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确 综上 正确 答案B 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 如图 已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形 PA 平面ABC PA 2AB 则下列结论中 PB AE 平面ABC 平面PBC 直线BC 平面PAE PDA 45 其中正确的有 把所有正确的序号都填上 解析由PA 平面ABC AE 平面ABC 得PA AE 又由正六边形的性质得AE AB PA AB A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得AE 平面PAB 又PB 平面PAB AE PB 正确 平面PAD 平面ABC 平面ABC 平面PBC不成立 错 由正六边形的性质得BC AD 又AD 平面PAD BC 平面PAD BC 平面PAD 直线BC 平面PAE也不成立 错 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在Rt PAD中 PA AD 2AB PDA 45 正确 答案 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 侧面BB1C1C为菱形 B1C的中点为O 且AO 平面BB1C1C 则B1C与AB的位置关系为 解析 AO 平面BB1C1C AO B1C 又 平面BB1C1C为菱形 B1C BO B1C 平面ABO AB 平面ABO B1C AB 异面垂直 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 且底面各边都相等 M是PC上的一动点 当点M满足 时 平面MBD 平面PCD 只要填写一个你认为是正确的条件即可 解析 四边形ABCD是菱形 AC BD 又 PA 平面ABCD 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 PA BD 又AC PA A BD 平面PAC BD PC 当DM PC 或BM PC 时 即有PC 平面MBD 而PC 平面PCD 平面MBD 平面PCD 答案DM PC 或BM PC 答案不唯一 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 2014 山东 如图 四棱锥P ABCD中 AP 平面PCD AD BC AB BC AD E F分别为线段AD PC的中点 1 求证 AP 平面BEF 证明设AC BE O 连接OF EC 如图 由于E为AD的中点 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD BC 所以AE BC AE AB BC 因此四边形ABCE为菱形 所以O为AC的中点 又F为PC的中点 因此在 PAC中 可得AP OF 又OF 平面BEF AP 平面BEF 所以AP 平面BEF 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 求证 BE 平面PAC 证明由题意知ED BC ED BC 所以四边形BCDE为平行四边形 因此BE CD 又AP 平面PCD 所以AP CD 因此AP BE 因为四边形ABCE为菱形 所以BE AC 又AP AC A AP AC 平面PAC 所以BE 平面PAC 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 如图 在四棱锥P ABCD中 AB CD AB AD CD 2AB 平面PAD 底面ABCD PA AD E和F分别是CD PC的中点 求证 1 PA 底面ABCD 证明 平面PAD 平面ABCD AD 又平面PAD 平面ABCD 且PA AD PA 底面ABCD 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 BE 平面PAD 证明 AB CD CD 2AB E为CD的中点 AB DE 且AB DE 四边形ABED为平行四边形 BE AD 又 BE 平面PAD AD 平面PAD BE 平面PAD 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 平面BEF 平面PCD 证明 AB AD 且四边形ABED为平行四边形 BE CD AD CD 由 1 知PA 底面ABCD 则PA CD 又PA AD A CD 平面PAD 从而CD PD 又E F分别为CD CP的中点 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 EF PD 故CD EF 由EF BE在平面BEF内 且EF BE E CD 平面BEF 又 CD 平面PCD 平面BEF 底面PCD 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2014 四川 在如图所示的多面体中 四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 1 若AC BC 证明 直线BC 平面ACC1A1 证明因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形 所以AA1 AB AA1 AC 因为AB AC为平面ABC内两条相交的直线 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以AA1 平面ABC 因为直线BC 平面ABC 所以AA1 BC 又由已知 AC BC AA1 AC为平面ACC1A1内两条相交的直线 所以BC 平面ACC1A1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 设D E分别是线段BC CC1的中点 在线段AB上是否存在一点M 使直线DE 平面A1MC 请证明你的结论 解如图 取线段AB的中点M 连接A1M MC A1C AC1 设O为A1C AC1的交点 由已知 O为AC1的中点 连接MD OE 则MD OE分别为 ABC ACC1的中位线 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因此MD綊OE 连接OM 从而四边形MDEO为平行四边形 则DE MO 因为直线DE 平面A1MC MO 平面A1MC 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以直线DE 平面A1MC 即线段AB上存在一点M 线段AB的中点 使直线DE 平面A1MC