高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第12练 导数几何意义的必会题型课件 理.ppt

专题3函数与导数 第12练导数几何意义的必会题型 题型分析 高考展望 本部分题目考查导数的几何意义 函数f x 在x x0处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率 考查形式主要为选择题和填空题或者在综合题的某一步中出现 难度为低中档 内容就是求导 注意审题是过点 x0 y0 的切线还是在点 x0 y0 处的切线 常考题型精析 高考题型精练 题型一直接求切线或切线斜率问题 题型二导数几何意义的综合应用 常考题型精析 题型一直接求切线或切线斜率问题 例1 1 2015 课标全国 已知函数f x ax3 x 1的图象在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则a 解析f x 3ax2 1 f 1 1 3a f 1 a 2 1 f 1 处的切线方程为y a 2 1 3a x 1 将 2 7 代入切线方程 得7 a 2 1 3a 解得a 1 1 2 2014 大纲全国 曲线y xex 1在点 1 1 处切线的斜率等于 A 2eB eC 2D 1解析y ex 1 xex 1 x 1 ex 1 故曲线在点 1 1 处的切线斜率为y x 1 2 C 点评导数几何意义的应用 需注意以下两点 1 当曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线垂直于x轴时 函数在该点处的导数不存在 切线方程是x x0 2 注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线 曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线方程是y f x0 f x0 x x0 求过某点的切线方程 需先设出切点坐标 再依据已知点在切线上求解 答案 1 题型二导数几何意义的综合应用 例2 2014 福建 已知函数f x ex ax a为常数 的图象与y轴交于点A 曲线y f x 在点A处的切线斜率为 1 1 求a的值及函数f x 的极值 解由f x ex ax 得f x ex a 又f 0 1 a 1 得a 2 所以f x ex 2x f x ex 2 令f x 0 得x ln2 当xln2时 f x 0 f x 单调递增 所以当x ln2时 f x 取得极小值 且极小值f ln2 eln2 2ln2 2 ln4 f x 无极大值 2 证明 当x 0时 x20 故g x 在R上单调递增 又g 0 1 0 因此 当x 0时 g x g 0 0 即x2 ex 3 证明 对任意给定的正数c 总存在x0 使得当x x0 时 恒有x20时 x20时 x2 cex 取x0 0 当x x0 时 恒有x2 cex 而要使ex kx2成立 则只要x ln kx2 即x 2lnx lnk成立 所以当x 2时 h x 0 h x 在 2 内单调递增 取x0 16k 16 所以h x 在 x0 内单调递增 又h x0 16k 2ln 16k lnk 8 k ln2 3 k lnk 5k 易知k lnk k ln2 5k 0 所以h x0 0 综上可知 对任意给定的正数c 总存在x0 当x x0 时 恒有x2 cex 方法二对任意给定的正数c 取x0 因此 对任意给定的正数c 总存在x0 当x x0 时 恒有x2 cex 由 2 知 当x 0时 x2 ex 从而h x 0 h x 在 0 上单调递减 因此 对任意给定的正数c 总存在x0 当x x0 时 恒有x2 cex 点评已知切线求参数问题 主要利用导数几何意义 通过切点坐标 切线斜率之间的关系来构造方程组求解 变式训练2 2015 课标全国 已知曲线y x lnx在点 1 1 处的切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 则a 得曲线在点 1 1 处的切线的斜率为k y x 1 2 所以切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 此切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 消去y得ax2 ax 2 0 得a 0且 a2 8a 0 解得a 8 8 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析y ex 曲线y ex在点 0 1 处的切线的斜率k1 e0 1 因为两切线垂直 所以k1k2 1 所以m 1 n 1 则点P的坐标为 1 1 答案B 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 曲线y e 2x 1在点 0 2 处的切线与直线y 0和y x围成的三角形的面积为 解析因为y 2e 2x 曲线在点 0 2 处的切线斜率k 2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 切线方程为y 2x 2 该直线与直线y 0和y x围成的三角形如图 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由点斜式得切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 B 1 C 2 D 2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析因为函数f x ax2 bx c 函数f x 图象上不存在斜率为0的切线 也就是f x 0无解 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 已知函数f x x3 3x 若过点A 0 16 且与曲线y f x 相切的切线方程为y ax 16 则实数a的值是 A 3B 3C 6D 9解析先设切点为M x0 y0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 联立 可解得x0 2 y0 2 答案D 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 设a R 函数f x x3 ax2 a 3 x的导函数是f x 若f x 是偶函数 则曲线y f x 在原点处的切线方程为 A y 3xB y 2xC y 3xD y 2x解析 f x 3x2 2ax a 3 又f x 是偶函数 a 0 即f x 3x2 3 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 k f 0 3 曲线y f x 在原点处的切线方程为y 3x 故选C 答案C 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 e e 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 2015 陕西 函数y xex在其极值点处的切线方程为 解析设y f x xex 令y ex xex ex 1 x 0 得x 1 当x 1时 y 0 当x 1时 y 0 故x 1为函数f x 的极值点 切线斜率为0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 已知曲线C f x x3 ax a 若过曲线C外一点A 1 0 引曲线C的两条切线 它们的倾斜角互补 则a的值为 解析设切点坐标为 t t3 at a 由题意知 f x 3x2 a 切线的斜率为k y x t 3t2 a 所以切线方程为y t3 at a 3t2 a x t 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 将点 1 0 代入 式得 t3 at a 3t2 a 1 t 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意可得f 1 2 f 1 e 故a 1 b 2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 证明 f x 1 设函数g x xlnx 则g x 1 lnx 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则h x e x 1 x 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2015 天津 已知函数f x 4x x4 x R 1 求f x 的单调区间 解由f x 4x x4 可得f x 4 4x3 当f x 0 即x 1时 函数f x 单调递增 当f x 0 即x 1时 函数f x 单调递减 所以 f x 的单调递增区间为 1 单调递减区间为 1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 设曲线y f x 与x轴正半轴的交点为P 曲线在点P处的切线方程为y g x 求证 对于任意的实数x 都有f x g x 证明设点P的坐标为 x0 0 则x0 f x0 12 曲线y f x 在点P处的切线方程为y f x0 x x0 即g x f x0 x x0 令函数F x f x g x 即F x f x f x0 x x0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则F x f x f x0 由于f x 4x3 4在 上单调递减 故F x 在 上单调递减 又因为F x0 0 所以当x x0 时 F x 0 当x x0 时 F x 0 所以F x 在 x0 上单调递增 在 x0 上单调递减 所以对于任意的实数x F x F x0 0 即对于任意的实数x 都有f x g x 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 若方程f x a a为实数 有两个实数根x1 x2 且x1 x2 求证 x2 x1 因为g x 在 上单调递减 又由 2 知g x2 f x2 a g x2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因此x2 x2 类似地 设曲线y f x 在原点处的切线方程为y h x 可得h x 4x 对于任意的x 有f x h x x4 0 即f x h x 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为h x 4x在 上单调递增 且h x1 a f x1 h x1 因此x1 x1