高考数学 6.2 一元二次不等式及其解法课件.ppt

第二节一元二次不等式及其解法 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 一元二次不等式的特征 一元二次不等式的二次项 最高次项 系数 0 不等于 2 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 x xx2 x x x1 x x1 x x2 在不等式ax2 bx c 0 a 0 中 如果二次项系数a 0 则可根据不等式的性质 将其转化为正数 再对照上表求解 3 用程序框图表示一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解过程 0 x2 x1 R 2 必备结论教材提炼记一记 x a x b 0或 x a x b 0型不等式解法 x x a x xa x a x b 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 配方法 因式分解 2 数学思想 数形结合思想 3 记忆口诀 一元二次不等式解集口诀 大于取两边 小于取中间 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 若不等式ax2 bx c0 2 若不等式ax2 bx c 0的解集是 x1 x2 则方程ax2 bx c 0的两个根是x1和x2 3 若方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 则不等式ax2 bx c 0的解集为R 4 不等式ax2 bx c 0在R上恒成立的条件是a 0且 b2 4ac 0 解析 1 正确 由不等式ax2 bx c0 2 正确 由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是正确的 3 错误 只有当a 0时才成立 当a0的解集为空集 4 错误 还要考虑a 0的情况 不等式ax2 bx c 0在R上恒成立的条件是a 0 b 0 c 0或a 0且 b2 4ac 0 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修5P80习题3 2A组T1 3 改编 不等式x2 3x 10 0的解集是 A 2 5 B 5 C 2 D 2 5 解析 选D x2 3x 10 x 5 x 2 0 所以x 5或x 2 故原不等式的解集为 2 5 2 必修5P81习题3 2B组T2改编 关于x的一元二次方程mx2 1 m x m 0没有实数根 则m的取值范围是 解析 若方程mx2 1 m x m 0没有实数根 则解得m 1或答案 1 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 大纲版全国卷 设集合M x x2 3x 4 0 N x 0 x 5 则M N A 0 4 B 0 4 C 1 0 D 1 0 解析 选B 因为M x 1 x 4 N x 0 x 5 所以M N x 0 x 4 2 2013 重庆高考 关于x的不等式x2 2ax 8a20 的解集为 x1 x2 且x2 x1 15 则a 解析 选A 由题意知 不等式x2 2ax 8a20 的解集为 2a 4a 因为x2 x1 15 所以4a 2a 15 解得 3 2014 浙江高考 设函数若f f a 2 则实数a的取值范围是 解析 由题意或解得f a 2 所以或解得答案 考点1一元二次不等式的解法 典例1 1 2015 珠海模拟 不等式 2x2 x 3 0的解集是 2 解关于x的不等式 ax2 a 1 x 1 0 解题提示 1 把不等式化简变形 确定相应方程的两个根 然后根据二次函数的性质得到不等式的解集 2 先求a 0时不等式的解集 再分a 0和a 0两种情况求解 规范解答 1 选D 不等式 2x2 x 3 0可化为2x2 x 3 0 即 2x 3 x 1 0 解得x 1 或所以不等式的解集是 2 当a 0时 原不等式可化为 x 11 当a1或 当a 0时 原不等式可化为 若01 则所以综上知 当a1 当0 a 1时 不等式的解集为 当a 1时 不等式的解集为 当a 1时 不等式的解集为 互动探究 本例 2 的不等式改为x2 a 1 x a1时 解集为 x 11时 解集为 x 1 x a 当a 1时 解集为 当a 1时 解集为 x a x 1 规律方法 解含参数的一元二次不等式的步骤 1 二次项系数若含有参数应讨论是等于0 小于0 还是大于0 然后将不等式转化为二次项系数为正的形式 2 判断方程的根的个数 讨论判别式 与0的关系 3 确定无根时可直接写出解集 确定方程有两个根时 要讨论两根的大小关系 从而确定解集形式 变式训练 解关于x的不等式 x2 2ax 3 0 a R 解析 4a2 12 4 a2 3 当 0 即时 方程x2 2ax 3 0无解或有两个相等的根 从而不等式的解集为R 当 0 即时 方程x2 2ax 3 0的两根为且x1 x2 所以 综上知 当时 不等式的解集为 x x 或x 当时 不等式的解集为R 加固训练 设二次不等式ax2 bx 1 0的解集为则ab的值为 A 6B 5C 6D 5 解析 选C 由题意知 方程ax2 bx 1 0的两根为 1 则有解得所以ab 6 故选C 考点2一元二次不等式恒成立问题知 考情一元二次不等式的恒成立问题以及三个 二次 间的联系及综合应用是高考的热点 而且常与函数 导数等知识交汇命题 考查应用分类讨论 数形结合 转化思想解决问题的能力 明 角度命题角度1 形如f x 0 f x 0 x R 求参数的取值范围 典例2 2013 重庆高考 设0 不等式8x2 8sin x cos2 0对x R恒成立 则 的取值范围为 解题提示 因为不等式恒成立 所以判别式小于等于零 直接求解即可 规范解答 因为不等式8x2 8sin x cos2 0对x R恒成立 所以 64sin2 32cos2 0 即64sin2 32 64sin2 0 解得0 sin 0 因为0 所以答案 命题角度2 形如f x 0 参数k a b 求x的取值范围 典例3 2015 兰州模拟 对任意的k 1 1 函数f x x2 k 4 x 4 2k的值恒大于零 则x的取值范围是 解题提示 把二次函数的恒成立问题转化为y k x 2 x2 4x 4 0在k 1 1 上恒成立 再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围 规范解答 因为任意k 1 1 函数f x x2 k 4 x 2k 4 0恒成立 所以f k k x 2 x2 4x 4 0为一次函数 所以所以解得x3 所以x的取值范围为 1 3 答案 1 3 易错警示 解答本题易出现以下两种错误 1 不会合理分析已知条件 这样无法转化成关于k的一次函数 而导致题目无法求解 2 解关于x的二次不等式组 确定解集出现1 x 3等错误 命题角度3 形如f x 0 x a b 求参数范围 典例4 2015 兰州模拟 对任意x 1 1 函数f x x2 k 4 x 4 2k的值恒大于零 求k的取值范围 解题提示 表示出对称轴 然后根据区间分类讨论求解 规范解答 函数f x x2 k 4 x 4 2k的对称轴为 当即k 6时 f x 的值恒大于零等价于f 1 1 k 4 1 4 2k 0 解得k 3 故k 当即2 k 6时 只要即k2 0 故k 当即k 2时 只要f 1 1 k 4 4 2k 0即k 1 故有k 1 综上可知 当k 1时 对任意x 1 1 函数f x x2 k 4 x 4 2k的值恒大于零 悟 技法解不等式恒成立问题的技巧 1 对于一元二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 2 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是主元 求谁的范围 谁就是参数 通 一类1 2015 武汉模拟 一元二次不等式对一切实数x都成立 则k的取值范围是 A 3 0 B 3 0 C 3 0 D 3 0 解析 选A 由一元二次不等式对一切实数x都成立 则解得 3 k 0 综上 满足一元二次不等式对一切实数x都成立的k的取值范围是 3 0 2 2015 济宁模拟 在R上定义运算 x y x 2 y 若不等式 x m x0 因为对任意的实数x不等式都成立 所以其对应的一元二次方程 x2 m 2 x 1 2m 0的根的判别式 m 2 2 4 1 2m 0 解得 4 m 0 答案 4 0 3 2015 银川模拟 已知不等式x2 2x a 0对任意实数x 2 3 恒成立 则实数a的取值范围为 解析 令f x x2 2x a x 1 2 a 1 所以f x 在区间 1 上单调递增 又不等式x2 2x a 0对任意实数x 2 3 恒成立 所以f 2 0恒成立 即4 4 a 0 解得a 0 故实数a的取值范围是a 0 答案 a 0 4 2015 洛阳模拟 若已知不等式2x 1 m x2 1 对满足 m 2的一切实数m的取值都成立 则x的取值范围为 解析 构造变量m的函数求解 2x 1 m x2 1 即 x2 1 m 2x 1 0构造关于m的函数f m x2 1 m 2x 1 m 2即 2 m 2 1 当x2 1 0时 则f 2 0 从而2x2 2x 1 0解得 又x2 1 0 即x 1或x 1 所以 2 当x2 1 0时 则f 2 0可得 2x2 2x 3 0 从而2x2 2x 3 0 解得又 1 x 1 从而 3 当x2 1 0时 则f m 1 2x 0 从而故x 1 综上有 答案 考点3一元二次不等式的实际应用 典例5 2015 威海模拟 行驶中的汽车 在刹车时由于惯性作用 要继续往前滑行一段距离才能停下 这段距离叫做刹车距离 在某种路面上 某种型号汽车的刹车距离s m 与汽车的车速v km h 满足下列关系 n为常数 且n N 做了两次刹车试验 有关试验数据如图所示 其中 1 求n的值 2 要使刹车距离不超过12 6m 则行驶的最大速度是多少 解题提示 1 由图象信息 将v 40 v 70代入求s1 s2 得关于n的不等式组 2 解关于v的不等式 求最大值 规范解答 1 由试验数据知 所以解之得又n N 所以取n 6 2 由 1 知 依题意 即v2 24v 5040 0 解之得 84 v 60 注意到v 0 所以0 v 60 故行驶的最大速度为60km h 规律方法 不等式实际应用的解题思路不等式的实际应用 常以函数模型为载体 解题时要理解题意 准确找出其中的不等关系 引进数学符号恰当表示 最后用不等式的解集回答实际问题 变式训练 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元 辆 出厂价为12万元 辆 年销售量为10000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品质量 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应地提高比例为0 75x 同时预计年销售量增加的比例为0 6x 已知年利润 出厂价 投入成本 年销售量 1 写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式 2 为使本年度的年利润比上年度有所增加 则投入成本增加的比例x应在什么范围内 解析 1 由题意得y 12 1 0 75x 10 1 x 10000 1 0 6x 0 x 1 整理得y 6000 x2 2000 x 20000 0 x 1 2 要保证本年度的年利润比上年度有所增加 必须有即解得所以投入成本增加的比例应在范围内 加固训练 2015 淄博模拟 某公司按现有能力 每月收入为70万元 公司分析部门测算 若不进行改革 因竞争加剧收入将逐月减少 分析测算得从2014年开始第一个月收入将减少3万元 以后逐月多减少2万元 如果进行改革 即投入技术改造300万元 且2014年后每月再投入1万元进行员工培训 则测算得自2014年后第一个月起累计收入Tn与时间n 以月为单位 的关系为Tn an b 且2014年第一个月时收入将为90万元 第二个月时累计收入为170万元 问2014年后经过几个月 该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入 解析 2014年改革后经过n个月的纯收入为 Tn 300 n 万元 公司若不进行改革 由题设知2014年后因竞争加剧收入将逐月减少 分析测算得2014年第一个月收入将减少3万元 以后逐月多减少2万元 所以不改革 第一个月 70 3 2 1 1 第二个月 70 3 2 2 1 第三个月 70 3 2 3 1 第n个月 70 3 2 n 1 所以不改革时的纯收入为 万元 由题设知所以由题意建立不等式 80n 10 300 n 70n 3n n 1 n 整理 得n2 11n 290 0 得n 12 4 因为n N 故取n 13 答 经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入 自我纠错14解一元二次不等式 典例 已知不等式ax2 bx c 0的解集为则不等式cx2 bx a 0的解集为 解题过程 错解分析 分析上面解题过程 你知道错在哪里吗 提示 忽视了对a b c符号的判断 根据给出的解集 除知道和2是方程ax2 bx c 0 a 0 的两根外 还应知道a 0 然后通过根与系数的关系进一步求解 规避策略 1 确定符号根据不等式的解集确定二次项系数的符号 2 准确转化正确利用根与系数的关系得到a b c的关系 做好不等式的等价转化 构造关于系数a b c的方程组 3 写出解集规范正确地解出不等式 写出解集 自我矫正 由于不等式ax2 bx c 0的解集为可知a 0 且2是方程ax2 bx c 0 a 0 的两根 所以所以所以不等式cx2 bx a 0可化为由于a 0 所以即2x2 5x 3 0 解得所以所求解集为答案