高考数学 5.1 数列的概念与简单表示法课件.ppt

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 数列的有关概念 一定顺序 每一个数 an f n a1 a2 an 2 数列的表示方法 n an 公式 3 an与Sn的关系 若数列 an 的前n项和为Sn n 1 n 2 则an S1 Sn Sn 1 4 数列的分类 an 1 an an 1 an 2 必备结论教材提炼记一记常见数列的通项公式 自然数列 1 2 3 4 an n 奇数列 1 3 5 7 an 2n 1 偶数列 2 4 6 8 an 2n 平方数列 1 4 9 16 an n2 2的乘方数列 2 4 8 16 an 2n 倒数列 乘积数列 2 6 12 20 可化为 1 2 2 3 3 4 4 5 an n n 1 重复数串列 9 99 999 9999 an 10n 1 0 9 0 99 0 999 0 9999 an 1 10 n 符号调整数列 1 1 1 1 an 1 n 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 由数列的前n项归纳通项公式的方法 递推数列转化的方法 判断数列的单调性的方法以及求最大 小 项的方法 2 数学思想 函数与方程 分类讨论 等价转化 3 记忆口诀 数列函数同族类 函数性质帮你忙 通项递推关系式 等价转化解析式 an与Sn关系式 分类讨论来合并 归纳思想非常好 猜测证明不可少 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 数列 an 和集合 a1 a2 a3 an 表达的意义相同 2 所有数列的第n项都能使用公式表达 3 如果数列 an 的前n项和为Sn 则对 n N 都有an 1 Sn 1 Sn 4 在数列 an 中 对于任意正整数m n am n amn 1 若a1 1 则a2 2 5 若已知数列 an 的递推公式为an 1 且a2 1 则可以写出数列 an 的任何一项 解析 1 错误 数列 an 是表示按照一定顺序排列的一列数 为a1 a2 a3 an 而集合 a1 a2 a3 an 只表明该集合中有n个元素 数列中的项有顺序 集合中的元素没有顺序 2 错误 不是所有的数列的第n项都能使用公式直接表达 3 正确 根据数列的前n项和的定义可知 4 正确 在am n amn 1中 令m n 1得a2 a1 1 1 1 2 5 正确 在已知递推公式中 令n 1得a2 而a2 1解得a1 1 同理可得an 1 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修5P31例3改编 在数列 an 中 a1 1 则a5 解析 选D 由已知得 2 必修5P29例1 2 改编 已知数列 an 的前四项分别为1 0 1 0 给出下列各式 其中可以作为数列 an 的通项公式的有 写出所有正确结论的序号 解析 根据各个数列的通项公式分别写出其前四项 只有 符合 答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 石家庄模拟 把1 3 6 10 15 21 这些数叫做三角形数 这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形 如图 则第7个三角形数是 A 27B 28C 29D 30 解析 选B 由图可知 第7个三角形数是1 2 3 4 5 6 7 28 2 2015 兰州模拟 已知数列 an 的前n项和Sn n2an n 2 且a1 1 通过计算a2 a3 猜想an等于 解析 选B a1 1 因为Sn n2an n 2 所以S2 4a2 即a1 a2 4a2 所以当n 3时 S3 9a3 即a1 a2 a3 9a3 解得因此猜想 3 2015 广州模拟 数列 an 满足an an 1 n N a2 2 Sn是数列 an 的前n项和 则S21为 解析 选B 因为an an 1 n N 所以故a2n 2 a2n 1 所以 4 2014 新课标全国卷 数列 an 满足an 1 a8 2 则a1 解析 由an 1 可得又a8 2 故答案 考点1由数列的前几项归纳数列的通项公式 典例1 1 2015 深圳模拟 数列的一个通项公式为 2 写出下列数列的一个通项公式 a b a b a b 其中a b为实数 3 33 333 3333 解题提示 1 根据a1 0 验证答案 用排除法求解 2 通过分析各数列已知项的数字特征的共性写出各数列的通项公式 规范解答 1 选C 因为a1 0 排除选项D 因为排除选项A B 只有选项C符合 2 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数 且奇数项为负 偶数项为正 所以它的一个通项公式为an 这是一个摆动数列 奇数项是a 偶数项是b 所以此数列的一个通项公式为 将数列各项改写为 分母都是3 而分子分别是10 1 102 1 103 1 104 1 所以 将该数列的前4项改写成分数的形式 可得通项公式 规律方法 由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 1 常用方法 观察 观察规律 比较 比较已知数列 归纳 转化 转化为特殊数列 联想 联想常见的数列 等方法 2 具体策略 分式中分子 分母的特征 相邻项的变化特征 拆项后的特征 各项的符号特征和绝对值特征 化异为同 对于分式还可以考虑对分子 分母各个击破 或寻找分子 分母之间的关系 对于符号交替出现的情况 可用 1 k或 1 k 1 k N 处理 变式训练 根据下面各数列前几项的值 写出数列的一个通项公式 1 2 3 4 5 55 555 5555 解析 1 将数列统一为 对于分子3 5 7 9 是序号的2倍加1 可得分子的通项公式为bn 2n 1 对于分母2 5 10 17 联想到数列1 4 9 16 即数列 n2 可得分母的通项公式为cn n2 1 因此可得数列的一个通项公式为an 2 这是一个分数数列 其分子构成偶数数列 而分子可分解为1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 每一项都是两个相邻奇数的乘积 知所求数列的一个通项公式为 3 数列的各项 有的是分数 有的是整数 可将数列的各项都统一成分数再观察 即 从而可得数列的一个通项公式为 4 将原数列改写为 易知数列9 99 999 的通项为10n 1 故所求的数列的一个通项公式为 加固训练 根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 2 0 8 0 88 0 888 3 解析 1 符号可通过 1 n表示 后面的数的绝对值总比前一个数的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 2 数列变为所以其通项公式为 3 各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4项的分子分别比分母少3 因此把第1项变为原数列化为 所以 考点2an与Sn关系式的应用 典例2 1 2015 临沂模拟 已知数列 an 的前n项和则a4等于 2 已知数列 an 的前n项和为Sn a1 1 Sn 2an 1 则Sn 解题提示 1 直接根据a4 S4 S3求出即可 2 根据 n N 都有an 1 Sn 1 Sn 把Sn 2an 1化为Sn 1与Sn之间的关系 求出数列 Sn 的通项 另外也可根据Sn 2an 1得出Sn 1 2an 进而得出an 1与an的关系 从而求出Sn 规范解答 1 选A 2 选B 方法一 因为an 1 Sn 1 Sn 所以由Sn 2an 1得 Sn 2 Sn 1 Sn 整理得3Sn 2Sn 1 所以所以数列 Sn 是以S1 a1 1为首项 为公比的等比数列 所以故选B 方法二 因为Sn 2an 1 所以Sn 1 2an n 2 两式相减得 an 2an 1 2an 所以 所以数列 an 从第2项起为等比数列 又n 1时 S1 2a2 所以所以 互动探究 若本例题 2 中 结论改为求an 应如何求解 解析 根据原题的结果当n 1时 a1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 n 1时不适合这个公式 所以 规律方法 已知Sn求an的三个步骤 1 先利用a1 S1求出a1 2 用n 1替换Sn中的n得到一个新的关系 利用an Sn Sn 1 n 2 便可求出当n 2时an的表达式 3 对n 1时的结果进行检验 看是否符合n 2时an的表达式 如果符合 则可以把数列的通项公式合写 如果不符合 则应该分n 1与n 2两段来写 变式训练 已知下面数列 an 的前n项和Sn 求 an 的通项公式 1 Sn 2n2 3n 2 Sn 3n b 解析 1 a1 S1 2 3 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 5 由于当n 1时也适合此等式 所以an 4n 5 2 a1 S1 3 b 当n 2时 an Sn Sn 1 3n b 3n 1 b 2 3n 1 当b 1时 a1适合此等式 当b 1时 a1不适合此等式 所以当b 1时 an 2 3n 1 当b 1时 加固训练 1 已知数列 an 的前n项和Sn n2 3n 若an 1an 2 80 则n的值为 A 5B 4C 3D 2 解析 选A 因为Sn n2 3n 所以a1 S1 2 当n 2时 an Sn Sn 1 4 2n 因此an 4 2n n N 又因为an 1an 2 80 即 4 2 n 1 4 2 n 2 80 n n 1 20 解得n 5或n 4 舍去 2 2015 重庆模拟 设数列 an 的前n项和为Sn 且Sn 2n 1 数列 bn 满足b1 2 bn 1 2bn 8an 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 数列为等差数列 并求 bn 的通项公式 解析 1 当n 1时 a1 S1 21 1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 因为a1 1适合通项公式an 2n 1 所以an 2n 1 n N 2 因为bn 1 2bn 8an 所以bn 1 2bn 2n 2 即所以是首项为1 公差为2的等差数列 所以 1 2 n 1 2n 1 所以bn 2n 1 2n 考点3由数列的递推关系求通项公式 典例3 1 在数列 an 中 a1 2 an 1 则an等于 A 2 lnnB 2 n 1 lnnC 2 nlnnD 1 n lnn 2 设 an 是首项为1的正项数列 且 n 1 an 12 nan2 an 1 an 0 n 1 2 3 则它的通项公式an 解题提示 1 把已知转化为采用叠加的方法求an 2 把已知转化为采用叠乘的方法求an 规范解答 1 选A 由已知 所以 将以上n 1个式子叠加 得 lnn 所以an 2 lnn n 2 经检验n 1时也适合 故选A 2 因为 n 1 an 12 an 1 an nan2 0 所以 an 1 an n 1 an 1 nan 0 又an 1 an 0 所以 n 1 an 1 nan 0 即所以所以答案 规律方法 典型的递推数列及处理方法 其中 1 an 1 pan q p 0 1 q 0 的求解方法是 设an 1 p an 即an 1 pan p 与an 1 pan q比较即可知只要 2 an 1 pan q pn 1 p 0 1 q 0 的求解方法是两端同时除以pn 1 即得数列为等差数列 提醒 对于有些递推公式要注意参数的限制条件 变式训练 根据下列条件 确定数列 an 的通项公式 1 a1 1 an 1 3an 2 2 a1 2 an 1 an 3n 2 解析 1 因为an 1 3an 2 所以an 1 1 3 an 1 所以所以数列 an 1 为等比数列 公比q 3 又a1 1 2 所以an 1 2 3n 1 所以an 2 3n 1 1 2 因为an 1 an 3n 2 所以an an 1 3n 1 n 2 所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 当n 1时 a1 2符合上式 所以 加固训练 1 设数列 an 的前n项和为Sn 已知2an 2n Sn 则数列 an 的通项公式an 解析 令n 1得a1 2 由2an 2n Sn 得2an 1 2n 1 Sn 1 整理得an 1 2an 2n 即即数列是首项为1 公差为的等差数列 故故an n 1 2n 1 答案 n 1 2n 1 2 已知数列 an 中 a1 1 则数列 bn 的通项公式bn 解析 由于an 1 2 即bn 1 4bn 2 又a1 1 故所以是首项为公比为4的等比数列 答案 考点4数列的性质知 考情因为数列可以看作是一类特殊的函数 所以数列也具备函数应具备的性质 因此 高考命题往往以数列作载体 用选择题 填空题的形式考查单调性 周期性等问题 明 角度命题角度1 数列的单调性问题 典例4 已知那么数列 an 是 A 递减数列B 递增数列C 常数列D 摆动数列 解题提示 利用比较法判断 规范解答 选B 因为所以所以所以an 1 an 所以数列 an 是递增数列 一题多解 解答本题 你知道几种解法 解答本题 还有以下解法 因为根据函数为减函数 知 x 0 为增函数 即为增函数 则an为递增数列 命题角度2 数列的周期性问题 典例5 2015 哈尔滨模拟 数列 an 满足则数列的第2015项为 解题提示 先根据已知推理得出数列的周期 再利用周期性求解 规范解答 因为所以a2 2a1 1 所以a3 2a2 所以a4 2a3 a5 2a4 1 a6 2a5 1 所以该数列的周期T 4 而2015 4 503 3 所以a2015 a3 答案 悟 技法1 解决数列的单调性问题可用以下三种方法 1 用作差比较法 根据an 1 an的符号判断数列 an 是递增数列 递减数列或是常数列 2 用作商比较法 根据 an 0或an 0 与1的大小关系进行判断 3 结合相应函数的图象直观判断 2 解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项 确定数列的周期 再根据周期性求值 通 一类1 2015 武汉模拟 已知数列 xn 满足xn 3 xn xn 2 xn 1 xn n N 若x1 1 x2 a a 1且a 0 则数列 xn 的前2015项的和S2015为 A 671B 670C 1342D 1344 解题提示 推算出 xn 的周期 利用周期性简化计算 解析 选D 由题意x1 1 x2 a x3 x2 x1 a 1 1 a x4 1 a a 1 2a 又x4 x1 所以 1 2a 1 又因为a 0 所以a 1 所以此数列为 1 1 0 1 1 0 其周期为3 所以S2015 S671 3 2 671 2 2 1344 2 2015 西安模拟 已知数列 an 满足a1 33 an 1 an 2n 则的最小值为 解析 选B 因为an 1 an 2n 所以an an 1 2 n 1 所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 2 2n 4 2 33 n2 n 33 n 2 又a1 33适合上式 所以an n2 n 33 所以令f x 则f x 令f x 0得所以当0 x 时 f x 0 当时 f x 0 即f x 在区间上递减 在区间上递增 又且所以f 5 f 6 所以当n 6时 有最小值 创新体验5数列的新定义问题 创新点拨 1 高考考情 以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点 考查频次较高 2 命题形式 常见的有新定义 新规则等 新题快递 1 2015 石家庄模拟 将石子摆成如图所示的梯形形状 称数列5 9 14 20 为 梯形数 根据图形的构成 此数列的第2014项与5的差 即a2014 5 A 2018 2012B 2020 2013C 1009 2012D 1010 2013 解析 选D 因为an an 1 n 2 n 2 a1 5 所以a2014 a2014 a2013 a2013 a2012 a2 a1 a1 2016 2015 4 5 1010 2013 5 所以a2014 5 1010 2013 故选D 2 2015 武汉模拟 在一个数列中 如果 n N 都有anan 1an 2 k k为常数 那么这个数列叫做等积数列 k叫做这个数列的公积 已知数列 an 是等积数列 且a1 1 a2 2 公积为8 则a1 a2 a3 a12 解析 依题意得数列 an 是周期为3的数列 且a1 1 a2 2 a3 4 因此a1 a2 a3 a12 4 a1 a2 a3 4 1 2 4 28 答案 28 3 2015 烟台模拟 对于E a1 a2 a100 的子集X 定义X的 特征数列 为x1 x2 x100 其中其余项均为0 例如 子集 a2 a3 的 特征数列 为0 1 1 0 0 0 1 子集 a1 a3 a5 的 特征数列 的前3项和等于 2 若E的子集P的 特征数列 为p1 p2 p100满足p1 1 pi pi 1 1 1 i 99 E的子集Q的 特征数列 为q1 q2 q100满足q1 1 qj qj 1 qj 2 1 1 j 98 则P Q的元素个数为 解析 1 子集 a1 a3 a5 的 特征数列 的前三项是1 0 1 故和为2 2 根据题设条件 子集P的 特征数列 是1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 子集Q的 特征数列 是1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 发现p1 q1 1 p7 q7 1 p6i 5 q6i 5 1 于是令6n 5 97 得n 17 所以P Q的元素个数为17 答案 1 2 2 17 备考指导 1 准确转化 解决数列新定义问题时 一定要读懂新定义的本质含义 将题目所给定义转化成题目要求的形式 切忌同已有概念或定义相混淆 2 方法选取 对于数列新定义问题 搞清定义是关键 仔细认真地从前几项 特殊处 简单处 体会题意 从而找到恰当的解决方法