高考数学 2.10 变化率与导数、导数的计算课件.ppt

第十节变化率与导数 导数的计算 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 函数y f x 在x x0处的导数 定义 称函数y f x 在x x0处的瞬时变化率 为y f x 在x x0处的导数 记作f x0 或即f x0 几何意义 函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是在曲线y f x 上点 x0 f x0 处的 相应地 切线方程为 2 函数y f x 的导函数 称函数f x 为函数y f x 的导函数 导函数有时也记作y 切线的斜率 y f x0 f x0 x x0 3 基本初等函数的导数公式 0 x 1 cosx sinx axlna ex 4 导数四则运算法则 f x g x f x g x g x 0 f x g x f x g x f x g x 5 复合函数的导数 复合函数y f g x 的导数和函数y f u u g x 的导数间的关系为yx yu ux 2 必备结论教材提炼记一记 1 曲线y f x 在点P x0 y0 处的切线是以点P x0 y0 为切点 以f x0 为斜率的直线 而曲线y f x 过点P x0 y0 的切线 点P x0 y0 不一定是切点 2 函数y f x 的导数f x 反映了函数f x 的瞬时变化趋势 其正负号反映了变化的方向 其大小 f x 反映了变化的快慢 f x 越大 曲线在这点处的切线越 陡 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 利用导数求切线的方法 2 数学思想 转化与化归 数形结合 3 记忆口诀 导数概念要理清 专门刻画变化量 放大放大再放大 逼近逼近再逼近 几何意义在切线 物理应用求速度 常见函数的导数 定义证明会推导 导数的四则运算 记住法则计算巧 简单函数的复合 记住公式会运算 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 求f x0 时 可先求f x0 再求f x0 2 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 3 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 4 若f x f a x2 lnx a 0 则f x 2xf a 解析 1 错误 应先求f x 再求f x0 2 正确 如y 1是曲线y sinx的切线 但其交点个数有无数个 3 错误 如y 0与抛物线y2 x只有一个公共点 但是y 0不是抛物线y2 x的切线 4 正确 f x f a x2 lnx f a x2 lnx 2xf a 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 选修2 2P11T1改编 在高台跳水运动中 ts时运动员相对于水面的高度 单位 m 是h t 4 9t2 6 5t 10 则运动员的速度v 加速度a 解析 v h t 9 8t 6 5 a v t 9 8 答案 9 8t 6 5 9 8 2 选修2 2P18T3改编 已知函数r V 则r 解析 因为r V 所以r 答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 广东高考 曲线y 5ex 3在点 0 2 处的切线方程为 解析 因为y 5ex y x 0 5 即在点 0 2 处的切线斜率为 5 所以切线方程为y 2 5 x 0 5x y 2 0 答案 5x y 2 0 2 2013 江西高考 若曲线y x 1 R 在点 1 2 处的切线经过坐标原点 则 解析 因为y x 1 所以在点 1 2 处的切线斜率k 则切线方程为y 2 x 1 又切线过原点 故0 2 0 1 解得 2 答案 2 3 2015 阳泉模拟 直线y x b是曲线y lnx x 0 的一条切线 则实数b 解析 y 令 得x 2 因此切点为 2 ln2 代入直线方程y x b得b ln2 1 答案 ln2 1 考点1导数的计算 典例1 求下列函数的导数 1 y exsinx 2 y x 3 y x 4 y ln 1 2x 解题提示 1 利用积的导数运算法则求解 2 3 先化简再求导 4 y ln 1 2x 是由y lnu与u 1 2x复合而成 规范解答 1 y ex sinx ex sinx exsinx excosx 2 因为所以y 3 因为y x sinx 所以y 1 cosx 4 设y lnu 则y ln 1 2x 是由y lnu 与u 1 2x复合而成 所以y x y u u x lnu 1 2x 2 易错警示 解答本题有三点容易出错 1 解答本题 2 时 若直接使用积的运算法则求导 则运算烦琐 易出错 2 解答本题 3 时 若不先化简 直接使用积的运算法则求导 易导致错误答案 3 解答 4 时 易因搞不清复合函数的构成而解答失误 规律方法 导数计算的原则和方法 1 原则 先化简解析式 使之变成能用八个求导公式求导的函数的和 差 积 商 再求导 2 方法 连乘积形式 先展开化为多项式的形式 再求导 分式形式 观察函数的结构特征 先化为整式函数或较为简单的分式函数 再求导 对数形式 先化为和 差的形式 再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式 再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式 再求导 复合函数 由外向内 层层求导 变式训练 求下列各函数的导数 1 y 3x2 4x 2x 1 2 y x2sinx 3 y 4 解析 1 因为y 3x2 4x 2x 1 6x3 3x2 8x2 4x 6x3 5x2 4x 所以y 18x2 10 x 4 2 y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 3 y 4 所以y 加固训练 求下列函数的导数 1 y 3xex 2x e 2 y 3 y 解析 1 y 3xex 2x e 3x ex 3x ex 2x 3xln3 ex 3xex 2xln2 3e xln 3e 2xln2 2 先化简 所以 3 设u 1 3x 则y u 4 则yx yu ux 考点2导数几何意义的应用知 考情导数的几何意义是高考重点考查的内容 主要考查求曲线的切线斜率 切线方程或已知曲线的切线斜率 切线方程求参数的值或范围等问题 明 角度命题角度1 求切点坐标或切线方程 典例2 2014 江西高考 若曲线y e x上点P处的切线平行于直线2x y 1 0 则点P的坐标是 解题提示 切线问题运用导数的几何意义求解 规范解答 设点P x0 y0 因为y e x 所以曲线在点P处的切线的斜率为又因为切线平行于直线2x y 1 0 所以解得x0 ln2 代入y e x得y0 2 所以点P ln2 2 答案 ln2 2 命题角度2 求参数的值 典例3 2014 陕西高考 如图 修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接 相切 已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分 则该函数的解析式为 解题提示 根据已知图像可以得到函数图像在与x轴交点处的导数 再利用导数及函数的零点列出三元一次方程组 解之即得所求 规范解答 选A 由已知可得此函数为三次函数且过原点 故可设函数解析式为y f x ax3 bx2 cx 所以f x 3ax2 2bx c 由题意知f 0 1 f 2 3 f 2 0 即c 1 12a 4b c 3 8a 4b 2c 0 解之得a b c 1 所以y x3 x2 x 悟 技法导数几何意义的应用及解法 1 已知切点A x0 y0 求斜率k 即求该点处的导数值k f x0 2 已知斜率k 求切点A x1 f x1 即解方程f x1 k 3 求过某点M x1 y1 的切线方程时 需设出切点A x0 f x0 则切线方程为y f x0 f x0 x x0 再把点M x1 y1 代入切线方程 求x0 4 根据导数的几何意义求参数的值时 一般是利用切点P x0 y0 既在曲线上又在切线上构造方程组求解 提醒 当切线方程中x 或y 的系数含有字母参数时 则切线恒过定点 通 一类1 2015 昆明模拟 若曲线f x acosx与曲线g x x2 bx 1在交点 0 m 处有公切线 则a b A 1B 0C 1D 2 解析 选C f x asinx g x 2x b 由题意知f 0 a g 0 1 且f 0 0 g 0 b 即a 1 b 0 所以a b 1 2 2014 江苏高考 在平面直角坐标系xOy中 若曲线y ax2 a b为常数 过点P 2 5 且该曲线在点P处的切线与直线7x 2y 3 0平行 则a b的值是 解析 曲线y ax2 a b为常数 过点P 2 5 则有4a 5 又该曲线在点P处的切线与直线7x 2y 3 0平行 由y 2ax 得联立两式得则a b 3 答案 3 3 2014 广东高考 曲线y e 5x 2在点 0 3 处的切线方程为 解析 因为y 5e 5x y x 0 5 即在点 0 3 处的切线斜率为 5 所以切线方程为y 3 5 x 0 即5x y 3 0 答案 5x y 3 0 4 2015 无锡模拟 抛物线y x2上的点到直线 x y 2 0的最短距离为 解析 y 2x 根据题意可知与直线x y 2 0平行的抛物线y x2的切线对应的切点到直线x y 2 0的距离最短 设切点坐标为 x0 x02 则所以x0 所以切点坐标为 切点到直线x y 2 0的距离d 所以抛物线上的点到直线x y 2 0的最短距离为答案 创新体验2导数几何意义应用的创新问题 创新点拨 1 高考考情 导数几何意义的应用中的创新问题是近几年高考命题的一个增长点 此类问题以新定义 新情境为依托 考查学生理解问题 解决创新问题的能力 2 命题形式 常见的有新概念 新情境 新法则等 新题快递 1 2014 陕西高考 如图 某飞行器在4千米高空水平飞行 从距着陆点A的水平距离10千米处下降 已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分 则函数的解析式为 解题提示 根据函数的图象可以得到函数的极值点 再利用导数求得解析式的极值点 二者能够统一的即为所求 解析 选A 由函数图象可得函数的极值点为 5 对四个选项中函数解析式进行求导 只有选项A的函数解析式求导得y 3 x2 令y 0得x 5 所以只有选项A的解析式与图象相统一 2 2014 安徽高考 若直线l与曲线C满足下列两个条件 1 直线l在点P x0 y0 处与曲线C相切 2 曲线C在点P附近位于直线l的两侧 则称直线l在点P处 切过 曲线C 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 直线l y 0在点P 0 0 处 切过 曲线C y x3 直线l x 1在点P 1 0 处 切过 曲线C y x 1 2 直线l y x在点P 0 0 处 切过 曲线C y sinx 直线l y x在点P 0 0 处 切过 曲线C y tanx 直线l y x 1在点P 1 0 处 切过 曲线C y lnx 解析 根据题意满足条件的有 不满足题意 答案 备考指导 1 准确转化 解决此类问题时 一定要读懂题目的本质含义 紧扣题目所给条件 结合题目要求进行恰当转化 切忌同已有概念或定义相混淆 2 方法选取 对于导数几何意义的应用中的创新问题 可恰当选用图象法 特例法 一般逻辑推理等方法 同时结合导数的几何意义求解 以此培养学生领悟新信息 运用新信息的能力