2019-2020年三年级数学 奥数讲座 植树问题.doc

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2019-2020年三年级数学 奥数讲座 植树问题绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题”来解,或借助解“植树问题”的思考方法来解。先介绍四类最简单、最基本的植树问题。为使其更直观,我们用图示法来说明。树用点来表示,植树的沿线用线来表示,这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。显然,只有下面四种情形:(1)非封闭线的两端都有“点”时,“点数”“段数”1。(2)非封闭线只有一端有“点”时,“点数”=“段数”。(3)非封闭线的两端都没有“点”时,“点数”“段数”-1。(4)封闭线上,“点数”=“段数”。最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。例如,一条河堤长420米,从头到尾每隔3米栽一棵树,要栽多少棵树?这是第(1)种情形,所以要栽树42031141(棵)。又如,肖林家门口到公路边有一条小路,长40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树,一共要栽多少棵树?由于门的一端不能栽树,公路边要栽树,所以,属于第(2)种情形,要栽树40220(棵)。再如,两座楼房之间相距30米,每隔2米栽一棵树,一直行能栽多少棵树?因紧挨楼房的墙根不能栽树,所以,属于第(3)种情形,能栽树302-114(棵)。再例如,一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔3米放一盆花,那么一共能放多少盆花?这属于第(4)种情形,共能放花60320(盆)。许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。例1在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆,包括这段路两端埋设的路灯杆,共埋设了10根。这段路长多少米?解:这是第(1)种情形,所以,“段数”1019。这段路长为50(10-1)450(米)。答:这段路长450米。例2小明要到高层建筑的11层,他走到5层用了100秒,照此速度计算,他还需走多少秒?分析:因为1层不用走楼梯,走到5层走了4段楼梯,由此可求出走每段楼梯用100(51)25(秒)。走到11层要走10段楼梯,还要走6段楼梯,所以还需256150(秒)。解:100(5-1)(11-5)150(秒)。答:还需150秒。例3一次检阅,接受检阅的一列彩车车队共30辆,每辆车长4米,前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长?如果车队每秒行驶2米,那么这列车队要通过535米长的检阅场地,需要多少时间?解:车队间隔共有30-129(个),每个间隔5米,所以,间隔的总长为(30-1)5145(米),而车身的总长为304120(米),故这列车队的总长为(30-1)5+304265(米)。由于车队要行265535800(米),且每秒行2米,所以,车队通过检阅场地需要(265535)2400(秒)6分40秒。答:这列车队共长265米,通过检阅场地需要6分40秒。例4下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少?十个这样的铁环连在一起有多长?解:如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数(每个长6毫米)。根据植树问题的第(3)种情形知,五个连在一起的“环扣”数为5-14(个),所以重叠部分的长为6(5-1)24(毫米),又4厘米=40毫米,所以五个铁环连在一起长405-6(51)176(毫米)。同理,十个铁环连在一起的长度为4010-6(10-1)=346(毫米)。答:五个铁环连在一起的长度为176毫米。十个铁环连在一起的长度为346毫米。例5父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡,父亲每步上3个台阶,儿子每步上2个台阶。从起点处开始,父子俩走完这段路共踏了多少个台阶?(重复踏的台阶只算一个)。解:因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过,根据已知条件,儿子踏过的台阶数为3002150(个),父亲踏过的台阶数为3003100(个)。由于23=6,所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶,共重复踏了300650(个)。所以父子俩共踏了台阶150100-50200(个)。答:父子俩共踏了200个台阶。 练习1.学校有一条长60米的走道,计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵。(1)如果两端都各栽一棵树,那么共需多少棵树苗?(2)如果两端都不栽树,那么共需多少棵树苗?(3)如果只有一端栽树,那么共需多少棵树苗?2.一个长100米,宽20米的长方形游泳池,在离池边3米的外围圈(仍为长方形)上每隔2米种一棵树。共种了多少棵树?3.一根90厘米长的钢条,要锯成9厘米长的小段,一共要锯几次?4.测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆,然后每隔40米立一根标杆。当立杆10根时,第1根与第10根相距多少米?5.学校举行运动会。参加入场式的仪仗队共180人,每6人一行,前后两行间隔120厘米。这个仪仗队共排了多长?6.在一条长1200米的河堤边等距离植树(两端都要植树)。已挖好每隔6米植一棵树的坑,后要改成每隔4米植一棵树。还要挖多少个坑?需要填上多少个坑?7.一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥,共用100秒。已知每辆车长5米,两车之间相隔10米,那么这个车队共有多少辆车?附送:2019-2020年三年级数学 奥数讲座 横式数字谜(一)在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字,或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式,叫做数字谜题目。解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。例如,求算式324+=528中所代表的数。根据“加数=和-另一个加数”知,=582-324258。又如,求右竖式中字母A,B所代表的数字。显然个位数相减时必须借位,所以,由12-B5知,B12-57;由A-13知,A314。解数字谜问题既能增强数字运用能力,又能加深对运算的理解,还是培养和提高分析问题能力的有效方法。这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。解横式数字谜,首先要熟知下面的运算规则:(1)一个加数+另一个加数=和;(2)被减数-减数=差;(3)被乘数乘数=积;(4)被除数除数=商。由它们推演还可以得到以下运算规则:由(1),得 和-一个加数=另一个加数;其次,要熟悉数字运算和拆分。例如,8可用加法拆分为80817263544;24可用乘法拆分为24124=2123846(两个数之积)=1212226=(三个数之积)=12262223=(四个数之积)例1 下列算式中,*各代表什么数?(1)+513-6; (2)28-157;(3)3=54; (4)387;(5)56*7。解:(1)由加法运算规则知,=13-6-52;(2)由减法运算规则知,28-(157)6;(3)由乘法运算规则知,54318;(4)由除法运算规则知,=873261;(5)由除法运算规则知,*5678。例2 下列算式中,各代表什么数?(1)+=48;(2)621-;(3)5-18612;(4)63-4513。解:(1)表示一个数,根据乘法的意义知,+=3,故=48316。(2)先把左端(6)看成一个数,就有(6)21,321-6,1535。(3)把5,186分别看成一个数,得到5=12186,5=15,=1553。(4)把63,45分别看成一个数,得到4563-13,455,4559。例3(1)满足581271的整数等于几?(2)180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的?试把这四个数按从小到大的次序填在下式的里。180=。(3)若数,满足=48和=3,则,各等于多少?分析与解:(1)因为5812410,7112511,并且为整数,所以,只有=5才满足原式。(2)拆分180为四个整数的乘积有很多种方法,如180145912330但拆分成四个“大于1”的数字的乘积,范围就缩小了,如18022592356若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积,范围又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种:1802356。所以填的四个数字依次为2,3,5,6。(3)首先,由=3知,因此,在把48拆分为两数的乘积时,有4848124216312486,其中,只有48124中,124=3,因此=12,=4。这道题还可以这样解:由=3知,=3。把=48中的换成3,就有(3)48,于是得到=48316。因为1644,所以=4。再把=3中的换成4,就有=3=43=12。这是一种“代换”的思想,它在今后的数学学习中应用十分广泛。下面,我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。例4 在等号左端的两个数中间添加上运算符号,使下列各式成立:(1)4 4 4 424;(2)5 5 5 5 5=6。解:(1)因为444424,所以必须填一个“”。4416,剩下的两个4只需凑成8,因此,有如下一些填法:444424;444424;444424。(2)因为5+1=6,等号左端有五个5,除一个5外,另外四个5凑成1,至少要有一个“”,有如下填法:55+5-5+56;5555-56;55555=6;555556。由例4看出,填运算符号的问题一般会有多个解。这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的,如果只是盲目地“试算”,那么就可能走很多弯路。例5 在下式的两数中间添上四则运算符号,使等式成立:8 2 33 3。分析与解:首先考察右端“3 3”,它有四种填法:3+36; 3-30;339; 33=1。再考察左端“8 2 3”,因为只有一个奇数3,所以要想得到奇数,3的前面只能填“”或“-”,要想得到偶数,3的前面只能填“”。经试算,只有两种符合题意的填法:8-2333;82-333。填运算符号可加深对四则运算的理解和认识,也是培养分析能力的好内容。
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