2019-2020年四年级数学数阵图复习.doc

2019-2020年四年级数学数阵图复习数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根据题目条件灵活解题。例1把20以内的质数分别填入下图的一个中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。分析与解：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有5197171113，于是得到下图的填法。例2在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，右下图为填好后的数阵图。例3将18填入左下图的内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个内。分析与解：因为中间的两个各自只与一个不相邻，而27中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个内只能填1和8。2只能填在与1不相邻的内，7只能填在与8不相邻的内。其余数的填法见右上图。例4在右图的六个内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20210。10分为三个质数之和只能是235，由此得到右图的填法。例5在右图所示立方体的八个顶点上标出19中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。分析与解：设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和为129-a45-a。由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为6k3（45-a），2k45-a。2k是偶数，45a也应是偶数，所以a必为奇数。若a1，则k22；若a3，则k21；若a5，则k20；若a7，则k19；若a9，则k18。因为k不能被a整除，所以只有a7，k19符合条件。由于每个面上四个顶点上的数字之和等于19，所以与9在一个面上的另外三个顶点数之和应等于10。在1，2，3，4，5，6，8中，三个数之和等于10的有三组：10136145235，将这三组数填入9所在的三个面上，可得右图的填法。附送：2019-2020年四年级数学数阵图练习题(2)我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从一道典型的例题开始。例1把19这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为19这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于453=15。也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。在19这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：951，942，861，852，843，762，753，654。因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5符合条件，因此应将5填在中心方格中。同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。经试验，有下面八种不同填法：上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如，第一行的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转90，180，270得到。又如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以，这八个图本质上是相同的，可以看作是一种填法。例1中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地，将九个不同的数填在33（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等，而不要求两条对角线上的三数之和也相等，则解不唯一，这是因为在例1的解中，任意交换两行或两列的位置，不影响每行或每列的三数之和，故仍然是解。例2用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。分析与解：给出的九个数形成一个等差数列，对照例1，19也是一个等差数列。不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即1325=1721；余下各数就不难填写了（见右图）。与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入33（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方。例3将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻，所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算，只有第二种情况得到下图的两个解。因为第二种情况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反幻方。例4将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条证明：因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k。如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次。所以有九数之和+中心方格中的数3=4k，3k+中心方格中的数3=4k，注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求。这个结论对求解33方格中的数阵问题很实用。在33的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方。例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。分析与解：由例4知中间方格中的数为267389。由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为267-89178。两个质数之和为178的共有六组：5+17311167291494113747+13171+107。经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。