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专题七几何图形的探究猜想与证明类型一一般的猜想探究题1.如图,在ABC中,BC=6,BC边上的高为4,在ABC的内部作一个矩形DEFG,使EF在BC边上,另外两个顶点分别在AB、AC边上,则对角线EG长的最小值为.2.已知在RtABC中,BAC=90,ABAC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且DCBE=ACBC=m,连接AE,过点D作DMAE,垂足为点M,延长DM交AB于点F.(1)如图1,过点E作EHAB于点H,连接DH.求证:四边形DHEC是平行四边形;若m=22,求证:AE=DF;(2)如图2,若m=35,求DFAE的值.类型二图形旋转型3.如图,在由边长为1的小正方形组成的1010网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1,B1).画出线段A1B1;将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1.画出线段A2B1;(2)以A、A1、B1、A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是.4.在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.(1)如图1,当点D落在BC边上时,求点D的坐标;(2)如图2,当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H.求证:ADBAOB;求点H的坐标;(3)记K为矩形AOBC对角线的交点,S为KDE的面积,求S的取值范围(直接写出结果即可).类型三图形折叠型5.如图,在O中,点C在优弧AB上,将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若O的半径为5,AB=4,则BC的长是()A.23B.32C.532D.6526.如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在ABC外的A处,折痕为DE.如果A=,CEA=,BDA=,那么下列式子中正确的是()A.=2+B.=+2C.=+D.=180-7.课程学习:正方形折纸中的数学动手操作:如图1,四边形ABCD是一张正方形纸片,先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B.数学思考:(1)求CBF的度数;(2)如图2,在图1的基础上,连接AB,试判断BAE与GCB的大小关系,并说明理由.解决问题:(3)如图3,按以下步骤进行操作:第一步:先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后继续对折,使AB与DC重合,折痕为MN,再把这个正方形展平,设EF和MN相交于点O;第二步:沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B,再沿直线AH折叠,使D点落在EF上,对应点为D;第三步:设CG、AH分别与MN相交于点P、Q,连接BP、PD、DQ、QB.试判断四边形BPDQ的形状,并证明你的结论.答案精解精析1.答案1213132.解析(1)证明:EHAB,BAC=90,EHCA,BHEBAC,BEBC=HEAC,DCBE=ACBC,BEBC=DCAC,HEAC=DCAC,HE=DC,EHDC,四边形DHEC是平行四边形.ACBC=22,BAC=90,AC=AB,DCBE=22,HE=DC,HEBE=22,BHE=90,BH=HE,HE=DC,BH=CD,AH=AD,DMAE,EHAB,EHA=AMF=90,HAE+HEA=HAE+AFM=90,HEA=AFM,EHA=FAD=90,HEAAFD,AE=DF.(2)如图,过点E作EGAB于G,CAAB,EGCA,EGBCAB,EGCA=BEBC,EGBE=CABC=35,CDBE=35,EG=CD,设EG=CD=3x,AC=3y,BE=5x,BC=5y,BG=4x,AB=4y,EGA=AMF=90,GEA+EAG=EAG+AFM,AFM=AEG,FAD=EGA=90,FADEGA,DFAE=ADAG=3y-3x4y-4x=34.3.解析(1)如图所示.如图所示.(2)20.4.解析(1)点A(5,0),点B(0,3),OA=5,OB=3.四边形AOBC是矩形,AC=OB=3,BC=OA=5,OBC=C=90.矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的,AD=AO=5.在RtADC中,有AD2=AC2+DC2,DC=AD2-AC2=52-32=4.BD=BC-DC=1.点D的坐标为(1,3).(2)由四边形ADEF是矩形,得ADE=90.又点D在线段BE上,得ADB=90.由(1)知,AD=AO,又AB=AB,AOB=90,RtADBRtAOB.由ADBAOB,得BAD=BAO.又在矩形AOBC中,OABC,CBA=OAB.BAD=CBA.BH=AH.设BH=t,则AH=t,HC=BC-BH=5-t.在RtAHC中,有AH2=AC2+HC2,即t2=32+(5-t)2,解得t=175.BH=175.点H的坐标为175,3.(3)30-3344S30+3344.5.B6.A7.解析(1)如图1,由折叠可知,EFC=90,CF=12CD,四边形ABCD是正方形,CD=CB,CF=12BC,CB=CB,CF=12CB,在RtBFC中,sinCBF=CFCB=12,CBF=30.(2)如图2,连接BB交CG于点K,由折叠可知,EF垂直平分AB.BA=BB,BAE=BBE,四边形ABCD是正方形,ABC=90,BBE+KBC=90,由折叠知,BKC=90,KBC+GCB=90,BBE=GCB,又由折叠知,GCB=GCB,BAE=GCB.(3)四边形BPDQ为正方形.证明:如图3,连接AB,由(2)可知BAE=GCB,由折叠可知,GCB=PCN,BAE=PCN,由折叠知AEB=CNP=90,AE=12AB,CN=12BC,四边形ABCD是正方形,AB=BC,AE=CN,在AEB和CNP中,BAE=PCN,AE=CN,AEB=CNP,AEBCNP(ASA),EB=NP,同理可得,EB=MQ,由对称性可知,EB=FD,EB=NP=FD=MQ,由两次折叠可得OE=ON=OF=OM,OB=OP=OD=OQ,四边形BPDQ为矩形,由折叠知,MNEF于点O,PQBD于点O,四边形BPDQ为正方形.
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