高考理科数学压轴试卷（含解析）

高考理科数学压轴试卷（含解析）一、选择题（共 8题，每题 5分，共 40分）1. 表示集合 中整数元素的个数，设集合 ， ，则 （ ）A3 B4 C5 D62 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 （ ）A B0 C1 D0 或 13.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入 n的值为 6，则输出 S的值为 A. B. C. D. 4.不等式组 所表示的平面区域的面积等于（ ）A B. C. D. 5.下列函数中，既是奇函数，又是 上的单调函数的是（ ）A B C D 6. 展开式中 的系数为（ ）A B4864 C D12807.已知棱长为 1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（ ）A B C D 8函数 恰有两个整数解，则实数 的取值范围为（ ）A B C D 二、填空题：本大题共有 6小题，每小题 5分，共 30分.9.已知两点 以线段 为直径的圆的方程为_.10.学校艺术节对 、 、 、 四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是 或 作品获得一等奖”； 乙说：“ 作品获得一等奖”；丙说：“ 、 两件作品未获得一等奖”； 丁说：“是 作品获得一等奖”评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_11.已知长方体的长、宽、高分别为 2，1，2，则该长方体外接球的表面积为_12.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 直线 截圆 的弦长等于圆 的半径长的 倍，求 的值 13.如图，在 中， ， 是 上一点，若 ，则实数 的值为14.设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是_三、解答题：本大题共 6小题,共 80分.解答应 写出文字说明,证明过程或 演算步骤.(15) (本小题满分 13分)设 的内角 所对边的长分别是 ，且 () 求 的值 ；() 求 的值 .16 (本小题满分 13分)田忌赛马是史记中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发现他们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等 于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注 假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：田忌的马 获胜概率 公子的马 上等马 中等马 下等马上等马 1中等马 下等马 0 比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注 1000金，即胜利者赢得对方 1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望17（本小题 13分）如图，在四棱锥 中， ， ， ，且 ， （1）证明： 平面 ；（2）在线段 上，是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ？如果存在，求 的值；如果不存在，请说明理由18.（本小题 13分）在平面直角坐标系 中，设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ，已知 ，其中 为原点， 为椭圆的离心率.（）求椭圆的标准方程及离心率 ；（）设过点 的直线 与椭圆交于点 ，垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，且 ，求直线 的斜率的取值范围.19.(本小题满分 14分)数列 是等比数列，公比大于 ，前 项和 ， 是等差数列，已知 ， ， ， .（）求数列 ， 的通项公式 ， ；（）设 的前 项和为 ，（i）求 ；（ii）证明： .20. (本小题满分 14分)设函数 .() 求曲线 在点 处的切线方程；() 讨论函数 的单调性； () 设 , 当 时,若对任意的 ，存在 ，使 得 ，求实数 的取值范围. 参考答案：1【答案】C【解析】 ， ， ， 故选 C2【答案】C【解析】 是纯虚数， ，即 ，故选 C3.【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得：， ， 满足条件 ， ， 满足条件 ， ， 满足条件 ， ， 不满足条件 ，退出循环，输出 S的值为 故选：A4.【答案】【解析】由 ，得 ，如图 7-8所示，故5【答案】B【解析】对于 A， ，有 ，则函数 为偶函数，不符合题意；对于 B， ，有 ，函数 为奇函数，且在 上的单调递增，符合题意；对于 C， ，有 ，函数 为奇函数，但在 上不是单调函数，不符合题意；对于 D， ， 的定义域为 ，在 上不是单调函数，不符合题意；故选 B6.【答案】A【解析】根据二项式的展开式，可以得到第一个括号里出 项，第二个括号里出 项，或者第一个括号里出 ，第二个括号里出 ，具体为 ，化简得到 ，故答案为 A7.【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体 截去三棱锥 和三棱锥 后的剩余部分其表面为六个腰长为 1的等腰直角三角形和两个边长为 的等边三角形，所以其表面积为 ，故选 B8.【答案】D【解析】函数 恰有两个整数解，即 恰有两个整数解，令 ，得 ，令 ，易知 为减函数当 ， ， ， 单调递增；当 ， ， ， 单调递减， ， 由题意可得： ， 故选 D9【答案】 【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|= 所以圆的半径为 所以圆的方程为 .故答案为： 10【答案】B【解析】若 A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若 B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若 C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若 D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故 B获得一等奖11【答案】 【解析】由题意，长方体的长宽高分别为 ，所以其对角线长为 ，求得球的半径为 ，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，长方体的长宽高分别为 ，所以其对角线长为 ，设长方体的外接球的半径为 ，则 ，即 ，所以球的表面积为 .12【答案】 或 【解析】 圆 的极坐标方程转化成直角坐标方程为： ，直线 截圆 的弦长等于圆 的半径长的 倍， ，整理得 ，利用平方法解得 或 13.【答案】 【解析】由题意及图， ，又 ， ， ，又 ， ，解得 ， .14【答案】 【解析】如图所示：可得 的图像与 的交点分别为 ， ， ，则实数 的取值范围是 ，可得答案 15【 答案】：() 解:由 ，知 ， 由正、余弦定理得 . 因为 ，所以 ,则 . () 解:由余弦定理得 . xk.Com由于 ，所以 故 16.【答案】（1） ；（2）见解析【解析】（1）记事件 ：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，对于事件 ，三场比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜，因此， ；（2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量 ，则随机变量 的可能取值为 和 1000，若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，设比赛一次，田忌获胜的概率为 ，则 随机变量 的分布列如下表所示：1000 因此，田忌一年赛马获利的数学期望为 金17.【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】（1）在底面 中， ， ，且 ， ， ， ，又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， ， ， ， ，又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 （2）方法一：在线段 上取点 ，使 ，则 ，又由（1）得 平面 ， 平面 ，又 平面 ， ，作 于 ，又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， ，又 ， 是二面角 的一个平面角，设 ，则 ， ，这样，二面角 的大小为 ，即 ，即 ，满足要求的点 存在，且 方法二：取 的中点 ，则 、 、 三条直线两两垂直可以分别以直线 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，且由（1）知 是平面 的一个法向量，设 ，则 ， ， ， ，设 是平面 的一个法向量，则 ， ，令 ，则 ，它背向二面角，又平面 的法向量 ，它指向二面角，这样，二面角 的大小为 ，即 ，即 ，满足要求的点 存在，且 18. 【答案】（） （） 【解析】（）由已知得 ，即 ，解得 ，所以 ，得 ，椭圆方程为 . （）解： 设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，设 由方程组 ，消去 ，整理得 解得 或 ，所以 点坐标为 . 由（）知， ，设 ，有 ，由 ,则 ，所以 ，解得 ，因此直线 的方程为 ，设 ，由方程组 消去 ，解得 ，在 中， ，即 ，化简得 ，即 ，解得 ，或 .所以，直线 的斜率的取值范围为 19【答案】（） ， （）（i） 【解析】（）解：设数列 的公比为 （ ）， ， （舍）或 ， 设数列 的公差为 ， .（）解： 20【答案】 () ( ) 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增当 时，此时 在 上单调递增，在 上单调递减() 【解析】() 解: , 因为 且 , 所以曲线 在点 处的切线方程为 () 解:函数 的定义域为 , 令 ，由 ，知 讨论:当 时， ，此时 在 上单调递减，在 上单调递增. 当 时， ，此时 在 上单调递增，在 上单调递减() 解:由 () 知，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 则对任意的 ，有 ，即 . 又已知存在 ,使得 ,所以 ，即存在 ，使得 ，即 .因为 时， ，所以 ，即 .所以实数 的取值范围是 .