2019-2020年三年级数学 奥数讲座 数阵图（一）.doc

2019-2020年三年级数学 奥数讲座 数阵图（一）在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，19九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。例1 把15这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。例2 把15这五个数填入下页左上图中的里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于(1+2+3+4+5)+52=10。因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。在剩下的四个数1， 2， 3， 4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右上图的填法。例3 把15这五个数填入右图中的里，使每条直线上的三个数之和相等。分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和2，所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数)2。因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为(15+1)2=8。填法见左下图；若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为(15+3)2=9。填法见下中图；若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为(15+5)2=10。填法见右下图。由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。为了进一步学会掌握这种解题方法，我们再看两例。例4 将17这七个自然数填入左下图的七个内，使得每条边上的三个数之和都等于10。分析与解：与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到(1+2+7)+重叠数2=103。由此得出重叠数为103-(1+2+7)2=1。剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几？怎样填？例5 将 1020填入左下图的内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。解：与例2类似，中间内的15是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于(10+11+20)+1545=45。剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右上图的填法。例15都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。例4的图中有三条边，每边有三个数，称为辐射型33图；例5有五条边每边有三个数，称为辐射型53图。一般地，有m条边，每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型mn图。辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。对于辐射型数阵图，有已知各数之和+重叠数重叠次数=直线上各数之和直线条数。由此得到：(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于(直线上各数之和直线条数-已知各数之和)重叠次数。如例1、例4。(2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数重叠次数)直线条数。如例2、例5。(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例3。 练习1.将17这七个数分别填入左下图中的里，使每条直线上的三个数之和都等于12。如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？2.将19这九个数分别填入右上图中的里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。如果中心数是5，那么又该如何填？3.将19这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法)4.将39这七个数分别填入左下图的里，使每条直线上的三个数之和等于20。5.将111这十一个数分别填入右上图的里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。6.将17这七个数分别填入下图的里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。附送：2019-2020年三年级数学 奥数讲座 数阵图（二）上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。例1 将18这八个数分别填入右图的中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。分析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为212-(1+2+8)=6。在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下图的填法。如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。例2 将16这六个自然数分别填入右图的六个内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。分析与解：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于113-(1+2+6)=12。16中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。容易发现，所填数不是16，不合题意。同理，三个重叠数也不能是3，4，5。经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。例3 将16这六个自然数分别填入右图的六个中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。分析与解：与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+6)+重叠数之和=每边三数之和3，得到每边的三数之和等于(1+2+6)+重叠数之和3=(21+重叠数之和)3=7+重叠数之和3。因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是16中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。与例2的方法类似，可得下图的四种填法：每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和=11 每边三数之和=12例4将29这八个数分别填入右图的里，使每条边上的三个数之和都等于18。分析与解：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。所以四个重叠数之和等于184-(2+3+9)=28。而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。又由于18-9-8=1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。以上例题都是封闭型数阵图。一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和边数。由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。例5把17分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。分析与解：这道题的“重叠数”很多。有重叠2次的(中心数，记为a)；有重叠1次的(三个数，分别记为b，c，d)。根据题意应有(1+2+7)+a+a+b+c+d=133，即 a+a+b+c+d=11。因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。 练习1.把18填入下页左上图的八个里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。2.把16这六个数填入右上图的里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。3.将18填入左下图的八个中，使得每条边上的三个数之和都等于15。4.将18填入右上图的八个中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。5.将17填入右图的七个，使得每条直线上的各数之和都相等。6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。