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xx年中考数学提分训练: 图形的相似一、选择题1.如图，ABC中，BCDA，DEBC，与ABC相似的三角形（ABC自身除外）的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个2.在ABC中，点D,E分别为边AB,AC的中点，则ADE与ABC的面积之比为（ ） A.B.C.D.3.如图，ABCDEF，相似比为12，若BC1，则EF的长是（ ）A.1B.2C.3D.44.如图，DEF是由ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则DEF与ABC的面积比是（ ）A.12B.14C.15D.165.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FGCD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（ ）ADG=AFG；四边形DEFG是菱形；DG2= AEEG；若AB=4，AD=5，则CE=1A.B.C.D.6.如图， 与 中， 交 于 给出下列结论：C=E；ADEFDB；AFE=AFC；FD=FB其中正确的结论是（ ） A.B.C.D.7.如图，在平行四边形ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE于点G，BG4 ，则EFC的周长为（ ）A.11B.10C.9D.88.如图，已知在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DEBC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（ ）A.1：2B.1：3C.2：3D.2：59.如图，ABC中，D，E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（ ）A.4：2：1B.5：3：1C.25：12：5D.51：24：1010.如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点F与点C是一对对应点，点F的坐标是（1，1），点C的坐标是（4，2）；则它们的位似中心的坐标是（ ）A.（0，0）B.（1，0）C.（2，0）D.（3，0）11.已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（ACBC），则下列结论正确的是（ ） A.AB2=ACBCB.BC2=ACBCC.AC= BCD.BC= AB12.如图， 是等边三角形， 是等腰直角三角形， ， 于点 ，连 分别交 ， 于点 ， ，过点 作 交 于点 ，则下列结论： ； ； ； ； .A.5B.4C.3D.2二、填空题（共8题；共8分）13.已知 ，则 =_ 14.已知点 在线段 上，且 ,那么 _ 15.如图，直线l1l2l3 ， 直线AC交l1 ， l2 ， l3 ， 于点A，B，C；直线DF交l1 ， l2 ， l3于点D，E，F，已知 ，则 =_。16.如图，矩形ABCD中， ，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，且EHBC，则AGGHHC=_17.如图，等腰直角三角形ABC的顶点A ， C在x轴上，BCA=90，AC=BC= ，反比例函数y= （k0）的图象过BC中点E ， 交AB于点D ， 连接DE ， 当BDEBCA时，k的值为_.18.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB4，BC8，过点O作OEAC交AD于点E，则AE的长为_19.如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于_米20.九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图， 是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 位于 的中点，南门 位于 的中点，出东门15步的 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 处的树木（即点 在直线 上）？请你计算 的长为_步三、解答题 21.已知：如图，在ABC的中，AD是角平分线，E是AD上一点，且AB ：AC = AE ：AD求证：BE=BD22.如图，已知菱形BEDF，内接于ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上若AB=15cm，BC=12cm，求菱形边长23.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长24.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线已知：CBAD，EDAD，测得BC1m，DE1.5m，BD8.5m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽AB25.如图1，一副直角三角板满足ABBC，ACDE，ABCDEF90，EDF30【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q（1）【探究一】在旋转过程中，如图2，当 时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明._如图3，当 时E P与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由._根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当 时，EP与EQ满足的数量关系式为_,其中 的取值范围是_(直接写出结论，不必证明) （2）【探究二】若 且AC30cm，连续PQ，设EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.随着S取不同的值，对应EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围. 答案解析 一、选择题1.【答案】B 【解析】 DEBC BCDABC有两个与ABC相似的三角形故答案为：B.【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出ADE ABC, 由有两个角对应相等的三角形三角形相似得出BCDABC，从而得出有两个与ABC相似的三角形。2.【答案】C 【解析】 ：如图，点D、E分别为边AB、AC的中点，DE为ABC的中位线，DEBC，ADEABC， =（ ）2= 故答案为：C【分析】根据三角形的中位线定理得出DEBC，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出ADEABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出答案。3.【答案】B 【解析】 ：ABCDEF，相似比为12EF=2故答案为：B【分析】根据相似三角形的性质及相似比，得出，即可求解。4.【答案】B 【解析】 ：D、F分别是OA、OC的中点，DF是AOC的中位线。DF=AC，DEF是由ABC经过位似变换得到的DEF与ABC的相似比是1:2，DEF与ABC的面积比是1:4故答案为：B【分析】根据D、F分别是OA、OC的中点，可证得DF是AOC的中位线。可证得DF和AC的数量关系，再根据DEF是由ABC经过位似变换得到的，即可求得结果。5.【答案】B 【解析】 由折叠的性质可得：ADG=AFG（故正确）；由折叠的性质可知：DGE=FGE，DEG=FEG，DE=FE，FGCD，FGE=DEG，DGE=FEG，DGFE，四边形DEFG是平行四边形，又DE=FE，四边形DEFG是菱形（故正确）；如图所示，连接DF交AE于O，四边形DEFG为菱形，GEDF，OG=OE= GE，DOE=ADE=90，OED=DEA，DOEADE， ，即DE2=EOAE，EO= GE，DE=DG，DG2= AEEG，故正确；由折叠的性质可知，AF=AD=5，DE=FE，AB=4，B=90，BF= ，FC=BC-BF=2，设CE=x，则FE=DE=4-x，在RtCEF中，由勾股定理可得： ，解得： .故错误；综上所述，正确的结论是.故答案为：B.【分析】由折叠的性质可得：ADG=AFG（故正确）；由折叠的性质可知：DGE=FGE，DEG=FEG，DE=FE，根据平行线的性质得出FGE=DEG，根据等量代换得出DGE=FEG，根据平行线的判定得出DGFE，进而根据平行四边形的判定得出四边形DEFG是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形DEFG是菱形（故正确）；如图所示，连接DF交AE于O，根据菱形的性质得出GEDF，OG=OE=GE，然后判定出DOEADE，根据相似三角形的对应边成比例得出DE2=EOAE，又EO=GE，DE=DG，从而得出结论DG2= 1 2 AEEG，故正确；由折叠的性质可知，AF=AD=5，DE=FE，根据勾股定理得出BF的长度，由FC=BC-BF得出FC的长，设CE=x，则FE=DE=4-x，在RtCEF中，由勾股定理可得关于x的方程，求解得出x的值，进而判断出错误。6.【答案】B 【解析】 证明：在ABC和AEF中，ABCAEF（SAS）C=AFE，故错误；B=E，ADE=FDBADEFDB故正确；ABCAEFAF=AC，AFE=CAFC=CAFE=AFC故正确；AB=AEADEADEB=E，ADE=BDFBBDF，FDFB故错误故答案为：B【分析】根据全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，可对作出判断；根据相似三角形的判定，可对作出判断；即可得出答案。7.【答案】D 【解析】 ：四边形ABCD为平行四边形，ABCD,ADBC，BAE=AFD，DAF=AEB，AF为BAD的角平分线，BAE=EAD，AFD=EAD，BAE=AEB，CEF=CFE，ABE，ADF，CEF都是等腰三角形，又AB=6，AD=9，AB=BE=6，AD=DF=9，CE=CF=3.BGAE,BG=4， 由勾股定理可得：AG2=AB2BG2AG2=62-（4）解之：AG=2AE=2AG=4，ABCD，ABEFCE.=AE=2EF即4=2EFEF=2，EFC的周长为：CE+CF+EF=3+3+2=8故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，可证ABE，ADF，CEF都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出CE、CF的长度，然后利用勾股定理求得AG的长度，继而可得出AE的长度，根据相似三角形的性质求出EF的长度，然后可求出EFC的周长。8.【答案】B 【解析】 DEBC， =2，CE：CA=1：3， = = ，AF：FC=1：2，AF：AC=1：3，AF=EF=EC，EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m，DE= m，DG= mm= m，DG：GE= m：m=1：3，故答案为：B【分析】由平行线分线段成比例定理可得,所以CE：CA=1：3，,由已知可得AF：AC=1：3，所以AF=EF=EC，EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m，则DE=m，DG=mm=m，所以DG：GE=m：m=1：3。9.【答案】D 【解析】 连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3EM平行于ADBHDBME，CEMCDAHD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3AH=（3 ）ME，AH：ME=12：5HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，BH：HM=3：2=BH：17kBH= K，BH：HG：GM= k：12k：5k=51：24：10，故答案为：D【分析】连接EM，根据平行线分线段成比例定理可得EM平行于AD，由相似三角形的判定可得BHDBME，CEMCDA，所以可得比例式HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3，则AH=AD-DH=3ME-ME=（3-）ME=ME，所以AH：ME=12：5，则HG：GM=AH：EM=12：5，设GM=5k，GH=12k，由EM平行于AD可得比例式BH：HM=BD：DE=3：2=BH：17k，解得BH=K，所以BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10。10.【答案】C 【解析】 点F与点C是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是CF与x轴的交点，设直线CF解析式为y=kx+b，将C（4，2），F（1，1）代入，得 ，解得 ，即y= x+ ，令y=0得x=2，O坐标是（2，0）；故答案为：C【分析】由位似图形的性质可得位似中心在直线CF上，已知点F与点C是一对对应点，所以两个位似图形在位似中心同旁，由图形所在位置可得位似中心就是CF与x轴的交点，所以设直线CF解析式为y=kx+b，将C（4，2），F（1，1）代入解析式可得关于k、b的方程组，解得k=,b=,则直线CF解析式为y=x+,因为CF与x轴相交，所以y=0，即x+=0,解得x=2，所以O坐标是（2，0）。11.【答案】D 【解析】 点C是线段AB的黄金分割点且ACBC， ，即AC2=BCAB，故A、B不符合题意；AC= AB，故C不符合题意；BC= = AB，故D符合题意；故答案为：D【分析】点C是线段AB的黄金分割点且ACBC，从而得出BCAC=ACAB=,根据等比性质即可一一作出判断。12.【答案】B 【解析】【解答】解：ABC为等边三角形，ABD为等腰直角三角形，BAC=60、BAD=90、AC=AB=AD，ADB=ABD=45，CAD是等腰三角形，且顶角CAD=150，ADC=15，故正确；AEBD，即AED=90，DAE=45，AFG=ADC+DAE=60，FAG=45，AGF=75，由AFGAGF知AFAG，故错误；记AH与CD的交点为P，由AHCD且AFG=60知FAP=30，则BAH=ADC=15，在ADF和BAH中， ，ADFBAH（ASA），DF=AH，故正确；AFG=CBG=60，AGF=CGB，AFGCBG，故正确；在RtAPF中，设PF=x，则AF=2x、AP= x，设EF=a，ADFBAH，BH=AF=2x，ABE中，AEB=90、ABE=45，BE=AE=AF+EF=a+2x，EH=BE-BH=a+2x-2x=a，APF=AEH=90，FAP=HAE，PAFEAH， ，即 ，整理，得：2x2=（ -1）ax，由x0得2x=（ -1）a，即AF=（ -1）EF，故正确；故答案为：B【分析】根据等腰直角三角形及等边三角形的性质，及它们有一条公共边得出BAC=60、BAD=90、AC=AB=AD，ADB=ABD=45，从而得出CAD是等腰三角形，且顶角CAD=150，从而判断出ADC=15，故正确；根据三角形的内角和得出DAE=45，根据三角形的外角定理得出AFG，AGF的度数，由AFGAGF知AFAG，故错误；记AH与CD的交点为P，由三角形的内角和得出FAP=30，根据角的和差及等量代换得出BAH=ADC=15，由ASA判断出ADFBAH根据全等三角形对应边相等得出DF=AH，故正确；由AFG=CBG=60，AGF=CGB，判断出AFGCBG，故正确；在RtAPF中，设PF=x，则AF=2x，根据勾股定理表示出AP，设EF=a，由ADFBAH，得出BH=AF=2x，根据等腰直角三角形的性质得出BE=AE=AF+EF=a+2x，进而得出EH=BE-BH=a+2x-2x=a，然后判断出PAFEAH，根据相似三角形对应边成比例得出PFEHAPAE，从而得出关于x的方程，求解得出结论2x=（-1）a，即AF=（-1）EF，故正确。二、填空题13.【答案】【解析】 ：设a=2x，b=3x=故答案为：【分析】根据a与b的比值，可设a=2x，b=3x，代入计算即可求解，或利用合比性质求解即可。14.【答案】5:3 【解析】 由题意AP：BP=2：3，设AP=2x,BP=3XAB=5XAB：PB=5：3.故答案为：5:3.【分析】根据AP：BP=2：3，从而说明AP占两份，BP占三份，从而得出AB占5份，进一步得出答案。15.【答案】2 【解析】 ：由和BC=AC-AB，则,因为直线l1l2l3 ， 所以=2故答案为2【分析】由和BC=AC-AB，可得的值；由平行线间所夹线段对应成比例可得16.【答案】323 【解析】 连接EF交AC于O，四边形EGFH是菱形，EFAC，OE=OF，OG=OH，四边形ABCD是矩形，B=D=90,ABCD，ACD=CAB，在CFO与AOE中，CFOAOE，AO=CO，AG=CH，CAB=CAB,AOE=B=90， AOEABC， = =tanBAC= ，HEBC，AEH=90，HEO=GEO=BAC， = ，AO=4OG，AGCH=3OG，CH=2OG，AG:GH:HC=3:2:3，故答案为：3:2:3.【分析】连接EF交AC于O，根据菱形的性质得出EFAC，OE=OF，OG=OH，根据矩形的性质得出B=D=90,ABCD，根据二直线平行，内错角相等得出ACD=CAB，然后利用AAS判断出CFOAOE，根据全等三角形对应边相等得出AO=CO，根据等式的性质得出AG=CH，然后判断出AOEABC，根据相似三角形对应边成比例得出OABCAB=tanBAC=，根据平行线的性质及等量代换得出HEO=GEO=BAC，根据等角的同名三角函数值相等得出AO=4OG，进而得出AGCH=3OG，从而得出答案。17.【答案】3 【解析】 ：如图，过点D作DFBC于点F，ABC中，BCA=90，AC=BC= ， 反比例函数y= （k0）的图象过BC中点E，BAC=ABC=45，且可设E（， ），BDEBCA三角形BDE也是等腰直角三角形，DF=EFF（， ）D（-， ）解 得：k=3【分析】过点D作DFBC于点F，ABC中，BCA=90，AC=BC= 2 ， 反比例函数y=（k0）的图象过BC中点E，BAC=ABC=45，且可设E（ ， ），由BDEBCA得出三角形BDE也是等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一得出DF=EF，进而得出F,D的坐标，根据反比例函数的比例系数的性质得出关于k的方程，求解得出k的值。18.【答案】5 【解析】 ：矩形ABCD，OEACADC=AOE=90,AB=CDAO=AC在RtAOD中，AB=4，AD=8AC=BD=EAO=DAO，ADC=AOEAEOACO8AE=42解之：AE=5故答案为：5【分析】根据矩形的性质得出ADC=AOE=90,AB=CD，求出AO的长，再根据勾股定理求出AC的长，然后证明AEOACO，利用相似三角形的性质，建立方程求解即可。19.【答案】6 【解析】 ：FHABCGAB2（1+BC）=5+BC解之：BC=3AB=1.5（1+BC）=1.5（1+3）=6故答案为：6【分析】抓住题中的隐含条件：FHAB，CGAB，得出对应线段成比例，从而得出方程2（1+BC）=5+BC，解方程求出BC的长，继而可求出AB的长。20.【答案】【解析】 ：DEFG是正方形，EDG=90，KDC+HDA=90C+KDC=90，C=HDACKD=DHA=90，CKDDHA，CK：KD=HD：HA，CK：100=100：15，解得：CK= 故答案为： 【分析】根据正方形的性质及已知证明C=HDA，CKD=DHA，再证明CKDDHA，得出对应边成比例，就可求出CK的长。三、解答题21.【答案】解：如图所示：AD是角平分线，1=2，又AB AD = AE AC，ABEACD，3=4，BED=BDE，BE=BD 【解析】【分析】利用角平分线的定义得出1=2，根据AB：AD = AE：AC，可证得ABEACD，得对应角相等即3=4，再根据等角的补角相等证出BED=BDE，然后根据等角对等边证得结论。22.【答案】解：设菱形的边长为xcm，则DE=DF=BF=BE=xcm，四边形BEDF是菱形，DEBC，DFAB，ADE=C，A=CDF，AEDDFC， ， = ，x= ，即菱形的边长是 cm 【解析】【分析】设菱形的边长为xcm，根据菱形的性质得出DE=DF=BF=BE=xcm，DEBC，DFAB，根据二直线平行同位角相等得出ADE=C，A=CDF，进而判断出AEDDFC，根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解即可得出答案。23.【答案】解：四边形PQMN是矩形，BCPQ，APQABC， ，由于矩形长与宽的比为3：2，分两种情况：若PQ为长，PN为宽，设PQ=3k，PN=2k，则 ，解得：k=2，PQ=6cm，PN=4cm；PN为6，PQ为宽，设PN=3k，PQ=2k，则 ，解得：k= ，PN= cm，PQ= cm；综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为 cm，宽为 cm 【解析】【分析】先利用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”证得APQABC，即可得到，再分两种情况若PQ为长，PN为宽与PN为6，PQ为宽，求得k的值即可求得矩形的长与宽.24.【答案】解：CBAD，EDAD，CBAEDA90，CABEAD，ABCADE， ，又AD=AB+BD，BD=8.5，BC1，DE1.5， ，AB17，即河宽为17米 【解析】【分析】首先很容易判断出ABCADE，根据相似三角形对应边成比例即可得出 ADAB=DEBC，从而即可求出河的宽度。25.【答案】（1）解：当 时，PE=QE.即E为AC中点，理由如下：连接BE，ABC是等腰直角三角形，BE=CE，PBE=C=45，又PEB+BEQ=90，CEQ+BEQ=90，PEB=CEQ，在PEB和QEC中， ,PEBQEC（ASA），PE=QE.；EP：EQ=EA:EC=1:2；理由如下：作EMAB，ENBC，EMP=ENQ=90，又PEN+MEP=PEN+NEQ=90，MEP=NEQ,MEPNEQ，EP：EQ=ME:NE,又EMA=ENC=90，A=C，MEANEC，ME:NE=EA:EC， ,EP：EQ=EA:EC=1:2.；EP：EQ=1:m；0m2+ （2）解：存在.由【探究一】中（2）知当 时，EP：EQ=EA：EC=1：2；设EQ=x，则EP= x，S= EPEQ= x x= x2 ， 当EQBC时，EQ与EN重合时，面积取最小，AC=30，ABC是等腰直角三角形，AB=BC=15 ， ，AC=30，AE=10，CE=20，在等腰RtCNE中，NE=10 ，当x=10 时，Smin=50（cm2）；当EQ=EF时，S取得最大，AC=DE=30，DEF=90，EDF=30，在RtDEF中，tan30= ,EF=30 =10 ，此时EPQ面积最大，Smax=75（cm2）；由（1）知CN=NE=5 ,BC=15 ,BN=10 ，在RtBNE中，BE=5 ，当x=BE=5 时，S=62.5cm2 ， 当50S62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5S75时，这样的三角形有1个. 【解析】【解答】（1）作EMAB，ENBC，B=PEQ=90，EPB+EQB=180，又EPB+EPM=180，EQB=EPM,MEPNEQ，EP：EQ=ME:NE,又EMA=ENC=90，A=C，MEANEC，ME:NE=EA:EC， ,EP:EQ=EA:EC=1:m，EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1:m，02+ 时，EF与BC不会相交）.【分析】【探究一】根据已知条件得E为AC中点，连接BE，根据等腰直角三角形的性质可BE=CE，PBE=C=45，由同角的余角相等得PEB=CEQ，由全等三角形的判定ASA可得PEBQEC，再由全等三角形的性质得PE=QE.作EMAB，ENBC，由相似三角形的判定分别证MEPNEQ，MEANEC，再由相似三角形的性质得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案.作EMAB，ENBC，由相似三角形的判定分别证MEPNEQ，MEANEC，再由相似三角形的性质得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案.【探究二】设EQ=x，根据【探究一】（2）中的结论可知则EP= x，根据三角形面积公式得出S的函数关系式，再根据当EQBC时，EQ与EN重合时，面积取最小；当EQ=EF时，S取得最大；代入数值计算即可得出答案.根据（1）中数据求得当EQ与BE重合时，EPQ的面积，再来分情况讨论即可.
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