高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件新人教版.ppt

2 2 2反证法 第二章 2 2直接证明与间接证明 1 了解反证法是间接证明的一种方法 2 理解反证法的思考过程 会用反证法证明数学问题 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一间接证明 答案 间接 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立 像这种不是直接证明的方法通常称为证明 常见的间接证明的方法是 反证法 知识点二反证法 答案 不成立 1 反证法定义假设原命题 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这种证明方法叫做反证法 2 反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与矛盾 或与矛盾 或与 矛盾等 假设错误 原命题成立 已知条件 假设 定义 公理 定理 事实 答案 3 反证法中常用的 结论词 与 反设词 如下 至多有一个 n 一个也没有 n 1 任意 某个 一定是 且 不都是 且 思考 1 有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题 这种说法对吗 为什么 答案这种说法是错误的 反证法是先否定命题 然后再证明命题的否定是错误的 从而肯定原命题正确 不是通过逆否命题证题 命题的否定与原命题是对立的 原命题正确 其命题的否定一定不对 2 反证法主要适用于什么情形 答案要证的结论与条件之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 如果从正面证明 需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明 只要研究一种或很少的几种情形 返回 答案 题型探究重点突破 题型一用反证法证明结论否定的问题 解析答案 反思与感悟 例1如图所示 AB CD为圆的两条相交弦 且不全为直径 求证 AB CD不能互相平分 反思与感悟 证明连接AC CB BD DA 假设AB CD互相平分 则四边形ACBD为平行四边形 ACB ADB CAD CBD 四边形ACBD为圆的内接四边形 ACB ADB 180 CAD CBD 180 ACB 90 CAD 90 对角线AB CD均为圆的直径 与已知条件矛盾 AB CD不能互相平分 反思与感悟 对于结论否定型命题 正面证明需要考虑的情况很多 过程烦琐且容易遗漏 故可以考虑采用反证法 一般当题目中含有 不可能 都不 没有 等否定性词语时 宜采用反证法证明 跟踪训练1已知正整数a b c满足a2 b2 c2 求证a b c不可能都是奇数 解析答案 证明假设a b c都是奇数 则a2 b2 c2都是奇数 左边 奇数 奇数 偶数 右边 奇数 得偶数 奇数 矛盾 假设不成立 a b c不可能都是奇数 题型二用反证法证明唯一性问题 解析答案 例2用反证法证明 过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行 证明假设过点A还有一条直线b 与已知直线a平行 即b b A b a 又b a 由平行公理知b b 这与b b A矛盾 故假设错误 所以过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行 反思与感悟 证明 唯一性 问题的方法 唯一性 包含 有一个 和 除了这个没有另外一个 两层意思 证明后一层意思时 采用直接证法往往会相当困难 因此一般情况下都采用间接证法 即用反证法 假设 有另外一个 推出矛盾 或同一法 假设 有另外一个 推出它就是 已知那一个 证明 而用反证法比用同一法更方便 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2求证 过一点只有一条直线与已知平面垂直 已知 平面 和一点P 求证 过点P与 垂直的直线只有一条 证明如图所示 不论点P在 内还是在 外 设PA 垂足为A 或P 假设过点P不止有一条直线与 垂直 如还有另一条直线PB 设PA PB确定的平面为 且 a 于是在平面 内过点P有两条直线PA PB垂直于a 这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾 假设不成立 原命题成立 题型三用反证法证明结论中含有 至多 至少 都 等词语的问题 解析答案 反思与感悟 例3用反证法证明 如果函数f x 在区间 a b 上是增函数 那么方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实数根 不考虑重根 证明假设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个实数根 设 为它的两个实数根 则f f 0 因为 不妨设 又因为函数f x 在 a b 上是增函数 所以f f 这与f f 0矛盾 所以方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实数根 用反证法证明 至少 至多 型命题 否定结论时 需弄清楚结论的否定是什么 以免出现错误 还应仔细体会 至少有一个 至多有一个 等表达的意义 反思与感悟 解析答案 x 0且y 0 1 x 2y 且1 y 2x 两式相加 得2 x y 2x 2y x y 2 这与已知条件x y 2相矛盾 解析答案 因反证法中的反设不当致误 防范措施 返回 易错易混 解析答案 防范措施 防范措施 故假设不成立 防范措施 在利用反证法证明问题时 往往要假设命题结论的反面成立 而问题结论的反面一定要全面 漏掉任何一种情况 证明都是不正确的 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1 证明 在 ABC中至多有一个直角或钝角 第一步应假设 A 三角形中至少有一个直角或钝角B 三角形中至少有两个直角或钝角C 三角形中没有直角或钝角D 三角形中三个角都是直角或钝角 B 答案 1 2 3 4 5 2 用反证法证明 三角形中至少有一个内角不小于60 应先假设这个三角形中 A 有一个内角小于60 B 每一个内角都小于60 C 有一个内角大于60 D 每一个内角都大于60 B 答案 1 2 3 4 5 3 abC a bD a b或a b D 答案 1 2 3 4 5 4 用反证法证明 在同一平面内 若a c b c 则a b 时 应假设 A a不垂直于cB a b都不垂直于cC a bD a与b相交 D 答案 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知a是整数 a2是偶数 求证a也是偶数 证明 反证法 假设a不是偶数 即a是奇数 设a 2n 1 n Z 则a2 4n2 4n 1 4 n2 n 是偶数 4n2 4n 1是奇数 这与已知a2是偶数矛盾 由上述矛盾可知 a一定是偶数 课堂小结 返回 1 反证法的证题步骤 反设 推理归谬 存真 即假设不成立 原命题成立 2 用反证法证明问题时要注意以下三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 当结论的反面呈现多样性时 必须罗列出各种可能性结论 缺少任何一种可能 反证都是不完全的 2 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与事实矛盾等 推导出的矛盾必须是明显的