高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课件新人教版.ppt

2 3数学归纳法 第二章推理与证明 1 了解数学归纳法原理 2 掌握数学归纳法的两个步骤 会用数学归纳法证明一些简单的数学命题 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一归纳法及分类 答案 由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法 通常叫归纳法 归纳法可以分为归纳法和归纳法 完全归纳法所得出的结论是完全可靠的 因为它考察了问题涉及的所有对象 不完全归纳法得出的结论不一定可靠 因为它只考察了某件事情的部分对象 但它是一种重要的思考问题的方法 是研究数学的一把钥匙 是发现数学规律的一种重要手段 用不完全归纳法发现规律 再用完全归纳法证明 是解决问题的一种重要途径 完全 不完全 完全归纳法是一种在研究了解事物的所有 有限种 特殊情况后 得出一般结论的推理方法 又叫枚举法 与不完全归纳法不同 用完全归纳法得出的结论是可靠的 通常在事物包括的特殊情况不多时 采用完全归纳法 思考下面的各列数都依照一定规律排列 请在括号里填上适当的数 1 1 5 9 13 17 答案 21 8 21 知识点二数学归纳法 答案 1 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 n0 N 时命题成立 归纳递推 假设n k k n0 k N 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 2 应用数学归纳法时注意几点 1 用数学归纳法证明的对象是与有关的命题 2 在用数学归纳法证明中 两个基本步骤缺一不可 3 步骤 的证明必须以 假设n k k n0 k N 时命题成立 为条件 正整数n 答案 不能保证猜想一定正确 需要严密的证明 2 多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件 答案 第一块骨牌倒下 任意相邻的两块骨牌 前一块倒下一定导致后一块倒下 条件 事实上给出了一个递推关系 换言之就是假设第K块倒下 则相邻的第K 1块也倒下 返回 答案 题型探究重点突破 题型一用数学归纳法证明恒成立 解析答案 反思与感悟 例1求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n N 反思与感悟 证明 1 当n 1时 左边 1 1 2 右边 21 1 2 左边 右边 等式成立 2 假设当n k k N 时等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 2k 1 那么 当n k 1时 左边 k 2 k 3 k k k k 1 k k 2 2k 1 3 2k 1 2k 1 2 2k 1 1 3 2k 1 2 k 1 1 右边 当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对一切n N 原等式均成立 反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题 关键在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关 由n k到n k 1时 等式两边会增加多少项 增加怎样的项 解析答案 解析答案 题型二证明不等式问题 解析答案 反思与感悟 解析答案 证明由已知条件可得bn 2n n N 不等式成立 2 假设当n k k N 时 不等式成立 则当n k 1时 反思与感悟 要证当n k 1时 不等式成立 反思与感悟 当n k 1时 不等式成立 由 1 2 可知 对一切n N 原不等式均成立 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑 一凑归纳假设 二凑证明目标 在凑证明目标时 比较法 综合法 分析法都适用 反思与感悟 解析答案 解析答案 2 假设当n k时 不等式成立 则当n k 1时 解析答案 所以当n k 1时不等式成立 由 1 2 知 不等式对一切n N 都成立 题型三用数学归纳法证明整除问题 解析答案 反思与感悟 例3求证n N 时 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 反思与感悟 证明 1 当n 1时 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命题显然成立 2 假设当n k k N k 1 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由归纳假设 上式中的两项均能被a2 a 1整除 故当n k 1时命题成立 由 1 2 知 对任意n N 命题成立 用数学归纳法证明数的整除性问题时 关键是从当n k 1时的式子中拼凑出当n k时能被某数整除的式子 并将剩余式子转化为能被该数整除的式子 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3用数学归纳法证明对于任意非负整数n An 11n 2 122n 1能被133整除 证明 1 当n 0时 A0 112 12 133 能被133整除 2 假设当n k k 0 时 Ak 11k 2 122k 1能被133整除 那么当n k 1时 Ak 1 11k 3 122k 3 11 11k 2 122 122k 1 11 11k 2 11 122k 1 122 11 122k 1 11 11k 2 122k 1 133 122k 1 能被133整除 由 1 2 可知 对于任意非负整数n An都能被133整除 题型四用数学归纳法解决平面几何问题 解析答案 反思与感悟 例4已知n个平面都过同一点 但其中任何三个平面都不经过同一直线 求证 这n个平面把空间分成f n n n 1 2部分 反思与感悟 证明 1 当n 1时 1个平面把空间分成2部分 而f 1 1 1 1 2 2 部分 所以命题正确 2 假设当n k k N 时 命题成立 即k个符合条件的平面把空间分为f k k k 1 2 部分 当n k 1时 第k 1个平面和其他每一个平面相交 使其所分成的空间都增加2部分 所以共增加2k部分 故f k 1 f k 2k k k 1 2 2k k k 1 2 2 k 1 k 1 1 2 部分 即当n k 1时 命题也成立 根据 1 2 知n个符合条件的平面把空间分成f n n n 1 2部分 用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从k增加到k 1时 所证的几何量增加多少 同时要善于利用几何图形的直观性 建立k与k 1之间的递推关系 反思与感悟 解析答案 解析答案 证明 1 当n 2时 两条直线的交点只有一个 当n 2时 命题成立 2 假设当n k k N k 2 时命题成立 那么 当n k 1时 l与其他k条直线的交点个数为k 从而k 1条直线共有f k k个交点 当n k 1时 命题成立 由 1 2 可知 对任意n N n 2 命题都成立 解析答案 因弄错从n k到n k 1的增加项致误 防范措施 返回 易错易混 错解 当n 1时 解析答案 防范措施 即n 1时不等式成立 假设n k k 1 且k N 时不等式成立 那么 当n k 1时 即n k 1时 不等式成立 正解 当n 1时 即n 1时不等式成立 解析答案 防范措施 防范措施 假设n k k 1 k N 时不等式成立 那么 当n k 1时 所以n k 1时 不等式成立 防范措施 当n k 1时 可以写出相应增加的项 然后再结合数学归纳法证明 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 A 1B 1 aC 1 a a2D 1 a a2 a4 B 解析答案 解析当n 1时 左边的最高次数为1 即最后一项为a 左边是1 a 故选B 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 答案C 比较 可知C正确 1 2 3 4 5 解析答案 2k 解析观察f n 的表达式可知 右端分母是连续的正整数 因此f 2k 1 比f 2k 多了2k项 1 2 3 4 5 解析答案 4 用数学归纳法证明3n n3 n 3 n N 第一步应验证 n 3时是否成立 解析n的最小值为3 所以第一步验证n 3时是否成立 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知数列 an 的前n项和为Sn 且a1 1 Sn n2an n N 依次计算出S1 S2 S3 S4后 可猜想Sn的表达式为 课堂小结 1 数学归纳法的两个步骤相互依存 缺一不可 有一无二 是不完全归纳法 结论不一定可靠 有二无一 第二步就失去了递推的基础 2 归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时 对于归纳假设要注意以下两点 1 归纳假设就是已知条件 2 在推证n k 1时 必须用上归纳假设 返回 3 利用归纳假设的技巧 在推证n k 1时 可以通过凑 拆 配项等方法用上归纳假设 此时既要看准目标 又要掌握n k与n k 1之间的关系 在推证时 分析法 综合法 反证法等方法都可以应用 4 数学归纳法的适用范围 数学归纳法是直接证明的一种重要方法 应用十分广泛 主要体现在与正整数有关的恒等式 不等式 数的整除性 几何问题 探求数列的通项及前n项和等问题中