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专题训练(六)分类讨论思想1.xx聊城如图ZT6-1是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA,PB,那么使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是()图ZT6-1A.2个B.3个C.4个D.5个2.xx义乌如图ZT6-2,AOB=45,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是.图ZT6-23.xx齐齐哈尔如图ZT6-3,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是.图ZT6-34.xx绥化在等腰三角形ABC中,ADBC交直线BC于点D,若AD=12BC,则ABC的顶角的度数为.5.xx安徽矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC,若APD是等腰三角形,则PE的长为.6.xx眉山如图ZT6-4,抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,已知A(3,0),且M1,-83是抛物线上一点.图ZT6-4 (1)求a,b的值;(2)连接AC,设点P是y轴上任一点,若以P,A,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,求P点的坐标;(3)若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O,A重合),过点N作NHAC交抛物线的对称轴于点H.设ON=t,ONH的面积为S,求S与t之间的函数关系式.7.xx烟台如图ZT6-5,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4.矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.图ZT6-5 (1)求抛物线的表达式.(2)如图ZT6-5,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PHEO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值.(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.8.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.图ZT6-6 (1)如图ZT6-6,在ABC中,CD为角平分线,A=40,B=60,求证:CD为ABC的完美分割线.(2)在ABC中,A=48,CD是ABC的完美分割线,且ACD为等腰三角形,求ACB的度数.(3)如图,ABC中,AC=2,BC=2,CD是ABC的完美分割线,且ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.参考答案1.B解析 由图可知,矩形的长是宽的2倍,以点B为直角顶点构成等腰直角三角形的点P有2个,以点A为直角顶点构成等腰直角三角形的点P有1个,满足条件的有3个.2.0或42-4或4x423.10或413或273解析 AB=AC=10,BC=12,底边BC上的高是AD,ADB=ADC=90,BD=CD=12BC=1212=6,AD=102-62=8.用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况:(1)按照如图所示的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10.(2)按照如图所示的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是82+122=413.(3)按照如图所示的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是62+162=273.综上所述,这个平行四边形较长的对角线的长是10或413或273.4.30或90或150解析 应分下列三种情况求顶角.(1)若角A是顶角,如图,AD=12BC,则AD=BD,底角为45,所以顶角为90;(2)若角A不是顶角,当三角形是锐角三角形时,如图,则在ACD中,AD=12BC=12AC,所以顶角为30;若三角形是钝角三角形,如图,则ACD=30,所以顶角为150.故填30或90或150.5.3或65解析 由题意知,点P在线段BD上.(1)如图所示,若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上,故点P为BD的中点,PEBC,故PECD,故PE=12DC=3;(2)如图所示,若DA=DP,则DP=8,在RtBCD中,BD=BC2+CD2=10,BP=BD-DP=2.PBEDBC,PEDC=BPBD=15,PE=15CD=65.综上所述,PE的长为3或65.6.解:(1)由题意,得9a+3b-2=0,a+b-2=-83,解得a=23,b=-43.(2)由(1)得,抛物线的关系式为y=23x2-43x-2,当x=0时,y=-2,C(0,-2).以P,A,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,分三种情况:若AC=AP(如图),由AOCP,得OP=OC=2,P1(0,2);若CA=CP(如图),AC=OA2+OC2=32+22=13,P2(0,-2+13),P3(0,-2-13);若AP=PC(如图),设点P的坐标为(0,m),则AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP2=OP2+OA2,(m+2)2=m2+32,解得m=54,P40,54.综上所述,符合条件的点P有4个,坐标分别为P1(0,2),P2(0,-2+13),P3(0,-2-13),P40,54.(3)设抛物线的对称轴交x轴于点D,交AC于点E,抛物线y=23x2-43x-2的对称轴为直线x=1,D(1,0).又tanOAC=DEDA=OCOA,DE2=23,DE=43.NHAC,DHNDEA,DHDE=DNDA,即DH43=|t-1|2,DH=23|t-1|.分两种情况:当0t1时(如图),S=12t23(1-t)=-13t2+13t;当1t3时(如图),S=12t23(t-1)=13t2-13t.综上所述,S与t之间的函数关系式为S=-13t2+13t(0t1);13t2-13t(1tBCD,矛盾,舍去.ACB=96或114.(3)由已知AC=AD=2,BCDBAC,BCBA=BDBC,设BD=x,(2)2=x(x+2),x0,x=3-1,BCDBAC,CDAC=BDBC=3-12,CD=3-122=6-2.
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