高中数学 第3章 1第1课时 导数与函数的单调性课件 北师大版选修2-2.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 2 导数应用 第三章 本章知识概述导数应用包括两个方面 一是利用导数作为一种工具在解决函数问题中应用 二是导数在分析和解决实际问题中的应用 在教科书中分为两节 第一部分主要是利用导数来研究函数的单调性与极大 极小值 是导数在研究和处理函数性质问题的一个重要应用 第二部分主要是应用导数方法解决现实中的变化趋势和最优化问题 解决这类问题的关键是函数模型的建立 从导数角度看 主要是导数在数学上的研究成果的应用 导数在现实生活中有着广泛的应用 在物理学中的力学 电学 运动 做功 受热膨胀等问题的解决都离不开导数 在日常生活中 利用导数处理最优化问题简单方便 导数是人们在解决现实生活问题中的伟大发明 本章的学习重点是应用导数解决函数的单调性 极值 最值问题 同时利用导数的概念形成过程中的思想分析问题并建立导数模型 学习的难点是导数方法的应用 特别是求一些实际问题的最值 第1课时导数与函数的单调性 第三章 1函数的单调性与极值 1 结合实例 借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系 2 能利用导数研究函数的单调性 会求不超过三次的多项式函数的单调区间 本节重点 利用求导的方法判断函数的单调性 本节难点 函数的导数与单调性的关系 切线的斜率和f x 的导数的关系 f x 0 f x 0 一般地 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数f x 在这个区间内 如果f x 0 那么函数f x 在这个区间内 用导数判断函数的单调性 单调递增 单调递减 1 函数的导数与函数增减的速度之间的关系递增函数就是函数值随自变量的增大而增大 一个函数的增长速度快 就是说 在自变量的变化相同时 函数值的增长大 即平均变化率大 导数也就大 递减函数就是函数值随自变量的增大而减小 一个函数减小得快 那么在自变量的变化相同时 函数值的减小越多 即平均变化率大 导数的绝对值也就大 从而导数的绝对值越大 函数增减的速度就越快 2 导数与函数的单调性的关系 1 f x 0与f x 为增函数的关系 f x 0能推出f x 为增函数 但反之不成立 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 2 f x 0时 f x 0与f x 为增函数的关系 若将f x 0的根作为分界点 因为规定f x 0 即抠去了分界点 此时f x 为增函数 就一定有f x 0 当f x 可导且f x 0时 f x 0是f x 为增函数的充分必要条件 3 f x 0与f x 为增函数的关系 f x 为增函数 一定可以推出f x 0 但反之不一定 因为f x 0 即为f x 0或f x 0 当函数在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数 函数不具有单调性 f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 3 求可导函数单调区间的一般步骤 第一步 确定函数f x 的定义域 第二步 求f x 令f x 0 解此方程 求出它在定义域内的一切实根 第三步 把函数f x 在间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 第四步 确定f x 在各个小区间的符号 根据f x 的符号判定函数f x 在每个相应小区间的增减性 4 y f x 在 a b 内可导 f x 0或f x 0且y f x 在 a b 内导数为0的点仅有有限个 则y f x 在 a b 内仍是单调函数 例如 y x3在R上f x 0 所以y x3在R上单调递增 5 利用导数判断单调性常与一些参数有关 此时要注意对参数的分类讨论 6 导数的绝对值的大小对函数图像的影响一般地 如果一个函数在某一区间上导数的绝对值越大 说明函数在这个区间内的变化越快 这时 函数的图像就比较 陡峭 反之 函数的图像就 平缓 一些 2 若在区间 a b 内有f x 0 且f a 0 则在 a b 内有 A f x 0B f x 0 且f a 0 函数f x 在区间 a b 内是递增的 且f x f a 0 3 给出下列结论 单调增函数的导函数也是单调增函数 单调减函数的导函数也是单调减函数 单调函数的导函数也是单调函数 导函数是单调的 则原函数也是单调的 其中正确结论的个数是 A 0B 2C 3D 4 答案 A 解析 用举反例的方法解本题 函数y x是单调增函数 但其导函数y 1不具有单调性 排除 函数y x是单调减函数 但其导函数y 1不具有单调性 排除 函数y x2 其导函数y 2x是单调的 但原函数在R上不具有单调性 排除 答案 C 5 若函数x f x 的导函数在区间 a b 上是增函数 则函数y f x 在区间 a b 上的图象可能是 答案 A 解析 导函数f x 是增函数 切线的斜率随着切点横坐标的增大逐渐增大 故选A 用导数求函数的单调区间 点评 研究函数的单调区间时 首先要求函数的定义域 然后在定义域范围内研究函数的单调性 否则可能产生增根 求下列函数的单调区间 1 y x lnx 2 y x x3 含参数的讨论问题 点评 讨论函数的单调性与求单调区间基本一致 一般用求导数法求解 综上所述 当a1时 函数f x 的单调递减区间为 a a2 当0 a 1时 函数f x 的单调递减区间为 a2 a 当a 0 a 1时 无减区间 若函数f x x3 ax2 1在 0 2 内单调递减 求实数a的取值范围 恒成立问题 点评 这是利用导函数求函数增减性的一个简单应用 也就是说 根据函数导数可判断增减性 反之也可以根据导函数的增减性 求有关的参变量 若函数f x ax3 x2 x 5在 上单调递增 求a的取值范围 分析 本题主要考查利用导数的单调性判断参数的取值范围 解决此题的关键是将问题转化为对一元二次不等式求解的问题 已知x 0 证明 不等式 x ln 1 x 利用导数证明不等式 点评 本题通过构造一个函数 再由此函数的单调性得函数的值域 从而证得结论 已知x R 求证 ex x 1 分析 首先应构造函数 对函数进行求导 并判断函数的单调性 点评 本例的实质是判断函数的单调性 关键是根据所证不等式构造函数f x 求导数f x 后 根据x的取值范围确定单调性 再由单调性及端点函数值获证