高中数学 第4章 2微积分基本定理课件 北师大版选修2-2.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 2 定积分 第四章 第四章 2微积分基本定理 1 通过实例 直观了解微积分基本定理的含义及意义 2 会用微积分基本定理求函数的定积分 3 会用定积分求相关图形的面积 变速直线运动的路程及变力做功问题 本节重点 微积分基本定理 本节难点 微积分基本定理的应用 微积分基本定理的内容 F b F a 牛顿 莱布尼茨公式 原函数 F b F a 常见函数的原函数 c x c ln x c ex c sinx c cosx c 1 对定理的四点说明 1 根据定积分定义求定积分 往往比较困难 而利用上述定理求定积分比较方便 2 设f x 是定义在区间I上的一个函数 如果存在函数F x 在区间I上的任何一点x处都有F x f x 那么F x 叫作函数f x 在区间I上的一个原函数 根据定义 求函数f x 的原函数 就是要求一个函数F x 使它的导数F x 等于f x 由于 F x c F x f x 所以F x c也是f x 的原函数 其中c为常数 3 当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积时 定积分的值为0 如图 5 所示 且等于位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 由此可得 定积分的几何意义是在区间 a b 上曲线与x轴所围成的图形面积的代数和 其中x轴上方的面积取正值 x轴下方的面积取负值 答案 C 答案 D 5 从如图所示的长方形区域内任取一个点M x y 则点M取自阴影部分的概率为 分析 根据微积分基本定理 关键求相应被积函数的一个原函数 求函数的定积分 点评 牛顿 莱布尼茨公式揭示了导数和定积分的内在联系 从而把被积函数为连续函数的定积分计算问题化成了求被积函数的原函数问题 这就要求熟练掌握导数的计算公式 学会逆运算 求分段函数的定积分 如图所示 求直线y 2x 3与抛物线y x2所围成的图形的面积 微积分基本定理的简单应用 分析 从图形可以看出 所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差 进而可以用定积分求出面积 为了确定出被积函数和积分的上 下限 我们需要求出两条曲线的交点的横坐标 综合应用 1 求f x 的解析式 2 求由曲线y f x 与y 3x x 0 x 1 x 2所围成的平面图形的面积 解析 1 由已知得 f 1 2 求得a 1 f x x2 2 点评 本题主要考查导数与定积分的有关知识 解决本题的关键是求出曲边三角形AOB的面积 点评 当对应曲边梯形位于x轴下方时 定积分的值取负值 此时曲边梯形的面积等于定积分的相反数 本题求曲线与直线所围成图形的面积时应先判断曲线在x轴上方还是下方 否则求出的面积是错误的 利用定积分求曲边图形面积时避免出错的措施为 1 当对应的曲边图形位于x轴上方时 定积分的值取正值 且等于曲边图形的面积 2 当对应的曲边图形位于x轴下方时 定积分的值取负值 且等于曲边图形的面积的相反数 3 当位于x轴上方的曲边图形面积等于位于x轴下方的曲边图形面积时 定积分为0 且等于位于x轴上方的曲边图形面积减去位于x轴下方的曲边图形面积 点评 在利用定积分求平面图形的面积时 一般要先画出它的草图 再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上下限 定积分的应用之一就是求平面图形面积 求解时要灵活选择坐标系与积分变量 由图形特点 适当选取积分变量对计算量有很大影响 上面错解是由于被积函数与积分上下限不对应