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第二章 第四节 圆周角1如图所示，已知O中，弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD的长是（ ）A6 B5 C4 D32若圆的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（-4，3），则点P与O的位置关系是（ ）A点P在O外 B点P在O内C点P在O上 D点P在O外或O上3如图，已知AB、AD是O的弦，B=30，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于O于点D，D=20，则BAD的度数是（ ）A30B40C50D604如图，在O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D若O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A B C D 5如图，ABC是O的内接三角形，AB为O直径，点D为O上一点，若ACD=50，则BAD的大小为A 40 B 41C 42 D 456如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E.若，AC=3，则CD的长为A 6 B C D37已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，AB=8cm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（ ）Acm Bcm Ccm或cm Dcm或cm8如图，若AB是O的直径，CD是O的弦，ABD55，则BCD的度数为()A35 B45C55 D759是的外接圆， ,则的度数是（ ）A 40 B 50 C 60 D 10010如图，O是ABC的外接圆，连接OB、OC，若O的半径为2，BAC=60，则BC的长为（）A B 2 C 4 D 411如图，已知AB是ABC外接圆的直径，A=35，则B的度数是 12ABC中，ACB=120，AC=BC=3，点D为平面内一点，满足ADB=60，若CD的长度为整数，则所有满足题意的CD的长度的可能值为 13如图，四边形ABCD是O的内接四边形，DE是AD的延长线，若CDE=60，则AOC= 14如图，在O中，B，P，A，C是圆上的点， PDCD，CD交O于A，若AC=AD，PD = ，sinPAD = ，则PAB的面积为_15如图，在直径为AB的O中，C，D是O上的两点，AOD=58，CDAB，则ABC的度数为_16如图，在O中，圆心角AOB=100，点P是上任意一点（不与A、B重合，点C在AP的延长线上），则BPC= .17、.如图，O是ABC的外接圆，B=60，AC=8，则O的直径AD的长度为 18如图，是O的内接三角形，如果，那么_度19如图，ABC内接于O，BAC120，ABAC，BD为 O的直径，BD4，则BC 20如图，O是ABC的外接圆，ACO=45，则B的度数为_.21如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b (b为常数)的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B；半径为5的O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方（1）若F为上异于C、D的点，线段AB经过点F直接写出CFE的度数；用含b的代数式表示FAFB；（2）设，在线段AB上是否存在点P，使CPE=45?若存在请求出点P坐标；若不存在，请说明理由22如图，在半径为6cm的圆中，弦AB长6cm，试求弦AB所对的圆周角的度数23如图，已知AB是O的直径，AB8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交O于点D，连结OD，过点B作OD的平行线交O于点E、交射线CD于点F（1）若EDBE，求F的度数：（2）设线段OCa，求线段BE和EF的长（用含a的代数式表示）；（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若PBE为等腰三角形，求OC的长24如图，点A，B，C，D在O上，且AB=CD，求证：CE=BE25如图，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E。连接AC、OC、BC。（1）求证： ACO=BCD。（2）若EB=，CD=，求O的直径。26如图，已知AB是O的直径，P是BA延长线上一点，PC切O于点C，CG是O的弦，CGAB，垂足为D（1）求证：PCA=ABC（2）过点A作AEPC交O于点E，交CD于点F，连接BE，若cosP=，CF=10，求BE的长27如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD=10，求半圆的半径28如图，已知的半径为， 为直径， 为弦 与交于点，将 沿着翻折后，点与圆心重合，延长至，使，链接 （）求的长（）求证： 是的切线（）点为的中点，在延长线上有一动点，连接交于点，交于点（与、不重合）则为一定值请说明理由，并求出该定值答案：1D试题分析：可运用相交弦定理求解，圆内的弦AB，CD相交于P，因此APPB=CPPD，代入已知数值计算即可解：由相交弦定理得APPB=CPPD，AP=6，BP=2，CP=4，PD=APPBCP=624=3故选D2C试题分析：OP=5，则OP等于圆的半径，则点P在O上故选C3C试题分析：连接OA，OA=OB，OAB=B=30，OA=OD，OAD=D=20，BAD=OAB+OAD=50，故选：C4B分析：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CEAB于E，OFCE于F，如图，利用垂径定理得到ODAB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CEAB于E，OFCE于F，如图，D为AB的中点，ODAB，AD=BD=AB=2，在RtOBD中，OD=1，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，弧AC和弧CD所在的圆为等圆，AC=DC，AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，OF=EF=1，在RtOCF中，CF=2，CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，BC=3，故选B5A试题解析：AB为圆O的直径， 故选A.点拨：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.6D试题分析：因为AB是O的直径，所以ACB=90,又O的直径AB垂直于弦CD，所以在RtAEC 中，A=30,又AC=3，所以CE=AB=,所以CD=2CE=3，故选：D. 7C试题分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论解：连接AC，AO，O的直径CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM=3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC=4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在RtAMC中，AC=2cm故选：C8A解：连接AD，AB是O的直径，ADB90，ABD55，A90ABD35，BCDA35.9B解：, ；由圆周角定理可求： .故选B.10B解：延长BO交圆于D，连接CD则BCD=90，BDC=BAC=60，O的半径为2，BD=4，BC=2，故选B1155试题分析：AB是ABC外接圆的直径，C=90，A=35，B=90A=55故答案是：55123、4、5、6试题分析：分类讨论：由于ACB=120，ADB=60，当点D在ABC的外接圆上，且点D在优弧AB上，可计算出圆的直径得到3CD长度6；当点D在以C为圆心、CA为半径的圆上，则CD=3解：AOB=120，ACB=60，当点D在ABC的外接圆上，且点D在优弧AB上，3OC长度6；当点D在以O为圆心、CA为半径的圆上，则CD=3，CD长度的可能值为3、4、5、6故答案为：3、4、5、613120试题分析：利用补角的定义、圆内接四边形的性质求得圆周角B=60；然后根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”即可求得AOC的度数解：CDE=60，CDE+ADC=180，ADC=120；又B+ADC=180（圆的内接四边形中对角互补），B=60；AOC=2B=120（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；故答案是：120142分析：在RtPAD中，计算得出AD1，连接PC、PB、PA，过P作BA垂线于H点，由得到PB=PC，再由全等三角形的判定定理可得出PBHPCD，RtPHARtPDA，再得出AC=AD=1，PH=PD，再由计算得出结论详解：PDCD，PD = ，sinPAD = ，sinPAD，AP，AD，连接PC、PB、PA，过P作BA垂线于H点，如图所示： ，PB=PCB=C，PHB=PDA，BPH=DPC，在PBH与PCD中， PBHPCD（ASA），BH=CD=2，PH=PD，在RtPHA与RtPDA中， RtPHARtPDA（HL），HA=AD=1AB=BH+HA=3PAB的面积为.故答案是：2.点拨：考查的是圆周角定理及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键1561解：AOD=58，ACD=AOD=29CDAB，CAB=ACD=29AB是直径，ACB=90，ABC=9029=61故答案为：611650.试题分析：在优弧上取点D，连接AD、BD，根据圆周角定理求出ADB=AOB=50，根据圆内接四边形的性质可得BPC=ADB=50.故答案为：5017、试题分析：连接CO，过O作OEAC，根据垂径定理可得AE=4，根据圆周角定理可得AOC=120，进而可得1=30，再根据直角三角形的性质可得AO=2EO，再利用勾股定理计算出AO长，进而可得AD长解：连接CO，过O作OEAC，B=60，AOC=120，AO=CO，1=2=30，OEAC，EO=AO，设AO=x，则EO=x，AC=8，AE=4，AO2=AE2+EO2，x2=42+（x）2，解得：x=，AD=1850试题分析：弧AC所对的圆心角是AOC，圆周角是B，B=AOC=100=5019.试题分析：BAC=120，AB=AC，ADB=ABC=ACB=30，BD为直径，BAD=90，在RtABD中，由勾股定理可得AB=BD=2，过A作AEBC于点E，RtABE中，可求得BE=，BC=，故答案为：2045解：如图，连接OA，因OA=OC，可得ACO=OAC=45，根据三角形的内角和公式可得AOC=90，再由圆周角定理可得B=45.21（1）45，；（2）试题分析：（1）连接CD，利用同一条弦所对的圆周角相等求出CFE=45，易证，根据相似三角形的性质可得；（2）设,由得，可得方程，然后根据b的范围即可求解试题解析：（1）根据“一线三等角”易证即（2）如图：同（1）得，设,由得，有，当b时，0，不存在当b=时，0，存在22弦AB所对的圆周角的度数为60或120.试题分析：本题需分情况讨论，设弦AB所对的圆周角为P，点P可能位于优弧上，也可能位于劣弧上，分别对这两种情况计算求解即可.试题解析：如图，设弦AB在优弧上所对的圆周角为P，劣弧上所对的圆周角为P，连接OA，OB，过O点作OCAB，垂足为C，由垂径定理，得AC=AB=3，在RtAOC中，OA=6，sinAOC=，解得AOC=60，所以，AOB=2AOC=120，根据圆周角定理，得P=AOB=60，又APBP为圆内接四边形，所以，P=180P=120.故弦AB所对的圆周角的度数为60或120.23（1）30；（2）EF=；（3）CO的长为或时，PEB为等腰三角形试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；（2）首先证明HBOCOD（AAS），进而利用CODCBF，得出比例式求出EF的长；（3）分别利用当PB=PE，不合题意舍去；当BE=EP，当BE=BP，求出即可试题解析：（1）如图1，连接EO，BOE=EOD，DOBF，DOE=BEO，BO=EO，OBE=OEB，OBE=OEB=BOE=60，CFAB，FCB=90，F=30；（2）如图1，作HOBE，垂足为H，在HBO和COD中，HBOCOD（AAS），CO=BH=a，BE=2a，DOBF，CODCBF，EF=；（3）COD=OBE，OBE=OEB，DOE=OEB，COD=DOE，C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，若PEB为等腰三角形，设CO=x，OP=OC=x，则PE=EO-OP=4-x，由（2）得：BE=2x，当PB=PE，不合题意舍去；当BE=EP，2x=4-x，解得：x=，当BE=BP，作BMEO，垂足为M，EM=PE=， OEB=COD，BME=DCO=90，BEMDOC，整理得：x2+x-4=0，解得：x=（负数舍去），综上所述：当CO的长为或时，PEB为等腰三角形24证明：如图，连接BC，AB=CD，ACB=DBC，又A=D，BC=BC，AC=BD，AEC=DEB，CE=BE试题分析：欲证明CE=BE，只需推知ACEDBE即可证明：如图，AB=CD，=，=，AC=BD又ACD=ABD，即ACE=DBE，在ACE与DBE中，ACEDBE（AAS），CE=BE25（1）详见解析；（2）O的直径为26cm.试题分析：（1）根据垂径定理可得CE=ED， ,由等弧所对的圆周角相等可得BCD=BAC，又因为AOC是等腰三角形，即可得OAC=OCA，结论得证；（2）根据垂径定理可得CE=ED，设O的半径为Rcm，则OE= R8，在RtCEO中，根据勾股定理列出以R为未知数的方程，解方程即可求得圆的半径长，从而求得圆的直径的长.试题解析：证明：(1)AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于E，CE=ED， ,BCD=BAC, OA=OC . OAC=OCA .ACO=BCD . (2)设O的半径为Rcm，则OE=OBEB=R8，CE=CD= 24=12， 在RtCEO中，由勾股定理可得,OC=OE+CE ,即R= (R8) +12,解得 R=13. 2R=213=26 .答：O的直径为26cm.26（1）证明见解析；（2）BE=24分析：（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OCPC，由圆周角定理得：ACB=90，所以PCA=OCB，再由同圆的半径相等可得：OCB=ABC，从而得结论；（2）先证明CAF=ACF，则AF=CF=10，根据cosP=cosFAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cosEAB=，可得AE的长，从而计算BE的长.详解:证明：（1）连接OC，交AE于H，PC是O的切线，OCPC，PCO=90，PCA+ACO=90，AB是O的直径，ACB=90，ACO+OCB=90，PCA=OCB，OC=OB，OCB=ABC，PCA=ABC；（2）AEPC，CAF=PCA，ABCG，ACF=ABC，ABC=PCA，CAF=ACF，AF=CF=10，AEPC，P=FAD，cosP=cosFAD=，在RtAFD中，cosFAD=，AF=10，AD=8，FD=6，CD=CF+FD=16，在RtOCD中，设OC=r，OD=r8，r2=（r8）2+162，r=20，AB=2r=40，AB是直径，AEB=90，在RtAEB中，cosEAB=，AB=40，AE=32，BE=2427（1）见解析；(2)分析: （1）连接CO，由且OC=OB,得,利用同角的余角相等判断出BCO+BCE=90，即可得出结论；（2）设AC=2x，由根据题目条件用x分别表示出OA、AD、AB，通过证明AODACB，列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO.AB是半圆的直径，ACB=90. DCB=180-ACB=90.DCE+BCE=90.OC=OB,OCB=B.，OCB=DCE. OCE=DCB=90.OCCE.OC是半径，CE是半圆的切线. （2）解：设AC=2x，在RtACB中，,BC=3x. ODAB,AOD=ACB=90.A=A，AODACB.，AD=2x+10,.解得 x=8.则半圆的半径为.28（1）；（2）证明见解析；（3），理由见解析.试题分析：（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CDOA，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出PCO=90，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得BAG=AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出AGE和FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到GEGF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可（）连接，沿翻折后， 与重合，（）， ， ， ，是的切线（）， 为定值，连接， ， ，点为的中点，又，为直径， ，
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