高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教A版必修1 .ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教A版 必修1 函数的应用 第三章 3 2函数模型及其应用 第三章 3 2 1几类不同增长的函数模型 1 对数函数y logax a 0 a 1 当a 1时 增区间为 当0 a 1时减区间为 2 函数y ax a 0 a 1 当a 1时增区间为 当0 a 1时减区间为 3 函数y logax与y ax a 0 a 1 的图象关于 对称 4 y x R 当 0时函数在 0 上为 函数 当 0时 函数在 0 上为 函数 知识衔接 0 0 y x 增 减 5 某地的水电资源丰富 并且得到了电费y 元 与用电量x 度 之间的函数关系如右图所示 则月用电量为100度时 应交电费 元 60 1 四种函数模型的性质 自主预习 增 增 增 增 快 慢 2 三种增长函数模型的比较 1 指数函数和幂函数 一般地 对于指数函数y ax a 1 和幂函数y xn n 0 通过探索可以发现 在区间 0 上 无论n比a大多少 尽管在x的一定变化范围内 ax会小于xn 但由于ax的增长 于xn的增长 因此总存在一个x0 当x x0时 就会有ax xn 快 2 对数函数和幂函数 对于对数函数y logax a 1 和幂函数y xn n 0 在区间 0 上 随着x的增大 logax增长得越来越慢 图象就像是渐渐地与x轴平行一样 尽管在x的一定变化范围内 logax可能会大于xn 但由于logax的增长 于xn的增长 因此总存在一个x0 当x x0时 就会有logax xn 慢 3 指数函数 对数函数和幂函数 在区间 0 上 尽管函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是 函数 但它们增长的速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 因此总存在一个x0 当x x0时 就会有 xn 增 快 logax ax 1 专家预测 在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10 4 经过x年可能增长到原来的y倍 则函数y f x 的图象大致为 答案 D 解析 由题意可知y 1 10 4 x 预习自测 答案 C 解析 排除法 当x 1时 否定B项 当x 2时 否定D 当x 3时 否定A项 故选C 3 下列函数增长的速度最快的是 A y 3xB y log3xC y x3D y 3x 答案 A4 当x 4时 a 4x b log4x c x4 则有 A a b cB b a cC c a bD b c a 答案 D 四个变量y1 y2 y3 y4随变量x变化的数据如下表 关于x呈指数函数变化的变量是 考查函数模型的增长差异 互动探究 探究1 从表格观察函数值y1 y2 y3 y4的增加值 哪个变量的增加值最大 则该变量关于x呈指数函数变化 解析 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化 从表格中可以看出 四个变量y1 y2 y3 y4均是从2开始变化 变量y1 y2 y3 y4都是越来越大 但是增长速率不同 其中变量y2的增长速度最快 画出它们的图象 图略 可知变量y2关于x呈指数函数变化 答案 y2 规律总结 解决本题的关键是如何确定变量间的关系是指数函数关系 不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值 还要看函数值的变化趋势 下面是f x 随x的增大而得到的函数值表 试问 1 随着x的增大 各函数的函数值有什么共同的变化趋势 2 各函数增长速度快慢有什么不同 解析 1 随着x的增大 各函数的函数值都在增大 2 由图表可以看出 各函数增长速度快慢不同 其中f x 2x的增长速度最快 而且越来越快 其次为f x x2 增长的幅度也在变大 而f x 2x 7增长速度不变 增长速度最慢的是f x log2x 而且增长的幅度越来越小 规律总结 对于三种函数增长的几点说明 1 对于幂函数y xn 当x 0 n 0时 y xn才是增函数 当n越大时 增长速度越快 2 指数函数与对数函数的递增前提是a 1 又它们的图象关于y x对称 从而可知 当a越大 y ax增长越快 当a越小 y logax增长越快 一般来说 ax logax x 0 a 1 3 指数函数与幂函数 当x 0 n 0 a 1时 可能开始时有xn ax 但因指数函数是爆炸型函数 当x大于某一个确定值x0后 就一定有ax xn 函数f x 2x和g x x3的图象如下图所示 设两函数的图象交于点A x1 y1 B x2 y2 且x1 x2 1 请指出图中曲线C1 C2分别对应的函数 2 结合函数图象 判断f 6 g 6 f 2015 g 2015 的大小 图象信息迁移题 探究1 随着自变量x的增大 图象位于上方的函数是指数函数y 2x 另一个函数就是幂函数y x3 解析 1 C1对应的函数g x x3 C2对应的函数为f x 2x 2 f 1 g 1 f 2 g 10 1x2 从图象上可以看出 当x1x2时 f x g x f 2015 g 2015 又g 2015 g 6 f 2015 g 2015 g 6 f 6 函数f x lgx g x 0 3x 1的图象如右图所示 1 试根据函数的增长差异指出曲线C1 C2分别对应的函数 2 比较两函数的增长差异 以两图象交点为分界点 对f x g x 的大小进行比较 解析 1 C1对应的函数为g x 0 3x 1 C2对应的函数为f x lgx 2 当xf x 当x1g x 当x x2时 g x f x 某皮鞋厂今年1月份开始投产 并且前4个月的产量分别为1万双 1 2万双 1 3万双 1 37万双 由于产品质量好 款式新颖 前几个月的销售情况良好 为了推销员在推销产品时 接受订单不至于过多或过少 需要估计以后几个月的产量 厂里分析 产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程 厂里也暂时不准备增加设备和工人 假如你是厂长 就月份x 产量为y给出三种函数模型 y ax b y ax2 bx c y abx c 你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量 函数模型的选择 探索延拓 探究1 本题是通过数据验证 确定系数 然后分析确定函数变化情况 最终找出与实际最接近的函数模型 比较上述四个模拟函数的优劣 既要考虑到误差最小 又要考虑生产的实际 如 增产的趋势和可能性 经过筛选 以指数函数模拟为最佳 一是误差小 二是由于厂房新建 随着工人技术和管理效益逐渐提高 一段时间内产量会明显上升 但经过一段时间之后 如果不更新设备 产量必然趋于稳定 而指数函数模型恰好反映了这种趋势 因此选用指数函数y 0 8 0 5x 1 4模拟比较接近客观实际 规律总结 本题是对数据进行函数模拟 选择最符合客观实际的模拟函数 一般思路为 先画出散点图 然后作出模拟函数的图象 选择适当的几种函数模型后 再加以验证 函数模型的建立是最大的难点 另外运算量较大 须借助计算器或计算机进行数据处理 函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验 又必须符合实际 某学校为了实现60万元的生源利润目标 准备制定一个激励招生人员的奖励方案 在生源利润达到5万元时 按生源利润进行奖励 且奖金y 单位 万元 随生源利润x 单位 万元 的增加而增加 但奖金总数不超过3万元 同时奖金不超过利润的20 现有三个奖励模型 y 0 2x y log5x y 1 02x 其中哪个模型符合该校的要求 规律总结 不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律 1 线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律 2 指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律 3 对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律 4 幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律 因此 需抓住题中蕴含的科学的信息 恰当 准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题 1 下列函数中 随x的增大 增长速度最快的是 A y 2xB y 10000 xC y log3xD y x3 答案 A 答案 D 解析 代入检验 排除A B C 故选D 4 四个变量y1 y2 y3 y4随变量x变化的数据如下表 关于x呈指数型函数变化的变量是 答案 y2