2019-2020年二年级数学 奥数讲座 逆序推理法.doc

2019-2020年二年级数学 奥数讲座 逆序推理法逆序推理法，也叫逆推法或倒推法。简单说，就是调过头来往回想。例1 老师心中想了一个数，对他的学生说：“给这个数加上9，再取和的一半应是5。”他叫学生们把这个数算出来。你会算吗？解：用逆推法求解，就是这样想：因为老师想的数加上9后之和的一半是5，那么和就应是 52=10；再往前逆推，在没有加上9之前应是10-9=1，这就是老师心中想的数。让我们再从另一种思路去想：首先，把老师想的数用代表，顺着题意列式应有：（+9）2=5，我们可以叫它做顺序式。然后，再把前面的逆推过程写成算式，就应有：52-9=1，“1”就是方框所代表的数，所以把它写在方框里。我们可以把这个算式叫做逆序式。把两式进行对照比较（如下图如示）可见：顺序的运算结果（或最后结论）是逆序式的已知数据（或起始条件）；顺序式中除以2变为逆序式中乘以2；顺序式中加上9变为逆序式中减去9；顺序式中起始未知数变为逆序式中最后运算结果；总之，逆序式恰为顺序式的逆运算。这就是逆推法的由来和实质。例2 某数加上6，乘以6，减去6，除以6，最后结果等于6。问这个数是几？解：依题意，写出顺序式，再接着写出逆序式，（某数+6）6-66=6顺序式（66+6）6-6=某数逆序式经计算可知“某数”=1。例3 小勇拿了妈妈给的零花钱去买东西。他先用这些钱的一半买了玩具，之后又买了1元5角钱的小人书，最后还剩下3角钱。你知道妈妈给小勇多少钱吗？解：可以这样倒着想：小勇最后剩下3角钱，在买书之前的钱应是3角+1元5角=1元8角。这个数目是他买玩具后剩下的，买玩具前的钱数应当是：1元8角2=3元6角。这就是妈妈给他的钱数。若画出下面的图就更清楚了。例4 小亮拿着1包糖，遇见好朋友A，分给了他一半；过一会又遇见好朋友B，把剩下的糖的一半分给了他；后来又遇到了好朋友C，把这时手中所剩下的糖的一半又分给了C，这时他自己手里只有一块了。问在没有分给A以前，小亮那包糖有几块？解：采用逆推法-从最后结果往前倒着推算。小亮最后手里只剩下一块糖，这是分给C一半后所剩的数，则知遇见C之前小亮有糖：12=2（块）。同理，遇到B之前有糖：22=4（块）。遇到A之前有糖：42=8（块）。即小亮未给小朋友前，那包糖应有8块。例5 农妇卖蛋，第一次卖掉篮中的一半又1个，第二次又卖掉剩下的一半又1个，这时篮中还剩1个。问原来篮中有蛋几个？解：逆推：篮中最后（即第二次卖后）剩1个；第二次卖前篮中有（1+1）2=4个；第一次卖前篮中有（4+1）2=10个；即篮中有10个蛋。例6 某池中的睡莲所遮盖的面积，每天扩大1倍，20天恰好遮住整个水池，问若只遮住水池的一半需要多少天？解：倒着想。若是今天睡莲把整个池面遮满了，那么昨天睡莲只遮住了水面的一半。今天是第20天，昨天就是第19天，也就是说睡莲遮住一半池面需19天。例7 文化用品店新到一批日记本，上一周售出本数比总数的一半少12本；这一周售出的本数比所剩的一半多12本；结果还有19本。问这批日记本有多少？解：由图上可见本周未售出时的一半是：19+12=31（本）；本周未售出时的总数是：312=62（本）；总数的一半是：62-12=50（本）；总本数是：502=100（本）。列出综合算式：（19+12）2-122=100（本）。答：这批日记本共有100本。例8 现有一堆棋子，把它分成三等份后还剩一颗；取出其中的两份又分成三等份后还剩一颗；再取出其中的两份再分成三等份后还剩一颗。问原来至少有多少颗棋子？解：题中有“至少”这一条。用逆推法从最后的最少棋子情况逆推。先画线段图依次表示分棋子的过程，见下图：假设第三次分时，三等份中每分是1个棋子（最少），则此次分前应是3+1=4个；42=2，则第二次分前应是23+1=7个，注意7是奇数（第二次分前的棋子是第一次分后的两份，应是偶数所以不应是7，可见前面假设不对）。再假设第三次分时每等份是2个棋子，也不行。又假设第三次分时每等份是3个棋子，则有33+1=10；102=5，53+1=16；162=8，83+1=25；原来有棋子至少是25个。附送：2019-2020年二年级数学 奥数讲座 速算与巧算1利用上一讲得到的乘法运算定律和等差数列求和公式，可以使计算变得巧妙而迅速。例1 2452554=（25）（425）54 （利用了交换律和结合律）=1010054 =54000例2 54125168625=54（1258）（62516） （利用了交换律和结合律）=54100010000 =540000000例3 56425125 将64分解为2、4、8的连乘积是关键一步。=5（248）25125 =（52）（425）（8125） =101001000=1000000例5 3748625=37（316）625 注意373=111=（373）（16625）=11110000=1110000例6 2725+1325 逆用乘法分配律，这样做叫提公因数=（27+13）25 =4025=1000例7 12323+123+12376 注意123=1231；再提公因数123=12323+1231+12376 =123（231+76）=123100=12300例8 81+9919 把81改写（叫分解因数）为99是为了下一步提出公因数9=99+9919=（9+991）9 =10009=9000例9 11199=111（100-1）=111100-111=11100-111=10989例10 2357-4823+23=23（57-48+1）=2310=230例11 求1+2+3+24+25的和。解：此题是求自然数列前25项的和。方法1：利用上一讲得出的公式和=（首项+末项）项数21+2+3+24+25=（1+25）252=26252=325方法2：把两个和式头尾相加（注意此法多么巧妙！）想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗？例12 求8+16+24+32+792+800的和。解：可先提公因数8+16+24+32+792+800=8（1+2+3+4+99+100）=8（1+100）1002=85050=40400例13 某剧院有25排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位？解：由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、第25排的顺序写出来，必是一个等差数列。那么第1排有多少个座位呢？因为：第2排比第1排多2个座位，2=21第3排就比第1排多4个座位，4=22第4排就比第1排多6个座位，6=23这样，第25排就比第1排多48个座位，48=224。所以第1排的座位数是：70-48=22。再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：和=（22+70）252=92252=1150。