2019-2020年二年级数学 奥数讲座 一笔画问题.doc

2019-2020年二年级数学 奥数讲座 一笔画问题一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐。他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字。突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功。下面是他写的字样。（见下图）这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样。（见下图）经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成。真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来。而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？先从最简单的图形进行考察。一些平面图形是由点和线构成的。这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线。而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“”表示出来了。首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等。其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何一个点在图中究竟和几条线相连。看来，这是需要仔细考察的。第一组（见下图）（1）两个点，一条线。每个点都只与一条线相连。（2）三个点。两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连。第一组的两个图都能一笔画出来。（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）（1）五个点，五条线。A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连。（2）六个点，七条线。（“日”字图）A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连。第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画。即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）。第三组（见下图）（1）四个点，三条线。三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连。（2）四个点，六条线。每个点都与三条线相连。（3）五个点，八条线。点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连。第三组的三个图形都不能一笔画出来。第四组（见下图）（1）这个图通常叫五角星。五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连。（2）由一个圆及一个内接三角形构成。三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）。（3）一个正方形和一个内切圆构成。正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连。（四条线是两条线段和两条弧线）。第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以。第五组（见下图）（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连。（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成。圆和正方形之间没有线相连。第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来。进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点。提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查：从此表来看，猜想是对的。下面试提出几点初步结论：不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形。有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成。（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）。只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）；奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成。最后，综合成一条判定法则：有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成。能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”。用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去。看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解。从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止。由此可见：笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点。再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成。附送：2019-2020年二年级数学 奥数讲座 找规律（二）例1 仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图？解：仔细观察图71，可知：第1组左边是个大菱形，右边是个小菱形。第2组左边是个大三角形，右边是个小三角形。其规律是：每组中左右两边图形的形状相同，大小不同。都是左边的图形大，右边的图形小。猜出答案：第3组中右边空白格内应填个小长方形。（如图73）。仔细观察图72可知：第1组左边是个圆，而且左半圆涂有阴影线。右边是左边的阴影半圆顺时针旋转后放置的。第2组左边是个等腰三角形，而且左半部（直角三角形）涂有阴影线，右边是左边阴影直角三角形顺时针旋转后放置的。其规律是：每组的右边格内的图形都是左边图形左边的一半，顺时针旋转放置后成为右边图形。猜出答案：第3组中右框内应填个阴影小长方形。如图74示。例2 按顺序仔细观察图75、76的形状，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？解：图75的？处应填。注意观察第1组和第2组，每组都是由三对小图形组成；而每对小图形都是由一个“空白”的和一个“黑色”的小图形组成；而且它俩的排列顺序都是“空白”的在左边，“黑色”的在右边。再按着第1、第2、第3组的顺序观察下去，可发现每对小图形在各组中的位置的变化规律：它们都在向左移动，当一对小图形移动到最左边后，下一步它就回到了最右边。按这个移动规律，可知图75中第3组“？”处应填：。图76的？处应填0。仔细观察可发现第1组和第2组中间的部分都是由三个小图形构成的。构成的规律是：当你按照第1、第2、第3组的顺序观察时，6个小图形都在向左移动，而且移动的同时又在重新分组和组合，但排列顺序保持不变，当某一个小图形移动到了最左边时，下一步它就回到了最右边。按这个规律可知图76中第3组中间“？”处是：0。例3 观察图77的变化，请先回答：在方框（4）中应画出怎样的图形？再答按（1）、（2）、（3）、的顺序数下去，第（10）个方框中是怎样的图形？解：先按（1）、（2）、（3）、的顺序仔细观察，可发现：方框中的箭头是按逆时针方向旋转的；方框中的其他小图形，如、和也都是按逆时针方向旋转的。也就是说，方框连同内部的所有小图形作为一个整体在按逆时针方向旋转。因此，方框（4）中的小图形应画成图78状。再按已找到的规律，进一步可发现图形的变化是有“周期性”的，也就是说，每过4个方框后，同样的图形又重新出现一次。如，你可看到第（1）和第（5）是完全一样的；因此，你可以想像得到，第（2）和第（6）及第（10）个图形应当是完全一样的。即第（10）个方框中的图形应是图79所示的样子。例4 观察图710的变化，请先回答：第（4）、（8）个图中，黑点在什么地方？第（10）、（18）个图中，黑点在什么地方？解：（1）按图710中（1）、（2）、（3）、的顺序仔细观察，可发现黑点位置的变化规律：在（1）中，黑点在最上面第一条横线上；在（2）中，黑点下降了一格，在上面第二条横线上；在（3）中，黑点又下降了一格，在中间一条线上了。按黑点位置的这种变化可推测出：在（4）中，黑点又下降一格，它的位置应如图711所示。继续观察下去：在（5）中，黑点下降到最下面的一条横线上；在（6）中，黑点开始往上升一格；在（7）中，黑点再上升一格，按着黑点位置的这种变化可推测出：在（8）中，黑点又上升一格，它的位置应如图712所示。（2）进一步仔细观察图710（1）（9），可发现黑点位置变化的“周期性”规律：也就是说，每隔8个小图，黑点又回到原来的位置。因为2+8=10，2+8+8=18。所以第（10）、（18）个小图中，黑点的位置应与第（2）个小图相同，见图713所示。