高中数学 2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法-二分法课件 新人教B版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教B版 必修1 函数 第二章 2 4函数与方程 第二章 2 4 2求函数零点近似解的一种计算方法 二分法 在一个风雨交加的夜里 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障 这是一条10km长的线路 问如何迅速查出故障所在 如果沿着线路 小段一小段查找 困难很多 每查一个点要爬一次电线杆子 10km长 大约有200多根电线杆子呢 想一想 维修线路的工人师傅怎样工作最合理 1 变号零点与不变号零点如果函数y f x 在区间 a b 上的图象不间断 并且在它的两个端点处的函数值异号 即f a f b 0 则这个函数在这个区间上至少有一个零点 即存在一点x0 a b 使f x0 0 这样的零点常称作 零点 有时曲线通过零点时不变号 这样的零点称作 零点 变号 不变号 2 用 二分法 求函数变号零点的近似值的一般步骤第一步 在D内取一个闭区间 a b D 使f a 与f b 即f a f b 令a0 a b0 b 第二步 取区间 a0 b0 的 如图 异号 0 中点 x0 x1 计算f x1 和f a1 判断 如果f x1 0 则 就是f x 的零点 计算终止 如果f a1 f x1 0 则零点位于区间 a1 x1 上 令a2 a1 b2 x1 如果f a1 f x1 0 则零点位于区间 x1 b1 上 令a2 x1 b2 b1 实施上述步骤 直到an bn精确到规定的精确度的近似值 时 那么这个值就是方程f x 0的一个近似解 计算终止 求函数零点的近似值 所选取的起始区间可以不同 最后结果也不尽相同 但相同精确度 取相同位数的近似值一定 相等 相同 1 如图所示 函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 A B C D 答案 B 解析 本题考查用二分法求函数零点时 函数值在零点左右变号 用二分法求函数的零点时 若f a f b 0 则表明函数f x 的图象在 a b 范围内与x轴必相交 不是相切 所以用二分法求函数的近似零点都是指变号零点 于是 不能用二分法求图中交点的横坐标 故选B 2 函数f x 的图象如图所示 则函数f x 的变号零点的个数为 A 4B 1C 2D 3 答案 D 解析 函数f x 的图象通过零点时穿过x轴 则该零点为变号零点 根据图象可知 函数f x 有3个变号零点 3 函数f x 5 x2的负数零点的近似值 精确到0 1 是 A 2 0B 2 1C 2 2D 2 3 答案 C 解析 f 2 1 5 4 41 0 59 0 f 2 3 5 5 29 0 29 0 故选C 4 用二分法求方程x3 2x 5 0在区间 2 3 内的实根 取区间中点2 5 那么下一个有根区间是 答案 2 2 5 解析 由计算器可算得f 2 1 f 3 16 f 2 5 5 625 f 2 f 2 5 0 所以下一个有根区间是 2 2 5 5 在26枚崭新的金币中 混入了一枚外表与它们完全相同的假币 但质量稍轻 若现在只有一台天平 最多需要称 次就可以发现这枚假币 答案 4 解析 第一次两端各13枚称重 选出较轻的一端的13枚 继续称 第二次两端各6枚 若平衡 则剩下的一枚为假币 否则选出较轻的6枚 继续称 第三次两端各3枚 选出较轻的3枚 继续称 第四次两端各1枚 若不平衡 可找出假币 若平衡 则剩下的是假币 即最多称四次就可以发现这枚假币 6 已知f x x5 x 3在区间 1 2 内有零点 求方程x5 x 3 0在区间 1 2 内的一个近似解 精确到0 1 解析 设f x x5 x 3 取 1 2 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算列表如下 由上表可知方程的近似解为1 1 函数图象与x轴均有公共点 但不能用二分法求公共点横坐标的是 二分法的概念 分析 题目中给出了各个函数的图象 通过图象与x轴的交点 结合二分法的概念以及使用二分法求函数零点的条件 判断是否可以使用二分法 解析 选项B中的函数零点是不变号零点 不能用二分法求解 答案 B 函数y f x 在区间 a b 上的图象不间断 并且f a f b 0 则这个函数在这个区间上 A 只有一个变号零点B 有一个不变号零点C 至少有一个变号零点D 不一定有零点 答案 C 解析 如图所示 因为f x 在 a b 上的图象不间断 且f a 与f b 异号 故f x 在 a b 上必有零点 并且可能不止一个 故选C 求函数f x x3 2x2 3x 6的一个为正数的零点 精确到0 1 分析 先找一个两端点函数值符号相反的区间 然后用二分法逐步缩小零点所在的区间 直到达到要求的近似值 最后确定要求的近似值 解析 由于f 1 60 可取区间 1 2 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算 列表如下 用二分法求函数零点的近似值 因此可以看出 区间 1 71875 1 734375 内的所有值精确到0 1都为1 7 所以1 7就是所求函数精确到0 1的实数解 试用计算器求出函数f x x2 g x 2x 2的图象交点的横坐标 精确到0 1 解析 令h x f x g x x2 2x 2 h 2 22 2 2 2 20 h 2 h 3 0 x0 2 5 2 75 取 2 5 2 75 的中点x3 2 625 则h 2 625 0 x0 2 625 2 75 取 2 625 2 75 的中点x4 2 6875 则h 2 6875 0 x0 2 6875 2 75 取x0 2 6875 2 75 的中点x5 2 71875 h 2 7185 0 由于区间 2 6875 2 71875 的左 右端点精确到0 1的近似值都是2 7 所以2 7是函数的零点 即f x x2与g x 2x 2的一个交点的横坐标约为2 7 类似可得另一交点的横坐标为 0 7 一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点 如果线路不通的原因是由于焊接点脱落所致 要想检验出哪一处焊接点脱落 问运用二分法至多需要检测的次数是多少 二分法在实际问题中的应用 第1次取中点把焊接点数减半为64 2 32个 第2次取中点把焊接点数减半为32 2 16个 第3次取中点把焊接点数减半为16 2 8个 第4次取中点把焊接点数减半为8 2 4个 第5次取中点把焊接点数减半为4 2 2个 第6次取中点把焊接点数减半为2 2 1个 所以至多需要检测6次 2008年初我国南方遭遇了50年不遇的雪灾 雪灾发生后 停水断电 交通受阻 一日 某市A地到B地的电话线路发生故障 这是一条10km长的线路 每隔50m有一根电线杆 如何迅速查出故障所在 中央电视台曾有一档娱乐节目 幸运52 主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会 如果猜中 就把物品奖励给选手 同时获得一商标 某次猜一种品牌的手机 手机价格在500 1000元之间 选手开始报价 1000元 主持人回答 高了 紧接着报价900元 高了 700元 低了 800元 低了 880元 高了 850元 低了 851元 恭喜你 你猜中了 表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分 实际上 游戏报价的过程体现了 逼近 的数学思想 你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗 错解 选手开始报价 1000元 主持人回答 高了 紧接着报价900元 高了 700元 低了 800元 低了 880元 高了 850元 低了 851元 恭喜你 猜中了 辨析 虽然最后结果猜对了 但是此方法很不科学 为了解决这个实际问题 正确的思维方法是使用数学中的 二分法 它能更有效地解答生活中的应用问题 正解 取价格区间 500 1000 的中点750 如果主持人说低了 就再取 750 1000 的中点875 否则取另一个区间 500 750 的中点 若遇到小数 则取整数 照这样的方案 游戏过程猜价如下 750 875 812 843 859 851 经过6次可以猜中价格 解析 1 由题意可知 长方体底面的长 宽都是 15 2x cm 高为xcm 则它的体积y 15 2x 15 2x x 4x3 60 x2 225x 00 f 5 25 0 可取区间 4 5 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算 列表如下 由上表可知 区间 4 625 4 6875 的长度小于0 1 所以该区间的中点x5 4 65625即为方程4x3 60 x2 225x 150的一个正零点的近似解 即此时截去的小正方形的边长约为4 7cm