高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差课件 新人教A版选修2-3 .ppt

2 3 2离散型随机变量的方差 1 方差 标准差的定义及方差的性质 1 方差及标准差的定义 设离散型随机变量X的分布列为 方差D X 标准差为 2 方差的性质 D aX b a2D X 2 两个常见分布的方差 1 若X服从两点分布 则D X 2 若X B n p 则D X p 1 p np 1 p 1 判一判 正确的打 错误的打 1 离散型随机变量的方差越大 随机变量越稳定 2 若a是常数 则D a 0 3 离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度 解析 1 错误 离散型随机变量的方差越大 随机变量越不稳定 2 正确 因为E a a 所以D a 0 3 正确 由离散型随机变量的方差的几何意义可知 其反映了随机变量偏离于期望的平均程度 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 若随机变量X服从两点分布 且成功的概率p 0 5 则E X 和D X 分别为 2 设随机变量 B 则D 3 如果X是离散型随机变量 Y 3X 2 那么D Y D X 解析 1 因为X服从两点分布 所以X的概率分布为所以E X 0 0 5 1 0 5 0 5 D X 0 52 0 5 1 0 5 2 0 5 0 25 答案 0 5和0 25 2 因为随机变量 B 所以D 答案 3 由于X是离散型随机变量 Y 3X 2呈线性关系 代入公式 则E Y 3E X 2 D Y 32D X 9D X 答案 9 要点探究 知识点方差 标准差的定义及方差的性质1 对随机变量X的方差 标准差的五点说明 1 随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的 2 随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动 集中与离散程度 3 D X 越小 随机变量X的取值就越稳定 波动就越小 4 标准差与随机变量本身有相同的单位 所以在实际问题中应用更广泛 5 方差也可用公式D X E X2 E X 2计算 可由 pi展开整理得 2 随机变量的方差和样本方差之间的关系 3 方差具有的性质当a b均为常数时 随机变量 a b的方差D D a b a2D 特别地 1 当a 0时 D b 0 即常数的方差等于0 2 当a 1时 D b D 即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身 3 当b 0时 D a a2D 即随机变量与常数之积的方差 等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积 4 当a b均为非零常数时 随机变量 a b的方差D D a b a2D 知识拓展 证明公式D X E X2 E X 2证明 D X x1 E X 2p1 x2 E X 2p2 xn E X 2pn p1 p2 pn 2E X x1p1 x2p2 xnpn E X 2 p1 p2 pn E X2 2 E X 2 E X 2 E X2 E X 2 利用公式D X E X2 E X 2可以简化求方差的过程 微思考 1 数学期望与方差表示的含义相同吗 提示 不同 数学期望是概率意义下的平均值 而方差体现了随机变量偏离于期望的平均程度 2 两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系 提示 由于两点分布是特殊的二项分布 故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系 即时练 2014 杭州高二检测 某班从4名男生 2名女生中选出3人参加志愿者服务 若选出的男生人数为 则 的方差D 解析 依题意得 随机变量 服从超几何分布 随机变量 表示其中男生的人数 可能取的值为1 2 3 所以X的分布列为 由分布列可知E 2 又E 2 所以D E 2 E 2 22 0 4 答案 0 4 题型示范 类型一离散型随机变量的方差及标准差的计算 典例1 1 同时抛掷两枚均匀的硬币10次 设两枚硬币同时出现反面的次数为 则D 2 已知X的分布列为设Y 2X 3 求E Y D Y 解题探究 1 题 1 中两枚硬币同时出现反面的次数 服从什么分布 2 题 2 中 可以根据分布列直接计算出哪个量的期望与方差 探究提示 1 两枚硬币同时出现反面的次数 B 2 可以利用公式计算出E X 与D X 自主解答 1 选A 两枚硬币同时出现反面的概率为故 B 因此D 2 由条件中所给的随机变量的分布列可知E X D X 所以E Y E 2X 3 D Y D 2X 3 延伸探究 在题 1 的条件不变的情况下 求 两枚硬币不同时出现同面的次数 的方差 解题指南 不同时出现同面的次数 B 解析 不同时出现同面的概率为 由题意可知 同时抛掷两枚均匀的硬币10次 不同时出现同面的次数 B 故D 2 5 方法技巧 1 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 1 已知分布列型 非两点分布或二项分布 直接利用定义求解 先求均值 再求方差 2 已知分布列是两点分布或二项分布型 直接套用公式求解 具体如下 若X服从两点分布 则D X p 1 p 若X B n p 则D X np 1 p 3 未知分布列型 求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列 然后转化成 1 中的情况 4 对于已知D X 求D aX b 型 利用方差的性质求解 即利用D aX b a2D X 求解 2 求离散型随机变量 的方差 标准差的步骤 1 理解 的意义 写出 可能取的全部值 2 求 取各个值的概率 写出分布列 3 根据分布列 由期望的定义求出E 4 根据方差 标准差的定义求出D 若 B n p 则不必写出分布列 直接用公式计算即可 变式训练 2014 浙江高考 随机变量 的取值为0 1 2 若P 0 E 1 则D 解题指南 根据离散型随机变量的均值与方差的相关知识计算 解析 设 1时的概率为p 则解得p 故答案 补偿训练 一次数学测验有25道选择题构成 每个选择题有4个选择项 其中有且只有一个选项正确 每选一个正确答案得4分 不作出选择或选错的不得分 满分100分 某学生选对任一题的概率为0 8 则此学生在这一次测试中的成绩的D 解析 设学生答对题数为 成绩为 则 B 25 0 8 4 则此学生在这一次测试中的成绩的D D 4 16D 16 25 0 8 0 2 64 答案 64 类型二方差的应用 典例2 1 有甲 乙两种水稻 测得每种水稻各10株的分蘖数据 计算出样本方差分别为D X甲 11 D X乙 3 4 由此可以估计 A 甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C 甲 乙两种水稻分蘖整齐程度相同D 甲 乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 2 甲 乙两射手在同一条件下进行射击 分布列如下 射手甲击中环数8 9 10的概率分别为0 2 0 6 0 2 射手乙击中环数8 9 10的概率分别为0 4 0 2 0 4 用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平 解题探究 1 题 1 中样本的方差与样本的整齐程度有什么关系 2 题 2 中分析甲 乙的射击水平差异需比较哪些量 探究提示 1 样本的方差越小 大 则样本越整齐 不整齐 2 通过比较甲 乙的期望与方差分别说明甲 乙的射击技术平均水平及其稳定性差异 自主解答 1 选B 因为D X甲 D X乙 所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 2 设甲击中环数为 1 乙击中环数为 2 E 1 8 0 2 9 0 6 10 0 2 9 D 1 8 9 2 0 2 9 9 2 0 6 10 9 2 0 2 0 4 同理有E 2 9 D 2 0 8 由上可知 E 1 E 2 D 1 D 2 所以 在射击之前 可以预测甲 乙两名射手所得的平均环数很接近 均在9环左右 但甲所得环数较集中 以9环居多 而乙得环数较分散 得8 10环的次数多些 故甲射手的射击水平较高 方法技巧 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 1 比较均值 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平 因此 在实际决策问题中 需先计算均值 看一下谁的平均水平高 2 在均值相等的情况下计算方差 方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 通过计算方差 分析一下谁的水平发挥相对稳定 3 下结论 依据均值和方差的几何意义做出结论 变式训练 有甲乙两个单位都愿意聘用你 而你能获得如下信息 根据工资待遇的差异情况 你愿意选择哪家单位 解析 根据月工资的分布列 利用计算器可算得E X1 1200 0 4 1400 0 3 1600 0 2 1800 0 1 1400 D X1 1200 1400 2 0 4 1400 1400 2 0 3 1600 1400 2 0 2 1800 1400 2 0 1 40000 E X2 1000 0 4 1400 0 3 1800 0 2 2200 0 1 1400 D X2 1000 1400 2 0 4 1400 1400 2 0 3 1800 1400 2 0 2 2200 1400 2 0 1 160000 因为E X1 E X2 D X1 D X2 所以两家单位的工资均值相等 但甲单位不同职位的工资相对集中 乙单位不同职位的工资相对分散 这样 如果你希望不同职位的工资差距小一些 就选择甲单位 如果你希望不同职位的工资差距大一些 就选择乙单位 补偿训练 A B两台机床同时加工零件 每生产一批数量较大的产品时 出次品的概率如下表所示 A机床B机床问哪一台机床加工质量较好 解析 E 1 0 0 7 1 0 2 2 0 06 3 0 04 0 44 E 2 0 0 8 1 0 06 2 0 04 3 0 10 0 44 它们的期望相同 再比较它们的方差 D 1 0 0 44 2 0 7 1 0 44 2 0 2 2 0 44 2 0 06 3 0 44 2 0 04 0 6064 D 2 0 0 44 2 0 8 1 0 44 2 0 06 2 0 44 2 0 04 3 0 44 2 0 10 0 9264 所以D 1 D 2 故A机床加工较稳定 质量较好 规范解答 方差的实际应用 典例 12分 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝10元的价格出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 1 若花店一天购进16枝玫瑰花 求当天的利润y 单位 元 关于当天需求量n 单位 枝 n N 的函数解析式 2 花店记录了100天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 若花店一天购进16枝玫瑰花 X表示当天的利润 单位 元 求X的数学期望 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花 你认为应购进16枝还是17枝 请说明理由 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 若对题中信息把握不到位 导致 处利润y与当天需求量n的函数关系是y 5n 5 16 n 10n 80 致使本例得2分 失分点2 若对变量X理解不到位 导致 处错误 致使均值错误 本例最多得4分 失分点3 若对期望的实际意义理解不到位 而没有得到 处的式子 则会导致至少丢掉3分 悟题 提措施 导方向1 建模信息的提取熟读题设信息 把实际问题数学模型化是解决该类问题的关键 如本例的函数模型的建立用到了分段函数的建模思想 2 理解期望的实际意义期望是随机变量的数字特征 能够反映数据的整体情况 理解期望的实际意义是求解此类问题的关键 如本例 2 类题试解 多向飞碟是奥运会的竞赛项目 它是由抛靶机把碟靶 射击的目标 在一定范围内从不同的方向飞出 每抛出一个碟靶 就允许运动员射击两次 直到击中为止 一运动员在进行训练时 每一次射击命中碟靶的概率P与运动员离碟靶的距离S 米 成反比 现有一碟靶抛出的距离S 米 与飞行时间t 秒 满足S 15 t 1 0 t 4 假设运动员在碟靶飞出后0 5秒进行第一次射击 且命中的概率为0 8 如果发现没有命中 则通过迅速调整 在第一次射击后经过0 5秒进行第二次射击 1 设该运动员命中碟靶的次数为 求 的分布列 2 求E 和D 解析 1 设P 常数k 0 则P 当t 0 5秒时 P1 0 8 代入上式得k 18 所以 所以当t 1秒时 P2 0 6 可能取值为0 1 由题意P 0 0 2 0 4 0 08 P 1 0 8 0 2 0 6 0 92 那么 的分布列为 2 E 0 0 08 1 0 92 0 92 D 0 0 92 2 0 08 1 0 92 2 0 92 0 0736