高中数学 2.3.1 数学归纳法课件 北师大版选修4-5.ppt

3数学归纳法与贝努利不等式 3 1数学归纳法 对数学归纳法的理解 1 数学归纳法原理 数学归纳法原理是设有一个关于正整数n的命题 若当n取第1个值n0时该命题成立 又在假设当n取第k个值时该命题成立后可以推出n取第k 1个值时该命题成立 则该命题对一切自然数n n0都成立 2 数学归纳法 数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题 证明需要经过两个步骤 验证当n取第一个值n0 如n0 1或2等 时命题正确 假设当n k时 k N k n0 命题正确 证明当n k 1时命题也正确 在完成了上述两个步骤之后 就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一用数学归纳法证明恒等问题数学归纳法可以证明与自然数有关的恒等式问题 证明此类问题的关键在于第二步 它有一个基本格式 我们不妨设命题为P n f n g n 其第二步相当于做一道条件等式的证明题 已知 f k g k 求证 f k 1 g k 1 通常可采用的格式分为三步 1 找出f k 1 与f k 的递推关系 2 把归纳假设f k g k 代入 3 作恒等变形化为g k 1 示意图为 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 点评用数学归纳法证明一个代数恒等式 解题前先要分析清楚等式两边的构成情况 解这类题的关键在第二步 将式子转化为与归纳假设的等式结构相同的形式 凑假设 然后应用归纳假设 经过恒等变形得到结论所需形式 凑结论 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二用数学归纳法证明整除问题利用数学归纳法证明整除性问题时 第二步一般先将n k 1代入原式 然后将原式作适当的恒等变形 凑出归纳假设 这是证明的关键和难点 典型例题2求证 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n N 思路分析 对于多项式A B 如果A BC C也是多项式 那么A能被B整除 若A B都能被C整除 则A B A B也能被C整除 证明 1 当n 1时 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命题显然成立 探究一 探究二 探究三 探究四 2 假设n k k N 且k 1 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由归纳假设 得上式中的两项均能被a2 a 1整除 故n k 1时命题成立 由 1 2 知 对n N 命题成立 点评证明整除性问题的关键是 凑项 而采用增项 减项 拆项 因式分解等手段 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题得证 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练2求证 对任意正整数n 34n 2 52n 1能被14整除 证明 1 当n 1时 34n 2 52n 1 36 53 854 14 61 能被14整除 命题成立 2 假设当n k时命题成立 即34k 2 52k 1能被14整除 那么当n k 1时 34 k 1 2 52 k 1 1 34k 2 34 52k 1 52 34k 2 34 52k 1 34 52k 1 34 52k 1 52 34 34k 2 52k 1 52k 1 34 52 34 34k 2 52k 1 56 52k 1 因为34k 2 52k 1能被14整除 56也能被14整除 所以34 k 1 2 52 k 1 1能被14整除 故命题成立 由 1 2 知 命题对任意正整数n都成立 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三用数学归纳法证明几何问题对于几何问题的证明 可以先从有限情形中归纳出一个变化的过程 或者说体会出是怎样变化的 然后再去证明 也可以用 递推 的方法来证明 证明的关键是寻找f k 1 与f k 之间的递推关系 基本策略是 往后退 从f k 1 中将f k 分离出来 典型例题3平面内有n个圆 任意两个圆都相交于两点 任意三个圆不相交于同一点 求证 这n个圆将平面分成f n n2 n 2个部分 n N 思路分析 因为f n 为n个圆把平面分割成的区域数 那么再有一个圆和这n个圆相交 就有2n个交点 这些交点将增加的这个圆分成2n段弧 且每一段弧又将原来的平面区域一分为二 因此 增加一个圆后 平面分成的区域数增加2n个 即f n 1 f n 2n 有了上述关系 数学归纳法的第二步证明可迎刃而解 探究一 探究二 探究三 探究四 证明 1 当n 1时 一个圆将平面分成两个部分 且f 1 1 1 2 2 所以n 1时命题成立 2 假设当n k k N 且k 1 时命题成立 即k个圆把平面分成f k k2 k 2个部分 则当n k 1时 在k 1个圆中任取一个圆O 剩下的k个圆将平面分成f k 个部分 而圆O与k个圆有2k个交点 这2k个点将圆O分成2k段弧 每段弧将原平面一分为二 故得f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 所以当n k 1时 命题成立 综合 1 2 可知 对一切n N 命题成立 点评证明几何问题的难点是找出由f k 到f k 1 增加了几个量 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 1234 1 下列代数式中 n N 则可能被13整除的是 A n3 5nB 34n 1 52n 1C 62n 1 1D 42n 1 3n 2解析 当n 1时 只有D项能被13整除 答案 D 1234 2 凸n边形有f n 条对角线 则凸 n 1 边形的对角线的条数f n 1 为 A f n n 1B f n nC f n n 1D f n n 2解析 从凸n边形到凸 n 1 边形 对角线增加了 n 1 条 答案 C 1234 1234 1234