高中数学 2.2.1等差数列的概念及通项公式课件 苏教版必修5.ppt

2 2 1等差数列的概念及通项公式 栏目链接 情景导入 相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1 2 3 100的故事 不过 这很可能是一个不真实的传说 据对高斯素有研究的数学史家E T 贝尔 E T Bell 考证 高斯的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题 81297 81495 81693 100899 当布特纳刚写完这道题时 高斯也算完了 并把答案写在了小石板上 你知道高斯是如何计算的吗 栏目链接 课标点击 栏目链接 1 理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式 并能运用公式解决一些简单的问题 2 掌握等差数列的常用性质 并能灵活地运用这些性质 使解题过程简捷准确 栏目链接 要点导航 知识点1等差数列 栏目链接 如果一个数列从第二项起 每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 应当注意的是 1 在定义中 之所以说 从第2项起 首先是因为首项没有 前一项 其次是如果一个数列 不是从第2项起 而是从第3项起 每一项与它的前一项的差是同一个常数 an 1 an d n N 且n 2 那么这个数列不是等差数列 但可以说这个数列从第2项起 即去掉第1项后 是一个等差数列 例如 数列1 4 5 6 7 8 9 10就不是等差数列 而去掉第1项后 剩下的数组成的数列就是等差数列 栏目链接 2 如果一个数列 从第2项起 每一项与它的前一项的差都是常数 那么这个数列不一定是等差数列 因为这个常数可能不唯一 3 一个等差数列的公差d是这个数列的后一项与前一项的差 因为等差数列具有d an 1 an an an 1 a2 a1的特点 所以求公差可以用an 1 an 也可以用an an 1 还可以用a2 a1等 公差d可以是任何实数 当d 0时 数列是常数列 当d 0时 数列为递增数列 当d 0时 数列为递减数列 4 等差数列的定义还可表述为 在数列 an 中 若an 1 an d n N d为常数 则 an 是等差数列 常数d为公差 知识点2等差数列的判定方法 栏目链接 1 an 1 an d 常数 an 是等差数列 2 2an 1 an an 2 n N an 是等差数列 3 an kn b k b为常数 an 是等差数列 知识点3等差数列的常用性质 栏目链接 栏目链接 6 an 是有穷等差数列 则与首末两项等距离的两项之和都相等 且等于首末两项之和 即a1 an a2 an 1 ai an i 1 7 下标成等差数列且公差为m的项ak ak m ak 2m k m N 组成公差为md的等差数列 8 若 bn 为等差数列 则 an bn kan bn k b为非零常数 也是等差数列 知识点4解答等差数列有关问题时应注意的问题 栏目链接 1 首项与公差 是解决等差数列问题的关键 2 等差数列的通项公式涉及4个量a1 an n d 知道任意三个就可以列方程求另外一个 3 熟练掌握并灵活运用定义 通项公式是解决等差数列问题的基础 4 寻求条件与结论的共用式以便进行整体代换 使运算更为迅速和准确 5 学会运用函数的思想和方法解题 栏目链接 典例解析 题型1等差数列定义及其应用 栏目链接 例1在等差数列中 am n an m m n 则am n为 A m nB 0C m2D n2分析 a1 d是等差数列的基本元素 可先求出基本元素 再用它们去构成其他元素进行解答 或利用数列是特殊的函数这一点进行求解 或利用选择题的特点进行求解 栏目链接 栏目链接 栏目链接 题型2利用 对称值 解题 栏目链接 例2等差数列 an 中 已知a2 a3 a10 a11 36 求a5 a8 分析 利用等差数列的性质求解 或整体考虑问题 求出2a1 11d的值 解析 方法一根据题意 有 a1 d a1 2d a1 9d a1 10d 36 4a1 22d 36 故2a1 11d 18 而a5 a8 a1 4d a1 7d 2a1 11d 因此 a5 a8 18 方法二根据等差数列性质 可得a5 a8 a3 a10 a2 a11 36 2 18 栏目链接 名师点评 方法一设出了a1 d但并没有求出a1 d 事实上也求不出来 这种 设而不求 的方法在数学中常用 它体现了整体的思想 方法二实际上运用了等差数列的性质 若p q m n p q m n N 则ap aq am an 栏目链接 变式迁移2 在等差数列 an 中 a4 a8 16 则a2 a10 B A 12B 16C 20D 24解析 4 8 2 10 根据等差数列性质 则a2 a10 a4 a8 16 题型3如何判断数列为等差数列 栏目链接 例3已知a b c成等差数列 那么a2 b c b2 c a c2 a b 是否成等差数列 分析 在a c 2b条件下 是否有以下结果 a2 b c c2 a b 2b2 a c 解析 a b c成等差数列 a c 2b a2 b c c2 a b 2b2 c a a2b a2c c2a c2b 2b2c 2b2a a2c c2a ab a 2b bc c 2b a2c c2a 2abc ac a c 2b 0 栏目链接 a2 b c c2 a b 2b2 c a a2 b c b2 c a c2 a b 成等差数列 名师点评 如果a b c成等差数列 常转化成a c 2b的形式去运用 反之 如果求证a b c成等差数列 常改证a c 2b 有时应用概念解题 需要运用一些等值变形技巧 才能获得成功 栏目链接 变式迁移3 若 z x 2 4 x y y z 0 求证 x y z成等差数列 证明 z x 2 4 x y y z x z 2 2 2y x z 4y2 x z 2y 2 0 2y x z x y z成等差数列