高中数学 2.2.1椭圆的标准方程课件 新人教B版选修2-1.ppt

如何精确地设计 制作 建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢 生活中的椭圆 一 课题引入 太阳系 用一个平面去截一个圆锥面 当平面经过圆锥面的顶点时 可得到两条相交直线 当平面与圆锥面的轴垂直时 截线 平面与圆锥面的交线 是一个圆 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时 观察截线的变化情况 并思考 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线 这些曲线具有哪些几何特征 椭圆 双曲线 抛物线 圆锥曲线 椭圆及其标准方程 自然界处处存在着椭圆 我们如何用自己的双手画椭圆呢 1 绳长应当大于F1 F2之间的距离 2 由于绳长固定 所以M到两个定点的距离和固定 如何定义椭圆 圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆 椭圆的定义 平面上到两个定点的距离的和 2a 等于定长 大于 F1F2 的点的轨迹叫椭圆 定点F1 F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距 2c 椭圆定义的文字表述 椭圆定义的符号表述 1 改变两图钉之间的距离 使其与绳长相等 画出的图形还是椭圆吗 2 绳长能小于两图钉之间的距离吗 1 改变两图钉之间的距离 使其与绳长相等 画出的图形还是椭圆吗 2 绳长能小于两图钉之间的距离吗 结论 若 PF1 PF2 为定长 当动点 到定点F1 F2距离 PF1 PF2 满足 PF1 PF2 F1F2 时 P点的轨迹是椭圆 当动点 到定点F1 F2距离 PF1 PF2 满足 PF1 PF2 F1F2 时 P点的轨迹是一条线段 F1F2 当动点 到定点F1 F2距离PF1 PF2满足 PF1 PF2 F1F2 时 点没有轨迹 回忆圆标准方程推导步骤 提出了问题就要试着解决问题 怎么推导椭圆的标准方程呢 求动点轨迹方程的一般步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点M的坐标 2 写出适合条件P M 3 用坐标表示条件P M 列出方程 4 化方程为最简形式 坐标法 探讨建立平面直角坐标系的方案 方案一 原则 尽可能使方程的形式简单 运算简单 一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴 对称 简洁 x 设P x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距 F1F2 2c c 0 则F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 P与F1和F2的距离的和为固定值2a 2a 2c 问题 下面怎样化简 由椭圆的定义得 由于 得方程 O x y F1 F2 M c 0 c 0 x y 整理 得 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 2a 2c 0 即a c 0 a2 c2 0 a b 0 两边同除以a2 a2 c2 得 P 那么 式 如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点 你能在图中找出表示a c 的线段吗 则方程可化为 观察左图 你能从中找出表示c a的线段吗 即 a2 c2有什么几何意义 刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢 问题 下面怎样化简 由椭圆的定义得 由于 得方程 只需将x y交换位置即得椭圆的标准方程 如果以椭圆的焦点所在直线为y轴 且F1 F2的坐标分别为 0 c 和 0 c a b的含义都不变 那么椭圆又有怎样的标准方程呢 思考 反思 焦点在x轴上的标准方程 焦点在y轴上的标准方程 1 焦点在x轴的椭圆 x2项分母较大 2 焦点在y轴的椭圆 y2项分母较大 方程特点 2 在椭圆两种标准方程中 总有a b 0 4 a b c都有特定的意义 a 椭圆上任意一点P到F1 F2距离和的一半 c 半焦距 有关系式成立 椭圆的标准方程 3 焦点在大分母变量所对应的那个轴上 1 方程的左边是两项平方和的形式 等号的右边是1 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹 再认识 则a b 则a b 5 3 口答下列各题并找到每个椭圆的焦点 则a b 则a b 3 5 3 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 a 3 b 1焦点在x轴上 2 a 3 b 1焦点在y轴上 3 a 3 b 1 当焦点在x轴上时 当焦点在y轴上时 在x轴 3 0 和 3 0 在y轴 0 5 和 0 5 在y轴 0 1 和 0 1 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那个轴上 1 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上 写出焦点坐标 练习2 已知椭圆的方程为 请填空 1 a b c 焦点坐标为 焦距等于 2 若C为椭圆上一点 F1 F2分别为椭圆的左 右焦点 并且CF1 2 则CF2 5 4 3 6 3 0 3 0 8 K 3或K 5 例3 如图 在圆上任取一点P作x轴的垂线段PD D为垂足 当点P在圆上运动时 线段PD的中点M的轨迹是什么 为什么 解 设点M坐标为M x y 点P的坐标为P x y 则 由题意可得 因为 所以 即 这就是点M的轨迹方程 它表示一个椭圆 相关点分析法 即利用中间变量求曲线方程 单圆法画椭圆 gsp 思考 方程何时表示椭圆 答 A 0 B 0且A不等于B表示椭圆 答 A 0 B 0且B A表示焦点在y轴的椭圆 答 A 0 B 0且A B表示焦点在x轴的椭圆 例4 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 求它的标准方程 解法一 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以 又因为 所以 因此 所求椭圆的标准方程为 例4 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 求它的标准方程 解法二 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 联立 解得a2 10 b2 6 因此 所求椭圆的标准方程为 三 回顾小结 求椭圆标准方程的方法 求美意识 求简意识 前瞻意识 已知椭圆有这样的光学性质 从椭圆的一个焦点出发的光线 经椭圆反射后 反射光线经过椭圆的另一个焦点 今有一个水平放置的台球盘 点A B是它的两个焦点 焦距是2c 椭圆上的点到A B的距离的和为2a 当静放在A的小球 半径不计 沿直线出发 经椭圆壁反弹后再回到点A时 求小球经过的路程 探索