高中数学 2.1.4第1课时函数的奇偶性的定义课件 新人教B版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教B版 必修1 函数 第二章 2 1函数 第二章 2 1 4函数的奇偶性 第1课时函数的奇偶性的定义 大自然是一个真正的设计师 它用对称的方法创造了千百万种不同的生命 被誉为 上海之鸟 的浦东国际机场的设计模型 是一只硕大无比 展开双翅的海鸥 它的两翼呈对称状 看上去舒展优美 它象征着浦东将展翅高飞 飞向更高 更广阔的天地 创造更新 更宏伟的业绩 一些函数的图象也有着如此美妙的对称性 那么这种对称性体现了函数的什么性质呢 1 设函数y f x 的定义域为D 如果对于D内的任意一个x 都有 x D 且f x f x 则这个函数叫做 2 设函数y g x 的定义域为D 如果对于D内的任意一个x 都有 x D 且g x g x 则这个函数叫做 3 当函数f x 是奇函数或偶函数时 称函数具有 4 奇函数的图象关于 对称 偶函数的图象关于 对称 奇函数 偶函数 奇偶性 原点 y轴 答案 D 2 对于定义域是R的任意奇函数f x 都有 A f x f x 0B f x f x 0C f x f x 0D f x f x 0 答案 C 解析 f x 为奇函数 f x f x f x f x f x f x f x 2 0 3 2014 2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试 函数f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x 1 则当x0 f x x 1 x 1 又 f x 为奇函数 f x f x x 1 x 0时 f x x 1 答案 2 5 已知y f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 则f x 在R上的解析式为 判断下列函数是否具有奇偶性 函数奇偶性的判断 分析 判断函数的奇偶性要先求定义域 再寻找f x 与f x 的关系 解析 1 函数f x 的定义域为R 又 f x 2 x 4 3 x 2 2x4 3x2 f x 函数f x 2x4 3x2是偶函数 点评 判断函数的奇偶性 首先 要求出函数的定义域 判断定义域是否关于原点对称 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性必须具备的一个条件 否则 函数不具有奇偶性 分析 判断分段函数的奇偶性 要注意x与 x是在不同的 段 中 则f x 与f x 是不同的关系式 分段函数奇偶性的判定 点评 1 判断分段函数的奇偶性 必须分段考虑 2 若分段函数是奇函数或偶函数 常用含绝对值符号的函数表达式来表示 解析 函数f x 的定义域为R 关于原点对称 当x 0时 x0 f x x 2 2 x2 2 x2 2 f x 当x 0时 f 0 0 即x 0时 f x f x 综上所述 x R 有f x f x 故该函数为奇函数 若f x 是定义在R上的奇函数 当x0时 f x 的解析式的求解 转化到x 0上 利用奇 偶 函数图象的对称特征 求关于原点对称的区间上的解析式 解析 当x 0时 x 0 当x 0时 f x x 1 x f x x 1 x 又f x 为奇函数 f x f x f x x 1 x f x x 1 x 又f 0 f 0 f 0 f 0 0 当x 0时 f x x 1 x 点评 如果f x 是奇函数 且f x 在x 0处有定义 则必有f 0 0 这是因为 若f x 为奇函数 则对定义域内的任意数x 都有f x f x 0 当x 0时 有f 0 f 0 0 f 0 0 2014 2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试 已知函数f x 是R上的奇函数 当x 0时 f x 2x 1 则函数f x 的解析式为 已知函数y f x x R 若对于任意实数a b都有f a b f a f b 求证 f x 为奇函数 分析 因为对于任意实数a b都有f a b f a f b 可以先令a b为某些特殊值 从而得出f x f x 证明 令a 0 则f b f 0 f b f 0 0 再令a x b x 则f 0 f x f x f x f x 且定义域x R关于原点对称 f x 是奇函数 抽象函数奇偶性的证明 已知函数y f x x R 若对于任意实数x1 x2 都有f x1 x2 f x1 x2 2f x1 f x2 求证 f x 为偶函数 证明 令x1 0 x2 x 得f x f x 2f 0 f x 令x1 x x2 0 得f x f x 2f 0 f x 由 得 f x f x 且定义域x R关于原点对称 函数f x 为偶函数 正解 函数f x 的定义域为 x x 1 不关于原点对称 f x 既不是奇函数也不是偶函数 1 判断函数奇偶性的方法 1 定义法首先判断函数的定义域是否关于坐标原点对称 若关于坐标原点不对称 则可以直接判断该函数既不是奇函数也不是偶函数 若关于坐标原点对称 再判断f x 是否等于 f x 或判断f x f x 是否等于零 2 图象法f x 是奇 偶 函数的充要条件是f x 的图象关于坐标原点 y轴 对称 3 性质法 偶函数的和 差 积 商 分母不为零 仍为偶函数 奇函数的和 差仍为奇函数 奇 偶 数个奇函数的积 商 分母不为零 为奇 偶 函数 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 4 抽象函数奇偶性的判断 明确目标 判断f x 与f x 的关系 用赋值法在已知抽象关系中凑出f x 与f x 用赋值法求特殊函数值 注意事项 根据 x所属区间进行分类讨论 但书写时一般先写相应x的所属区间 f x 与f x 需用不同分段上的解析式 因为 x与x所属区间不同 定义域内的x值应讨论全面 不能遗漏 2 巧用奇 偶函数的图象特征由于偶函数的图象关于y轴对称 奇函数的图象关于原点对称 因而在研究这类函数的性质时 只需通过研究函数在 0 或 0 上的情形 便可推断出函数在整个定义域上的情形 奇函数f x 的定义域是 2 2 且其图象的一部分如图所示 则不等式f x 0的解集是 解析 由于f x 是奇函数 所以f x 的图象关于原点对称 补全其图象 如图所示 从图上可以看出f x 0的解集是 1 0 1 2 答案 1 0 1 2