高中数学 2.1从平面向量到空间向量课件 北师大版选修2-1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 空间向量与立体几何 第二章 向量 或矢量 最初被应用于物理学 很多物理量如力 速度 位移以及电场强度 磁感应强度等都是向量 向量 一词来自力学 解析几何中的有向线段 最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿 从数学发展史来看 历史上很长一段时间 空间的向量结构并未被数学家们所认识 直到19世纪末20世纪初 人们才把空间的性质与向量运算联系起来 使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系 18世纪末 挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a bi 并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算 把坐标平面上的点用向量表示出来 并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题 人们逐步接受了复数 也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量 向量就这样进入了数学 但复数的利用是受限制的 因为它仅能用于表示平面 若有不在同一平面上的力作用于同一物体 则需要寻找所谓三维 复数 以及相应的运算体系 19世纪中期 英国数学家哈密尔顿发明了四元数 包括数量部分和向量部分 以代表空间的向量 他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础 随后 电磁理论的发现者 英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理 从而创造了大量的向量分析 三维向量分析的开创 以及同四元数的正式分裂 是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的 他们提出 一个向量不过是四元数的向量部分 但不独立于任何四元数 他们引进了两种类型的乘法 即数量积和向量积 并把向量代数推广到变向量的向量微积分 从此 向量的方法被引进到分析和解析几何中来 并逐步完善 成为了一套优良的数学工具 链接生活 2 1从平面向量到空间向量 第二章 1 空间向量的概念向量是既有大小又有方向的量 如果把问题的研究范围限定在同一个平面上 称之为平面向量 如果把问题的研究范围扩大到空间中 称之为空间向量 即空间中 的量叫作空间向量 既有大小又有方向 大小 0 a b 0或 5 向量与平面 1 平面的法向量 如果直线l垂直于平面 那么把 叫作平面 的法向量 2 共面向量 在空间中 如果 则称这个向量平行于该平面 平行于同一平面的一组向量叫作共面向量 不共面向量 不平行于同一平面的一组向量叫作不共面向量 直线l的方向向量a 一个向量所在直线平行于一个平面 1 空间向量是平面向量概念的拓展 只有大小和方向两个要素 用有向线段表示向量时 它的起点可以是空间内的任意一点 只要保证它的大小和方向不改变 它是可以自由平移的 与起点无关 2 空间中的所有向量的方向不都是一定的 例如零向量的方向就不确定 可以认为是任意方向 3 与向量a相反的向量是一个向量 它的方向和a的方向相反 大小和a的大小相等 与向量a相等的向量 它的方向和a的方向相同 大小和a的大小相等 1 若空间向量a与向量b不相等 则a与b一定 A 有不同的方向B 有不相等的模C 不可能是平行向量D 不可能都是零向量 答案 D 解析 a b不相等 可能方向不同 也可能模不相等 所以A B C都不正确 只有D正确 4 直线的方向向量与直线上任意一向量的夹角是 答案 0 或180 解析 由直线的方向向量的定义易得 向量的有关概念 总结反思 本题重点考查了空间向量的相关概念 解决此类题往往借助实例和举反例的方法求解 因此 又考查了数形结合思想 特殊与一般的思想 如图 已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直 点H M G分别为线段EF AD BC的中点 分析 两个空间向量相等是指它们的模相等且方向相同 向量的方向是否相同要看箭头方向是否一致 两空间向量平行与否与向量的方向无关 向量的夹角 对于平行四边形ABDC 图中的五个向量中各个向量之间的关系如何 在图中画出平行四边形ABDC的一个法向量 分析 分析图中五个向量的关系 要看它们是否相等 相反或平行 作平面的法向量 只要作向量b 使之垂直于平面内两个相交向量即可 法向量 方向向量 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 1 分别给出直线AA1 BD的一个方向向量 2 分别给出平面ADD1A1 平面BB1D1D的一个法向量 误解 A 或B或D 正解 C 总结反思 在选项A中 若b 0 则结论不成立 在选项B中 向量共面与直线共面的不同点在于三个向量中的一个向量所在直线与另两个向量所在平面平行时 三个向量所在的直线虽然不共面 但这三个向量是共面的 选项D中 若a b 0时 有无数个 满足等式 而不是唯一一个 若b 0 a 0 则不存在 使a B