高中数学 2.1.4 函数的奇偶性课件1 新人教B版必修1.ppt

函数的奇偶性 学习目标 1 理解函数奇偶性的定义 掌握用定义判断和证明函数的奇偶性 2 探究并归纳函数奇偶性的判断及其他们的图像特征 3 激情投入 高效学习 体会特殊性与一般性的关系 y x2 x x 当x1 1 x2 1时 f 1 f 1 当x1 2 x2 2时 f 2 f 2 对任意x f x f x 函数图像关于y轴对称 这样的函数我们称之为偶函数 函数图像关于原点对称 这样的函数我们称之为奇函数 如何用数学语言表述函数图象关于y轴和原点对称呢 偶函数定义 如果对于函数 x 定义域内的任意一个x 都有 x x 成立 则称函数 x 为偶函数 图象关于Y轴对称 奇函数定义 如果对于函数 x 定义域内的任意一个x 都有 x x 成立 则称函数 x 为奇函数 图象关于原点对称 函数的奇偶性 问题1 奇函数 偶函数的定义中有 任意 二字 说明函数的奇偶性是怎样的一个性质 与单调性有何区别 强调定义中 任意 二字 说明函数的奇偶性是在定义域上的一个整体性质 它不同于函数的单调性 问题2 x与x在几何上有何关系 具有奇偶性的函数的定义域有何特征 奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称 如果一个函数是奇函数 则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 反之 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 如果一个函数是偶函数 则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 反之 如果一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数是偶函数 2 奇函数与偶函数图象的对称性 对于定义在R上的函数f x 下列判断是否正确 若f 2 f 2 则函数f x 是偶函数 若f 2 f 2 则函数f x 不是偶函数 错 不满足任意性 对 例1 判断下列函数奇偶性 该函数是偶函数 该函数是奇函数 该函数是非奇非偶函数 该函数是非奇非偶函数 定义域不关于原点对称的函数都是非奇非偶函数 1 判断下列函数的奇偶性 练习 该函数是奇函数 该函数是偶函数 该函数是非奇非偶函数 该函数是偶函数 4 7 8 偶 2 判断下列函数的是否具有奇偶性 1 f x x x3 2 f x x2 3 h x x3 1 非奇非偶 5 f x x 1 x 1 6 g x x x 1 奇 练习 非奇非偶 偶 奇 偶 非奇非偶 3 判断下列论断是否正确 错 对 错 对 练习 1 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称 则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数 2 如果一个函数为偶函数 则它的定义域关于坐标原点对称 3 如果一个函数定义域关于坐标原点对称 则这个函数为偶函数 4 如果一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数为偶函数 5 如果函数f x g x 为定义域相同的偶函数 试问F x f x g x 是不是偶函数 是不是奇函数 为什么 4 如果f 0 a 0 函数f x 可以是奇函数吗 可以是偶函数吗 为什么 练习 不能为奇函数但可以是偶函数 是偶函数 6 如图 给出了奇函数y f x 的局部图象 求f 4 7 如图 给出了偶函数y f x 的局部图象 试比较f 1 与f 3 的大小 练习 例 已知函数f x 既是奇函数又是偶函数 求证 f x 0 证明 因为f x 既是奇函数又是偶函数所以f x f x 且f x f x 所以f x f x 所以2f x 0即f x 0 这样的函数有多少个呢 1 函数的奇偶性分类 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 既奇又偶函数2 既奇又偶函数的表达式为 f x 0 x A 定义域A是关于原点对称的非空数集 既奇又偶函数有无数多个 课堂小结 如果定义域关于原点对称 且对定义域内的任意一个x 练习1 若奇函数在原点有定义 则f 0 0 练习2 判断的奇偶性 定义域是 0 f x 0 是既奇又偶函数 奇偶函数的单调性 奇同偶异 例1已知函数y f x 在R上是奇函数 而且在 0 上是增函数 证明y f x 在 0 上也是增函数 答案 1 非奇非偶 定义域关于原点不对称 2 奇函数 小结 1 单调性 定义域某区间 是函数的局部性质奇偶性 整个定义域 是函数的整体性质2 判断奇偶性的步骤和方法 1 定义法 定义域是否关于原点对称 f x 与 f x 的关系 2 图像法 3 性质法 练习2 设f x 是奇函数 而且在 0 上是减函数 证f x 在 0 上是减函数 练习1 设f x 是偶函数 而且在 a b 上是减函数 证f x 在 b a 上是增函数 其中0 a b 作业 练习8 设f x 是偶函数 g x 是奇函数 且 求函数f x g x 的解析式