高中数学 2.1.1第1课时 归纳推理课件 新人教A版选修2-2.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教A版 选修2 2 推理与证明 第二章 同学们 你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗 你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗 你看过 福尔摩斯探案集 吗 你了解哥德巴赫猜想吗 你知道考古学家怎样推断遗址的年代 医生怎样诊断病人的疾病 警察怎样破案 气象专家怎样预测天气 数学家怎样论证命题的真伪吗 这一切都离不开推理 而证明的过程更离不开推理 本章我们将学习两种基本推理 合情推理与演绎推理 学习数学证明的基本方法 分析法 综合法 反证法等 要通过本章的学习养成言之有据 证明过程语言条理 逻辑规范的好习惯 2 1合情推理与演绎推理 第二章 2 1 1合情推理 第1课时归纳推理 1 理解合情推理的概念 掌握归纳推理的方法 2 掌握归纳法的步骤 体会归纳推理在数学发现中的作用 重点 合情推理 归纳推理概念的理解 难点 运用归纳推理进行一些简单的推理 在以前的数学学习中 我们曾经由三角形的内角和是180 凸四边形的内角和是360 2 180 凸五边形的内角和是540 3 180 归纳出结论 凸n n 3 n Z 边形的内角和是 n 2 180 这种猜想方法是否具有一般性 这样得出的结论是否一定是正确的 这种方法在认识发现中有何作用 归纳推理 思维导航 1 归纳推理由某类事物的 具有某些特征 推出该类事物的 都具有这些特征的推理 或者由 概括出 的推理 称为归纳推理 简称归纳 简言之 归纳推理是由 到 由 到 的推理 2 金导电 银导电 铜导电 铁导电 金 银 铜 铁都是金属 因此可猜想所有金属都导电 这种推理形式为 新知导学 部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 部分 整体 个别 一般 归纳推理 3 归纳推理是依据 现象 归纳推出 结论 所以归纳是立足于观察 经验或实验的基础上的 由归纳推理所得的结论未必是正确的 但它由特殊到一般 由具体到抽象的认识功能 对于科学的发现却是十分有用的 通过观察 实验 对有限的资料作归纳整理 提出带有规律性的说法 乃是科学研究的最基本的方法之一 特殊 一般 1 2015 北京东城区高二期末 观察下列事实 x y 1的不同整数解 x y 的个数为4 x y 2的不同整数解 x y 的个数为8 x y 3的不同整数解 x y 的个数为12 则 x y 20的不同整数解 x y 的个数为 A 76B 80C 86D 92 答案 B 牛刀小试 解析 记 x y n n N 的不同整数解 x y 的个数为f n 则依题意有f 1 4 4 1 f 2 8 4 2 f 3 12 4 3 由此可得f n 4n 所以 x y 20的不同整数解 x y 的个数为f 20 4 20 80 选B 点评 归纳出的结论不一定正确 本题结论的正确性证明如下 当x 0时 y 20 当x 1时 y 19 x 取遍1 19各整数时 共有19 4 76个 又x 20时 y 0 x y 20的不同整数解共有80个 2 如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形 照此规律闪烁 下一个呈现出来的图形是 答案 A 解析 由前三个图形呈现出来的规律可知 下一个图形可视作上一图形顺时针旋转144 得到的 故由第三个图形顺时针旋转144 得到的图形应为A 4 如图是由一些小正方体摞成的 第 1 堆有1个 第 2 堆有4个 第 3 堆有10个 则第n堆有 个小正方体 5 观察下列等式 13 23 1 2 2 13 23 33 1 2 3 2 13 23 33 43 1 2 3 4 2 根据上述规律 第四个等式为 答案 13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 解析 本小题主要考查抽象概括能力和推理能力 由前三个式子可得出如下规律 每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和 且个数依次加1 等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方 个数也依次加1 因此 第四个等式为13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 归纳推理在数 式 数列中的应用 解析 1 由已知有a1 3 22 1 a2 2a1 1 2 3 1 7 23 1 a3 2a2 1 2 7 1 15 24 1 a4 2a3 1 2 15 1 31 25 1 猜测出an 2n 1 1 n N n 2 方法规律总结 1 由数列的递推公式容易写出数列的前几项 观察数列的项与序号之间的关系 分析特点发现规律 猜想其通项公式 然后再给予证明是解答数列问题常用的方法 2 归纳推理的一般步骤 1 观察分析 发现规律 通过观察个别情况发现某些相同性质 2 猜想结论并检验 从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题 猜想 3 运用归纳推理解决问题的思维过程 实验 观察 概括 推广 猜测一般性结论 证明归纳的结论是否成立 4 分成两列数 奇数位的数为32 16 4 2 可见前面括号中应填入8 偶数位的数为31 26 16 11 括号中的数应填入21 所以两括号内依次填入8 21 点评 由已知数 式进行归纳推理的方法 1 要特别注意所给几个等式 或不等式 中项数和次数等方面的变化规律 2 要特别注意所给几个等式 或不等式 中结构形式的特征 3 提炼出等式 或不等式 的综合特点 4 运用归纳推理得出一般结论 归纳推理在图形中的应用 有两种花色的正六边形地面砖 按下图的规律拼成若干个图案 则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 A 26B 31C 32D 36 分析 数出前三个图案中有菱形纹的正六边形个数 注意分析规律 由此规律作出推断 方法规律总结 通过一组平面或空间图形的变化规律 研究其一般性结论 通常需形状问题数字化 展现数字之间的规律 特征 然后进行归纳推理 解答该类问题的一般策略是 如图 由火柴棒拼成的一列图形中 第n个图形中由n个正方形组成 通过观察可以发现 第5个图形中 火柴棒有 根 第n个图形中 火柴棒有 根 答案 163n 1 解析 数一数可知各图形中火柴的根数依次为 4 7 10 13 可见后一个图形比前一个图形多3根火柴 它们构成等差数列 故第五个图形中有火柴棒16根 第n个图形中有火柴棒 3n 1 根 分析 仔细观察 通过几何图形的结构特征 找出三者之间的关系 解析 各多面体的面数F 顶点数V 棱数E如下表所示 观察其数字特征 4 4 6 2 5 5 8 2 5 6 9 2 6 6 10 2 6 8 12 2 8 6 12 2 7 10 15 2 9 9 16 2 可以发现 它们的顶点数V 棱数E及面数F有共同的关系式 V F E 2 方法规律总结 归纳常常从观察开始 通过观察 实验 对有限的资料作归纳整理 提出带有规律性的猜想 是数学研究的基本方法之一 平面内有n条直线 其中任何两条都不平行 任何三条不过同一点 试归纳它们的交点个数f n 方法规律总结 归纳 推理 证明题的一般解题步骤 1 列举出几个特殊情形 条件中已给出的此步可省略 2 观察 分析所给特殊情形找出其共性 3 归纳猜想出一个一般性的结论 此结论应包含前面的特殊情况 4 对猜想的结论给出证明 警示 有关数列的归纳推理题一定要注意抓规律 特别是注意周期性