2019-2020年二年级数学 奥数讲座 找规律法.doc

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资源描述
2019-2020年二年级数学 奥数讲座 找规律法观察、搜集已知事实,从中发现具有规律性的线索,用以探索未知事件的奥秘,是人类智力活动的主要内容。数学上有很多材料可用以来模拟这种活动、培养学生这方面的能力。例1 观察数列的前面几项,找出规律,写出该数列的第100项来?12345,23451,34512,45123,解:为了寻找规律,再多写出几项出来,并给以编号:仔细观察,可发现该数列的第6项同第1项,第7项同第2项,第8项同第3项,也就是说该数列各项的出现具有周期性,他们是循环出现的,一个循环节包含5项。1005=20。可见第100项与第5项、第10项一样(项数都能被5整除),即第100项是51234。例2 把写上1到100这100个号码的牌子,像下面那样依次分发给四个人,你知道第73号牌子会落到谁的手里?解:仔细观察,你会发现:分给小明的牌子号码是1,5,9,13,号码除以4余1;分给小英的牌子号码是2,6,10,14,号码除以4余2;分给小方的牌子号码是3,7,11,号码除以4余3;分给小军的牌子号码是4,8,12,号码除以4余0(整除)。因此,试用4除73看看余几?734=18余 1可见73号牌会落到小明的手里。这就是运用了如下的规律:用这种规律预测第几号牌子发给谁,是很容易的,请同学们自己再试一试。例3 四个小动物换位,开始小鼠、小猴、小兔和小猫分别坐在1、2、3、4号位子上(如下图所示)。第一次它们上下两排换位,第二次左右换位,第三次又上下交换,第四次左右交换。这样一直交换下去,问十次换位后,小兔坐在第几号座位上?解:为了能找出变化规律,再接着写出几次换位情况,见下图。盯住小兔的位置进行观察:第一次换位后,它到了第1号位;第二次换位后,它到了第2号位;第三次换位后,它到了第4号位;第四次换位后,它到了第3号位;第五次换位后,它又到了第1号位;可以发现,每经过四次换位后,小兔又回到了原来的位置,利用这个规律以及104=2余2,可知:第十次换位后,小兔的座位同第二次换位后的位置一样,即在第二号位。如果再仔细地把换位图连续起来研究研究,可以发现,随着一次次地交换,小兔的座位按顺时针旋转,小鼠的座位按逆时针旋转,小猴的座位按顺时针旋转,小猫的座位按逆时针旋转,按这个规律也可以预测任何小动物在交换几次后的座位。例4 从1开始,每隔两个数写出一个数,得到一列数,求这列数的第100个数是多少?1,4,7,10,13,解:不难看出,这是一个等差数列,它的后一项都比相邻的前一项大3,即公差=3,还可以发现:第2项等于第1项加1个公差即4=1+13。第3项等于第1项加2个公差即7=1+23。第4项等于第1项加3个公差即10=1+33。第5项等于第1项加4个公差即13=1+43。可见第n项等于第1项加(n-1)个公差,即按这个规律,可求出:第100项=1+(100-1)3=1+993=298。例5 画图游戏先画第一代,一个,再画第二代,在下面画出两条线段,在一条线段的末端又画一个,在另一条的末端画一个;画第三代,在第二代的下面又画出两条线段,一条末端画,另一条末端画;而在第二代的的下面画一条线,线的末端再画一个;一直照此画下去(见下图),问第十次的和共有多少个?解:按着画图规则继续画出几代,以便于观察,以期从中找出图形的生成规律,见下图。数一数,各代的图形(包括和)的个数列成下表:可以发现各代图形个数组成一个数列,这个数列的生成规律是,从第三项起每一项都是前面两项之和。按此规律接着把数列写下去,可得出第十代的和共有89个(见下表):这就是著名的裴波那契数列。裴波那契是意大利的数学家,他生活在距今大约七百多年以前的时代。例6 如下图所示,5个大小不等的中心有孔的圆盘,按大的在下、小的在上的次序套在木桩上构成了一座圆盘塔。现在要把这座圆盘塔移到另一个木桩上。规定移动时要遵守一个条件,每搬一次只许拿一个圆盘而且任何时候大圆盘都不能压住小圆盘。假如还有第三个木桩可作临时存放圆盘之用。问把这5个圆盘全部移到另一个木桩上至少需要搬动多少次?(下图所示)解:先从最简单情形试起。当仅有一个圆盘时,显然只需搬动一次(见下页图)。当有两个圆盘时,只需搬动3次(见下图)。当有三个圆盘时,需要搬动7次(见下页图)。总结,找规律:当仅有一个圆盘时,只需搬1次。当有两个圆盘,上面的小圆盘先要搬到临时桩上,等大圆盘搬到中间桩后,小圆盘还得再搬回来到大圆盘上。所以小的要搬两次,下面的大盘要搬1次。这样搬到两个圆盘需3次。当有三个圆盘时,必须先要把上面的两个小的圆盘搬到临时桩上,见上图中的(1)(3)。由前面可知,这需要搬动3次。然后把最下层的最大圆盘搬一次到中间桩上,见图(4),之后再把上面的两个搬到中间桩上,这又需搬3次,见图中(5)(7)。所以共搬动23+1=7次。推论,当有4个圆盘时,就需要先把上面的3个圆盘搬到临时桩上,需要7次,然后把下面的大圆盘搬到中间桩上(1次),之后再把临时桩上的3个圆盘搬到中间桩上,这又需要7次,所以共需搬动27+1=15次。可见当有5个圆盘时,要把它按规定搬到中间桩上去共需要:215+1=31次。这样也可以写出一个一般的公式(叫递推公式)对于有更多圆盘的情况可由这个公式算出来。进一步进行考察,并联想到另一个数列:若把n个圆盘搬动的次数写成an,把两个表对照后,可得出 有了这个公式后直接把圆盘数代入计算就行了,不必再像前一个公式那样进行递推了。附送:2019-2020年二年级数学 奥数讲座 找规律(一)例1 观察下面由点组成的图形(点群),请回答:(1)方框内的点群包含多少个点?(2)第(10)个点群中包含多少个点?(3)前十个点群中,所有点的总数是多少?解:数一数可知:前四个点群中包含的点数分别是:1,4,7,10。可见,这是一个等差数列,在每相邻的两个数中,后一个数都比前一个数大3(即公差是3)。(1)因为方框内应是第(5)个点群,它的点数应该是10+3=13(个)。(2)列表,依次写出各点群的点数,可知第(10)个点群包含有28个点。(3)前十个点群,所有点的总数是:1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145(个)例2 图62表示“宝塔”,它们的层数不同,但都是由一样大的小三角形摆成的。仔细观察后,请你回答:(1)五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形?(2)整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形?(3) 从第(1)到第(10)的十个“宝塔”,共包含多少个小三角形?解:(1)数一数“宝塔”每层包含的小三角形数:可见1,3,5,7是个奇数列,所以由这个规律猜出第五层应包含的小三角形是9个。(2)整个五层塔共包含的小三角形个数是:1+3+5+7+9=25(个)。(3)每个“宝塔”所包含的小三角形数可列表如下:由此发现从第(1)到第(10)共十个“宝塔”所包含的小三角形数是从1开始的自然数平方数列前十项之和:例3 下面的图形表示由一些方砖堆起来的“宝塔”。仔细观察后,请你回答:(1)从上往下数,第五层包含几块砖?(2)整个五层的“宝塔”共包含多少块砖?(3)若另有一座这样的十层宝塔,共包含多少块砖?解:(1)数一数,“宝塔”每层包含的方砖块数:可见各层的方砖块数组成自然数平方数列,按此规律,第五层应包含的方砖块数是:55=25(块)。(2)整个五层“宝塔”共包含的方砖块数应是从1开始的前五个自然数的平方数相加之和,即:1+4+9+16+25=55(块)。(3)根据上面得到的规律,可求出十层宝塔所包含的方砖的块数:
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