江苏省无锡地区中考数学选择填空压轴题 专题5 三角形综合问题.doc

专题05 三角形综合问题例1如图所示，矩形ABCD中，AB4，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A2个 B3个 C4个 D5个同类题型1.1 如图，在钝角ABC中，分别以AB和AC为斜边向ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF下列结论：EMDN；S四边形ABDN；DEDF；DEDF其中正确的结论的个数是（）A1个 B2个 C3个 D4个同类题型1.2 如图，D，E分别是ABC的边BC，AC上的点，若BC，ADEAED，则（）A当B为定值时，CDE为定值 B当1为定值时，CDE为定值 C当2为定值时，CDE为定值 D当3为定值时，CDE为定值同类题型1.3 如图，在ABC中，BAC120，点D、E都在边BC上，DAE60若BD2CE，则DE的长为_例2如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ABBC，E为AB边上一点，BCE15，且AEAD连接DE交对角线AC于H，连接BH下列结论：ACDACE；CDE为等边三角形；EH2EB；其中正确的结论是_同类题型2.1 如图所示，已知：点A（0，0），0），C（0，1）在ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，则第n个等边三角形的边长等于_同类题型2.2 如图，点P在等边ABC的内部，且PC6，PA8，PB10，将线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC，连接AP，则sinPAP的值为_例3如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作ODAC于D下列四个结论：A；以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；EF是ABC的中位线；设ODm，AEAFn，则mn其中正确的结论是（）A B C D同类题型3.1 如图所示，四边形ABCD中，DCAB，BC1，ABACAD2则BD的长为（）A B C D同类题型3.2 如图，在RtABC中，BC2，BAC30，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：若C、O两点关于AB对称，则；C、O两点距离的最大值为4；若AB平分CO，则ABCO；斜边AB的中点D运动路径的长为；其中正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上）同类题型3.3 如图，直角ABC中，B30，点O是ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EFAB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（）A B C D例4如图，在ABC中，4AB5AC，AD为ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EFAD于点F，点G在AF上，FGFD，连接EG交AC于点H若点H是AC的中点，则的值为_同类题型4.1 如图，已知是ABC的中线，过点作AC交BC于点，连接交于点；过点作AC交BC于点，连接交于点；过点作AC交BC于点，如此继续，可以依次得到点，和点，则_AC同类题型4.2 如图，过锐角ABC的顶点A作DEBC，AB恰好平分DAC，AF平分EAC交BC的延长线于点F在AF上取点M，使得AF，连接CM并延长交直线DE于点H若AC2，AMH的面积是，则的值是_例5 如图，ABC的面积为S点，是边BC的n等分点（n3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且，连接，连接NB，线段与NB相交于点，线段与相交于点，线段与相交于点，线段与相交于点，则，的面积和是 _（用含有S与n的式子表示）同类题型5.1如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A，且BC3，则AM的长是（）A1.5 B2 C2.25 D2.5同类题型5.2 如图，ABC中，BAC90，AB3，AC4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连CE，则线段CE的长等于（）A2 B C D同类题型5.3 如图，在RtABC中，A90，ABAC，1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B始终落在边AC上，若MBC为直角三角形，则BM的长为_同类题型5.4 如图，在矩形ABCD中，B的平分线BE与AD交于点E，BED的平分线EF与DC交于点F，若AB9，DF2FC，则BC_（结果保留根号）参考答案例1如图所示，矩形ABCD中，AB4，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A2个 B3个 C4个 D5个解：BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点选C同类题型1.1 如图，在钝角ABC中，分别以AB和AC为斜边向ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF下列结论：EMDN；S四边形ABDN；DEDF；DEDF其中正确的结论的个数是（）A1个 B2个 C3个 D4个解：D是BC中点，N是AC中点，DN是ABC的中位线，DNAB，且AB；三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分AEB交AB于点M，M是AB的中点，AB，又AB，EMDN，结论正确；DNAB，CDNABC，AB，S_(四边形ABDN)，结论正确；如图1，连接MD、FN，D是BC中点，M是AB中点，DM是ABC的中位线，DMAC，且AC；三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，AC，又AC，DMFN，DMAC，DNAB，四边形AMDN是平行四边形，AMDAND，又EMAFNA90，EMDDNF，在EMD和DNF中，EMDDNF，DEDF，结论正确；如图2，连接MD，EF，NF，三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分AEB，M是AB的中点，EMAB，EMMA，EMA90，AEMEAM45，D是BC中点，M是AB中点，DM是ABC的中位线，DMAC，且AC；三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，AC，FNA90，FANAFN45，又AC，FA，EMDEMAAMD90AMD，EAF360EAMFANBAC3604545（180AMD）90AMDEMDEAF，在EMD和EAF中，EMDEAF，MEDAEF，MEDAED45，AEDAEF45，即DEF45，又DEDF，DFE45，EDF180454590，DEDF，结论正确正确的结论有4个：选D同类题型1.2 如图，D，E分别是ABC的边BC，AC上的点，若BC，ADEAED，则（）A当B为定值时，CDE为定值 B当1为定值时，CDE为定值 C当2为定值时，CDE为定值 D当3为定值时，CDE为定值解：在CDE中，由三角形的外角性质得，AEDCDEC，在ABD中，由三角形的外角性质得，B1ADCADECDE，BC，ADEAED，B1CDECCDE2CDEB，12CDE，当1为定值时，CDE为定值选B同类题型1.3 如图，在ABC中，BAC120，点D、E都在边BC上，DAE60若BD2CE，则DE的长为_解：将ABD绕点A逆时针旋转120得到ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示，BAC120，ACBBACF30，ECG60CFBD2CE，CGCE，CEG为等边三角形，EGCGFG，CGE30，CEF为直角三角形BAC120，DAE60，BADCAE60，FAEFACCAEBADCAE60在ADE和AFE中，ADEAFE（SAS），DEFE设ECx，则BDCD2x，DEFE63x，在RtCEF中，CEF90，CF2x，ECx，x，x，3例2如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ABBC，E为AB边上一点，BCE15，且AEAD连接DE交对角线AC于H，连接BH下列结论：ACDACE；CDE为等边三角形；EH2EB；其中正确的结论是_解：ABC90，ABBC，BACACB45，又BAD90，BACDAC，在ACD和ACE中，ACDACE（SAS）；故正确；同理AED45，BEC90BCE901575，DEC60，ACDACE，CDCE，CDE为等边三角形故正确CHE为直角三角形，且HEC60EC2EHECB15，EC4EB，EH2EB；故错误AEAD，CECD，点A与C在DE的垂直平分线上，AC是DE的垂直平分线，即ACDE，CECH，CDCE，CDCH，BAC45，AHEH，故错误答案为：同类题型2.1 如图所示，已知：点A（0，0），0），C（0，1）在ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，则第n个等边三角形的边长等于_解：，OC1，BC2，OBC30，OCB60而为等边三角形，60，30，则O90在中，同理得：，依此类推，第n个等边三角形的边长等于同类题型2.2 如图，点P在等边ABC的内部，且PC6，PA8，PB10，将线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC，连接AP，则sinPAP的值为_解：连接PP，如图，线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC，CPCP6，PCP60，CPP为等边三角形，PPPC6，ABC为等边三角形，CBCA，ACB60，PCBPCA，在PCB和PCA中，PCBPCA，PBPA10，APP为直角三角形，APP90，同类题型2.4例3如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作ODAC于D下列四个结论：A；以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；EF是ABC的中位线；设ODm，AEAFn，则mn其中正确的结论是（）A B C D解：在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，ABC，ACB，AABCACB180，A，A；故正确；过点O作OMAB于M，作ONBC于N，连接OA，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，ONODOMm，mn；故正确；在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，EBOOBC，FCOOCB，EFBC，EOBOBC，FOCOCB，EBOEOB，FOCFCO，EBEO，FOFC，EFEOFOBECF，以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故正确，根据已知不能推出E、F分别是AB、AC的中点，故正确，其中正确的结论是选D同类题型3.1 如图所示，四边形ABCD中，DCAB，BC1，ABACAD2则BD的长为（）A B C D解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交A于F，连接DFDCAB，DFCB1，BF224，FB是A的直径，FDB90，选B同类题型3.2 如图，在RtABC中，BC2，BAC30，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：若C、O两点关于AB对称，则；C、O两点距离的最大值为4；若AB平分CO，则ABCO；斜边AB的中点D运动路径的长为；其中正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上）解：在RtABC中，BC2，BAC30，AB4，若C、O两点关于AB对称，如图1，AB是OC的垂直平分线，则；所以正确；如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，AOBACB90，AB2，当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以正确；如图2，当ABO30时，OBCAOBACB90，四边形AOBC是矩形，AB与OC互相平分，但AB与OC的夹角为60、120，不垂直，所以不正确；如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，则：，所以不正确；综上所述，本题正确的有：同类题型3.3 如图，直角ABC中，B30，点O是ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EFAB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（）A B C D解：点O是ABC的重心，CE，ABC是直角三角形，CEBEAE，B30，FAEB30，BAC60，FAECAF30，ACE是等边三角形，CE，CE，即AE，BEAE，AE，EFAB，AFE60，FEM30，EF，AE，选D例4如图，在ABC中，4AB5AC，AD为ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EFAD于点F，点G在AF上，FGFD，连接EG交AC于点H若点H是AC的中点，则的值为_解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h，CD如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AMAB，则有AC4CM连接DM在ABD与AMD中，ABDAMD（SAS），CD过点M作MNAD，交EG于点N，交DE于点KMNAD，CD，CDMDKD，即DMK为等腰三角形，DMKDKM由题意，易知EDG为等腰三角形，且12；MNAD，3412，又DKM3（对顶角）DMK4，DMGN，四边形DMNG为平行四边形，MNDG2FD点H为AC中点，AC4CM，MNAD，即，同类题型4.1 如图，已知是ABC的中线，过点作AC交BC于点，连接交于点；过点作AC交BC于点，连接交于点；过点作AC交BC于点，如此继续，可以依次得到点，和点，则_AC解：AC，BAC，BCA，BAC，是ABC的中线，AC，AC，AC同理：AC同类题型4.2 如图，过锐角ABC的顶点A作DEBC，AB恰好平分DAC，AF平分EAC交BC的延长线于点F在AF上取点M，使得AF，连接CM并延长交直线DE于点H若AC2，AMH的面积是，则的值是_解：过点H作HGAC于点G，AF平分CAE，DEBF，HAFAFCCAF，ACCF2，AF，DECF，AHMFCM，AH1，设AHM中，AH边上的高为m，FCM中CF边上的高为n，AMH的面积为：，AHm，设AHC的面积为S，3，由勾股定理可知：，例5 如图，ABC的面积为S点，是边BC的n等分点（n3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且，连接，连接NB，线段与NB相交于点，线段与相交于点，线段与相交于点，线段与相交于点，则，的面积和是 _（用含有S与n的式子表示）解：连接MN，设BN交于，交于，交于，MNBC，点，是边BC的n等分点，四边形B，四边形，四边形都是平行四边形，易知S，S，S，S，S（n1）SSS同类题型5.1如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A，且BC3，则AM的长是（）A1.5 B2 C2.25 D2.5解：设AMx，连接BM，MB，在RtABM中，在RtMDB中，MBMB，即，解得x2，即AM2，故选B同类题型5.2 如图，ABC中，BAC90，AB3，AC4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连CE，则线段CE的长等于（）A2 B C D解：如图连接BE交AD于O，作AHBC于H在RtABC中，AC4，AB3，5，CDDB，ABAC，AEAB，点A在BE的垂直平分线上DEDBDC，点D在BE使得垂直平分线上，BCE是直角三角形，AD垂直平分线段BE，BDAH，在RtBCE中，选D同类题型5.3 如图，在RtABC中，A90，ABAC，1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B始终落在边AC上，若MBC为直角三角形，则BM的长为_解：如图1，当BMC90，B与A重合，M是BC的中点，；如图2，当MBC90，A90，ABAC，C45，CMB是等腰直角三角形，MB，沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B，BMBM，BM，1，1，BM1，综上所述，若MBC为直角三角形，则BM的长为或1同类题型5.4 如图，在矩形ABCD中，B的平分线BE与AD交于点E，BED的平分线EF与DC交于点F，若AB9，DF2FC，则BC_（结果保留根号）解：延长EF和BC，交于点G矩形ABCD中，B的角平分线BE与AD交于点E，ABEAEB45，ABAE9，直角三角形ABE中，又BED的角平分线EF与DC交于点F，BEGDEFADBCGDEFBEGG由GDEF，EFDGFC，可得EFDGFC设CGx，DE2x，则AD92xBCBGBCCG92xx解得33