江苏省无锡地区中考数学选择填空压轴题 专题5 三角形综合问题.doc

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专题05 三角形综合问题例1如图所示,矩形ABCD中,AB4,点E是折线ADC上的一个动点(点E与点A不重合),点P是点A关于BE的对称点在点E运动的过程中,使PCB为等腰三角形的点E的位置共有()A2个 B3个 C4个 D5个同类题型1.1 如图,在钝角ABC中,分别以AB和AC为斜边向ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分AEB交AB于点M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF下列结论:EMDN;S四边形ABDN;DEDF;DEDF其中正确的结论的个数是()A1个 B2个 C3个 D4个同类题型1.2 如图,D,E分别是ABC的边BC,AC上的点,若BC,ADEAED,则()A当B为定值时,CDE为定值 B当1为定值时,CDE为定值 C当2为定值时,CDE为定值 D当3为定值时,CDE为定值同类题型1.3 如图,在ABC中,BAC120,点D、E都在边BC上,DAE60若BD2CE,则DE的长为_例2如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC90,ABBC,E为AB边上一点,BCE15,且AEAD连接DE交对角线AC于H,连接BH下列结论:ACDACE;CDE为等边三角形;EH2EB;其中正确的结论是_同类题型2.1 如图所示,已知:点A(0,0),0),C(0,1)在ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个,第2个,第3个,则第n个等边三角形的边长等于_同类题型2.2 如图,点P在等边ABC的内部,且PC6,PA8,PB10,将线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC,连接AP,则sinPAP的值为_例3如图,在ABC中,ABC和ACB的平分线相交于点O,过点O作EFBC交AB于E,交AC于F,过点O作ODAC于D下列四个结论:A;以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切;EF是ABC的中位线;设ODm,AEAFn,则mn其中正确的结论是()A B C D同类题型3.1 如图所示,四边形ABCD中,DCAB,BC1,ABACAD2则BD的长为()A B C D同类题型3.2 如图,在RtABC中,BC2,BAC30,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动,下列结论:若C、O两点关于AB对称,则;C、O两点距离的最大值为4;若AB平分CO,则ABCO;斜边AB的中点D运动路径的长为;其中正确的是_(把你认为正确结论的序号都填上)同类题型3.3 如图,直角ABC中,B30,点O是ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EFAB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为()A B C D例4如图,在ABC中,4AB5AC,AD为ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EFAD于点F,点G在AF上,FGFD,连接EG交AC于点H若点H是AC的中点,则的值为_同类题型4.1 如图,已知是ABC的中线,过点作AC交BC于点,连接交于点;过点作AC交BC于点,连接交于点;过点作AC交BC于点,如此继续,可以依次得到点,和点,则_AC同类题型4.2 如图,过锐角ABC的顶点A作DEBC,AB恰好平分DAC,AF平分EAC交BC的延长线于点F在AF上取点M,使得AF,连接CM并延长交直线DE于点H若AC2,AMH的面积是,则的值是_例5 如图,ABC的面积为S点,是边BC的n等分点(n3,且n为整数),点M,N分别在边AB,AC上,且,连接,连接NB,线段与NB相交于点,线段与相交于点,线段与相交于点,线段与相交于点,则,的面积和是 _(用含有S与n的式子表示)同类题型5.1如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B处,点A对应点为A,且BC3,则AM的长是()A1.5 B2 C2.25 D2.5同类题型5.2 如图,ABC中,BAC90,AB3,AC4,点D是BC的中点,将ABD沿AD翻折得到AED,连CE,则线段CE的长等于()A2 B C D同类题型5.3 如图,在RtABC中,A90,ABAC,1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B始终落在边AC上,若MBC为直角三角形,则BM的长为_同类题型5.4 如图,在矩形ABCD中,B的平分线BE与AD交于点E,BED的平分线EF与DC交于点F,若AB9,DF2FC,则BC_(结果保留根号)参考答案例1如图所示,矩形ABCD中,AB4,点E是折线ADC上的一个动点(点E与点A不重合),点P是点A关于BE的对称点在点E运动的过程中,使PCB为等腰三角形的点E的位置共有()A2个 B3个 C4个 D5个解:BP为等腰三角形一腰长时,符合点E的位置有2个,是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P;BP为底边时,C为顶点时,符合点E的位置有2个,是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P;以PC为底边,B为顶点时,这样的等腰三角形不存在,因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点选C同类题型1.1 如图,在钝角ABC中,分别以AB和AC为斜边向ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分AEB交AB于点M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF下列结论:EMDN;S四边形ABDN;DEDF;DEDF其中正确的结论的个数是()A1个 B2个 C3个 D4个解:D是BC中点,N是AC中点,DN是ABC的中位线,DNAB,且AB;三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分AEB交AB于点M,M是AB的中点,AB,又AB,EMDN,结论正确;DNAB,CDNABC,AB,S_(四边形ABDN),结论正确;如图1,连接MD、FN,D是BC中点,M是AB中点,DM是ABC的中位线,DMAC,且AC;三角形ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点,AC,又AC,DMFN,DMAC,DNAB,四边形AMDN是平行四边形,AMDAND,又EMAFNA90,EMDDNF,在EMD和DNF中,EMDDNF,DEDF,结论正确;如图2,连接MD,EF,NF,三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分AEB,M是AB的中点,EMAB,EMMA,EMA90,AEMEAM45,D是BC中点,M是AB中点,DM是ABC的中位线,DMAC,且AC;三角形ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点,AC,FNA90,FANAFN45,又AC,FA,EMDEMAAMD90AMD,EAF360EAMFANBAC3604545(180AMD)90AMDEMDEAF,在EMD和EAF中,EMDEAF,MEDAEF,MEDAED45,AEDAEF45,即DEF45,又DEDF,DFE45,EDF180454590,DEDF,结论正确正确的结论有4个:选D同类题型1.2 如图,D,E分别是ABC的边BC,AC上的点,若BC,ADEAED,则()A当B为定值时,CDE为定值 B当1为定值时,CDE为定值 C当2为定值时,CDE为定值 D当3为定值时,CDE为定值解:在CDE中,由三角形的外角性质得,AEDCDEC,在ABD中,由三角形的外角性质得,B1ADCADECDE,BC,ADEAED,B1CDECCDE2CDEB,12CDE,当1为定值时,CDE为定值选B同类题型1.3 如图,在ABC中,BAC120,点D、E都在边BC上,DAE60若BD2CE,则DE的长为_解:将ABD绕点A逆时针旋转120得到ACF,取CF的中点G,连接EF、EG,如图所示,BAC120,ACBBACF30,ECG60CFBD2CE,CGCE,CEG为等边三角形,EGCGFG,CGE30,CEF为直角三角形BAC120,DAE60,BADCAE60,FAEFACCAEBADCAE60在ADE和AFE中,ADEAFE(SAS),DEFE设ECx,则BDCD2x,DEFE63x,在RtCEF中,CEF90,CF2x,ECx,x,x,3例2如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC90,ABBC,E为AB边上一点,BCE15,且AEAD连接DE交对角线AC于H,连接BH下列结论:ACDACE;CDE为等边三角形;EH2EB;其中正确的结论是_解:ABC90,ABBC,BACACB45,又BAD90,BACDAC,在ACD和ACE中,ACDACE(SAS);故正确;同理AED45,BEC90BCE901575,DEC60,ACDACE,CDCE,CDE为等边三角形故正确CHE为直角三角形,且HEC60EC2EHECB15,EC4EB,EH2EB;故错误AEAD,CECD,点A与C在DE的垂直平分线上,AC是DE的垂直平分线,即ACDE,CECH,CDCE,CDCH,BAC45,AHEH,故错误答案为:同类题型2.1 如图所示,已知:点A(0,0),0),C(0,1)在ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个,第2个,第3个,则第n个等边三角形的边长等于_解:,OC1,BC2,OBC30,OCB60而为等边三角形,60,30,则O90在中,同理得:,依此类推,第n个等边三角形的边长等于同类题型2.2 如图,点P在等边ABC的内部,且PC6,PA8,PB10,将线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC,连接AP,则sinPAP的值为_解:连接PP,如图,线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC,CPCP6,PCP60,CPP为等边三角形,PPPC6,ABC为等边三角形,CBCA,ACB60,PCBPCA,在PCB和PCA中,PCBPCA,PBPA10,APP为直角三角形,APP90,同类题型2.4例3如图,在ABC中,ABC和ACB的平分线相交于点O,过点O作EFBC交AB于E,交AC于F,过点O作ODAC于D下列四个结论:A;以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切;EF是ABC的中位线;设ODm,AEAFn,则mn其中正确的结论是()A B C D解:在ABC中,ABC和ACB的平分线相交于点O,ABC,ACB,AABCACB180,A,A;故正确;过点O作OMAB于M,作ONBC于N,连接OA,在ABC中,ABC和ACB的平分线相交于点O,ONODOMm,mn;故正确;在ABC中,ABC和ACB的平分线相交于点O,EBOOBC,FCOOCB,EFBC,EOBOBC,FOCOCB,EBOEOB,FOCFCO,EBEO,FOFC,EFEOFOBECF,以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切,故正确,根据已知不能推出E、F分别是AB、AC的中点,故正确,其中正确的结论是选D同类题型3.1 如图所示,四边形ABCD中,DCAB,BC1,ABACAD2则BD的长为()A B C D解:以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交A于F,连接DFDCAB,DFCB1,BF224,FB是A的直径,FDB90,选B同类题型3.2 如图,在RtABC中,BC2,BAC30,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动,下列结论:若C、O两点关于AB对称,则;C、O两点距离的最大值为4;若AB平分CO,则ABCO;斜边AB的中点D运动路径的长为;其中正确的是_(把你认为正确结论的序号都填上)解:在RtABC中,BC2,BAC30,AB4,若C、O两点关于AB对称,如图1,AB是OC的垂直平分线,则;所以正确;如图1,取AB的中点为E,连接OE、CE,AOBACB90,AB2,当OC经过点E时,OC最大,则C、O两点距离的最大值为4;所以正确;如图2,当ABO30时,OBCAOBACB90,四边形AOBC是矩形,AB与OC互相平分,但AB与OC的夹角为60、120,不垂直,所以不正确;如图3,斜边AB的中点D运动路径是:以O为圆心,以2为半径的圆周的,则:,所以不正确;综上所述,本题正确的有:同类题型3.3 如图,直角ABC中,B30,点O是ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EFAB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为()A B C D解:点O是ABC的重心,CE,ABC是直角三角形,CEBEAE,B30,FAEB30,BAC60,FAECAF30,ACE是等边三角形,CE,CE,即AE,BEAE,AE,EFAB,AFE60,FEM30,EF,AE,选D例4如图,在ABC中,4AB5AC,AD为ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EFAD于点F,点G在AF上,FGFD,连接EG交AC于点H若点H是AC的中点,则的值为_解:已知AD为角平分线,则点D到AB、AC的距离相等,设为h,CD如右图,延长AC,在AC的延长线上截取AMAB,则有AC4CM连接DM在ABD与AMD中,ABDAMD(SAS),CD过点M作MNAD,交EG于点N,交DE于点KMNAD,CD,CDMDKD,即DMK为等腰三角形,DMKDKM由题意,易知EDG为等腰三角形,且12;MNAD,3412,又DKM3(对顶角)DMK4,DMGN,四边形DMNG为平行四边形,MNDG2FD点H为AC中点,AC4CM,MNAD,即,同类题型4.1 如图,已知是ABC的中线,过点作AC交BC于点,连接交于点;过点作AC交BC于点,连接交于点;过点作AC交BC于点,如此继续,可以依次得到点,和点,则_AC解:AC,BAC,BCA,BAC,是ABC的中线,AC,AC,AC同理:AC同类题型4.2 如图,过锐角ABC的顶点A作DEBC,AB恰好平分DAC,AF平分EAC交BC的延长线于点F在AF上取点M,使得AF,连接CM并延长交直线DE于点H若AC2,AMH的面积是,则的值是_解:过点H作HGAC于点G,AF平分CAE,DEBF,HAFAFCCAF,ACCF2,AF,DECF,AHMFCM,AH1,设AHM中,AH边上的高为m,FCM中CF边上的高为n,AMH的面积为:,AHm,设AHC的面积为S,3,由勾股定理可知:,例5 如图,ABC的面积为S点,是边BC的n等分点(n3,且n为整数),点M,N分别在边AB,AC上,且,连接,连接NB,线段与NB相交于点,线段与相交于点,线段与相交于点,线段与相交于点,则,的面积和是 _(用含有S与n的式子表示)解:连接MN,设BN交于,交于,交于,MNBC,点,是边BC的n等分点,四边形B,四边形,四边形都是平行四边形,易知S,S,S,S,S(n1)SSS同类题型5.1如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B处,点A对应点为A,且BC3,则AM的长是()A1.5 B2 C2.25 D2.5解:设AMx,连接BM,MB,在RtABM中,在RtMDB中,MBMB,即,解得x2,即AM2,故选B同类题型5.2 如图,ABC中,BAC90,AB3,AC4,点D是BC的中点,将ABD沿AD翻折得到AED,连CE,则线段CE的长等于()A2 B C D解:如图连接BE交AD于O,作AHBC于H在RtABC中,AC4,AB3,5,CDDB,ABAC,AEAB,点A在BE的垂直平分线上DEDBDC,点D在BE使得垂直平分线上,BCE是直角三角形,AD垂直平分线段BE,BDAH,在RtBCE中,选D同类题型5.3 如图,在RtABC中,A90,ABAC,1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B始终落在边AC上,若MBC为直角三角形,则BM的长为_解:如图1,当BMC90,B与A重合,M是BC的中点,;如图2,当MBC90,A90,ABAC,C45,CMB是等腰直角三角形,MB,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B,BMBM,BM,1,1,BM1,综上所述,若MBC为直角三角形,则BM的长为或1同类题型5.4 如图,在矩形ABCD中,B的平分线BE与AD交于点E,BED的平分线EF与DC交于点F,若AB9,DF2FC,则BC_(结果保留根号)解:延长EF和BC,交于点G矩形ABCD中,B的角平分线BE与AD交于点E,ABEAEB45,ABAE9,直角三角形ABE中,又BED的角平分线EF与DC交于点F,BEGDEFADBCGDEFBEGG由GDEF,EFDGFC,可得EFDGFC设CGx,DE2x,则AD92xBCBGBCCG92xx解得33
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