高中数学 1.2.1.1 排列的概念及简单排列问题课件 新人教A版选修2-3 .ppt

1 2排列与组合1 2 1排列第1课时排列的概念及简单排列问题 1 排列的概念 1 元素 问题中被取的 2 排列 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照 排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 相同排列的两个条件 1 相同 2 相同 对象 一定的 顺序 元素 顺序 1 判一判 正确的打 错误的打 1 1 2 3与3 2 1为同一排列 2 在一个排列中 同一个元素不能重复出现 3 从1 2 3 4中任选两个元素 就组成一个排列 4 从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题 解析 1 错误 排列与元素的顺序有关 所以1 2 3与3 2 1不是同一排列 2 正确 由定义易知 取出的元素各不相同 因此不能重复出现同一元素 3 错误 由排列的定义知 取出元素后 再按顺序排成一列才组成一个排列 只取不排不是排列 4 正确 选出的两个同学参加竞赛的学科不同 所以是排列问题 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 从5个人中选取甲 乙2个人去完成某项工作 这 排列问题 填 是 或 不是 2 从1 2 3中任取两个数字可组成不同的两位数有 个 3 从3 5 7中任选两个数相减 可得到 个不同的结果 解析 1 甲和乙与乙和甲去完成这项工作是同一种方法 故不是排列问题 答案 不是 2 12 13 21 23 31 32 共6个 答案 6 3 从3 5 7中任选两个数相减的所有情况是3 5 2 3 7 4 5 7 2 5 3 2 7 3 4 7 5 2 故共有4个不同的结果 答案 4 要点探究 知识点排列的概念1 排列定义的两个要素一是 取出元素 二是 将元素按一定顺序排列 这是排列的两个要素 2 对排列概念的两个关注点 1 顺序性 每一个排列不仅与选取的元素有关 而且还与元素的排列顺序有关 选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时都是不同的排列 只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列 2 选排列与全排列 在定义中规定m n 如果m n 一般称为选排列 如果m n 则称为全排列 3 排列中元素所满足的两个特性 1 无重复性 从n个不同元素中取出m m n 个不同的元素 否则不是排列问题 2 有序性 安排这m个元素时是有顺序的 有序的就是排列 无序的不是排列 而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置 看结果是否发生变化 有变化就是有顺序 无变化就是无顺序 微思考 1 判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么 提示 关键是看在安排取出的元素时是有序还是无序 有序就是排列 否则不是 2 由实数组成的排列与数列一样吗 提示 不一样 由实数组成的排列中的元素不能重复 而数列中的各项可以重复 即时练 判断下列问题是否是排列问题 并说明理由 1 从2 3 5 7 11 13 17 19中任取两个不同的数相除可得多少种不同的结果 2 从2 3 5 7 11 13 17 19中任取两个不同的数相乘可得多少种不同的结果 3 从学号为1到10的十名同学中任选两名同学去学校开座谈会 有多少种不同的选法 4 平面上有5个点 其中任意三点不共线 这五点最多可确定多少条直线 可确定多少条射线 解析 1 是排列问题 两个数相除 谁做除数 谁做被除数是不一样的 故选取的数相除时与顺序有关 故是排列问题 2 不是排列问题 因为乘法满足交换律 所得结果与两个数的顺序无关 3 不是排列问题 因为选取的同学与顺序无关 4 第一问不是排列问题 两点确定一条直线与这两点的顺序无关 第二问是排列问题 射线与端点有关 即与两点的顺序有关 因此是排列问题 题型示范 类型一排列的概念 典例1 1 下列问题是排列问题的为 选2个小组分别去植树和种菜 选2个小组分别去种菜 某班40名同学在假期互发短信 2 给出以下问题 由1 2 3三个数字可以组成多少个无重复数字的三位数 从40人中选5人组成篮球队 有多少种不同的选法 从1 2 3 4中取两个数可以组成多少个不同的集合 其中是排列问题的是 只填序号 解题探究 1 题 1 的三个选项中哪几个是有顺序的 2 题 2 中由数组成的排列与由数组成的集合的不同在哪里 探究提示 1 是有顺序的 无顺序 2 由数组成的排列中的元素是有序的 而由数组成的集合中的元素是无序的 自主解答 1 是 植树和种菜是不同的 存在顺序问题 属于排列问题 不是 选2个小组分别去种菜 不存在顺序问题 不是排列问题 是 A给B发短信与B给A发短信是不同的 所以存在顺序问题 是排列问题 答案 2 由1 2 3组成的三位数与顺序有关 是排列问题 不存在顺序问题 不是排列问题 答案 延伸探究 将题 1 中的 互发短信 改为 互通电话 则此问题是排列问题吗 解题指南 解决此题要搞清 通话 与 通信 这两个概念 通话是无序的 通信是有序的 解析 不是 互通电话与互发短信不同 与顺序无关 故不是排列问题 方法技巧 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 变式训练 给出以下问题 1 从3 5 7 9四个数字中任取两个数作为对数的底数和真数 有多少个不同的值 2 从0到9这十个数字中任取两个数 组成点的坐标 可得到多少个不同的点的坐标 其中是排列问题的是 只填序号 解析 1 是 对数值与底数和真数的取值不同有关系 与顺序有关 同理 2 也是排列问题 答案 1 2 补偿训练 判断下列问题是否为排列问题 1 某高中高一上学期某一个周一6节课的课程安排 2 在某校的春季运动会上 高一 一 班4 100米接力赛的运动员的安排 3 从1 3 5 7中任取两个不同的数 作为二次函数f x ax2 bx 1中a b的值 可以得到多少个不同的二次函数 解析 1 2 3 均为排列问题 因为它们都与顺序有关 类型二写出简单排列问题的所有排列 典例2 1 从1 2 3 4这四个数字中任取两个不同的 则可组成不同的两位数有 A 9个B 12个C 15个D 18个 2 四个人A B C D坐成一排照相有多少种坐法 将它们列出来 解题探究 1 利用什么可将 1 中的两位数不重不漏地列出来 2 题 2 中四个人坐成一排照相有顺序吗 探究提示 1 利用树形图 2 有顺序 自主解答 1 选B 用树形图表示为 由此可知共有12个 2 先安排A有4种坐法 安排B有3种坐法 安排C有2种坐法 安排D有1种坐法 由分步乘法计数原理 有4 3 2 1 24 种 画出树形图 由 树形图 可知 所有坐法为ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DACB DABC DBAC DBCA DCAB DCBA 延伸探究 在题 2 中 若在条件中再增加一条 A不坐排头 则结论如何 解析 画出树形图 由 树形图 可知 所有坐法为BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DACB DABC DBAC DBCA DCAB DCBA 共18种坐法 方法技巧 利用 树形图 法解决简单排列问题的适用范围及策略 1 适用范围 树形图 在解决排列元素个数不多的问题时 是一种比较有效的表示方式 2 策略 在操作中先将元素按一定顺序排出 然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类 再安排第二个元素 并按此元素分类 依次进行 直到完成一个排列 这样能做到不重不漏 然后再按树形图写出排列 变式训练 将玫瑰花 月季花 莲花各一束分别送给甲 乙 丙三人 每人一束 共有多少种不同的分法 请将它们列出来 解析 按分步乘法计数原理的步骤 第一步 分给甲 有3种分法 第二步 分给乙 有2种分法 第三步 分给丙 有1种分法 故共有3 2 1 6种不同的分法 列出这6种分法 如下 甲乙丙玫瑰花月季花莲花玫瑰花莲花月季花月季花玫瑰花莲花月季花莲花玫瑰花莲花玫瑰花月季花莲花月季花玫瑰花 补偿训练 从0 1 2 3这四个数字中 每次取出三个不同数字排成一个三位数 若组成的这些三位数中 1不在百位 2不在十位 3不在个位 则这样的三位数共有多少个 并写出这些三位数 解析 直接画出树形图由树形图知 符合条件的三位数有8个 分别为201 210 230 231 301 302 310 312 易错误区 忽视排列问题中的限制条件而致错 典例 2014 长春高二检测 在1 2 3 4的排列a1a2a3a4中 满足a1 a2 a3 a2 a3 a4的排列个数是 解析 首先注意a1位置的数比a2位置的数大 可以借助树形图进行筛选 满足a1 a2的树形图是 其次满足a3 a2的树形图是 再满足a3 a4的排列有 2143 3142 3241 4132 4231 共5个 答案 5 常见误区 防范措施 1 两个注意解答有限制条件的简单的排列问题时首先应注意限制条件是 位置 还是 元素 其次解决这类问题时应注意特殊位置 特殊元素优先考虑的原则 做到不重不漏 如本例a1 a2 a3 a2 a3 a4等特殊位置的处理 2 转化与数形结合意识有些非数学化的排列问题可以转化为数学问题后再求解 为了形象直观 可借助树形图 如本例中借助树形图使求解更加形象直观 不重不漏 类题试解 由1 2 3 4这四个数字组成的首位数字是1 且恰有三个相同数字的四位数的个数是 解析 本题要求首位数字是1 且恰有三个相同的数字 用树形图表示为 由此可知共有12个 答案 12