高中数学 1.1第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 新人教A版选修2-3.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教A版 选修2 3 计数原理 第一章 高二一班某寝室有8名同学 他们约定毕业后每年春节要互寄一张贺年卡片 他们一共要消费多少张卡片 2015年9月 纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年阅兵式 外军方队有17个方队 这些方队的出场顺序一共有多少种排法 某城市的电话号码有8位数字 一共能构成多少电话号码 汽车牌照由26个英文字母和10个阿拉伯数字选出五个组成 一共能组成多少辆汽车的牌照号码 你知道是怎样计数的吗 本章将系统学习计数原理 学习本章要注意体会有序与无序在计数中的区别 体会建模在数学研究中的作用 1 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第一章 第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1 通过实例抽象概括出两个计数原理 2 能够区分两个计数原理并会应用两个计数原理解决一些简单问题 重点 归纳得出两个计数原理 能运用它们解决简单的实际问题 难点 正确理解 完成一件事情 的含义 正确区分 分类 与 分步 分类加法计数原理 新知导学1 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 2 分类加法计数原理的推广完成一件事有n类不同的方案 在第1类方案中有m1种不同的方法 在第2类方案中有m2种不同的方法 在第n类方案中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 m n m1 m2 mn 牛刀小试1 某校开设A类选修课3门 B类选修课4门 若要求从两类课程中选一门 则不同的选法共有 A 3种B 4种C 7种D 12种 答案 C 解析 选择课程的方法有2类 从A类课程中选一门有3种不同方法 从B类课程中选1门有4种不同方法 共有不同选法3 4 7种 2 用1 2 3这3个数字可以写出没有重复数字的整数 个 答案 15 解析 分三类 第一类为一位整数 有3个 第二类为两位整数 有12 21 13 31 23 32 共6个 第三类为三位整数 有123 132 321 312 231 213 共6个 共写出没有重复数字的整数3 6 6 15个 3 2015 锦州一中高二期中 从数字1 2 3 4 5 6中取两个数相加 共得 个不同的偶数 答案 4 解析 由两个数相加是偶数知两个数都是偶数或两个数都是奇数 分两类 第一类 两个数都是偶数 2 4 6 2 6 8 4 6 10 共得3个偶数 第二类 两个数都是奇数 1 3 4 1 5 6 3 5 8 共得3个偶数 2 6 3 5 2 4 1 5 从数字1 2 3 4 5 6中取两个相加 共得4个不同的偶数 故答案为4 分步乘法计数原理 新知导学3 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 4 分步乘法计数原理的推广完成一件事需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 m n m1 m2 mn 牛刀小试4 已知x 2 3 7 y 31 24 4 则 x y 可表示不同的点的个数是 A 1B 3C 6D 9 答案 D 解析 这件事可分为两步完成 第一步 在集合 2 3 7 中任取一个值x有3种方法 第二步 在集合 31 24 4 中任取一个值y有3种方法 根据分步乘法计数原理知 有3 3 9个不同的点 5 2015 青岛市胶州高二期中 甲 乙两人从4门课程中各选修1门 则甲 乙所选的课程不相同的选法共有 A 6种B 12种C 30种D 36种 答案 B 解析 甲 乙两人从4门课程中各选修1门 由乘法原理 可得甲 乙所选的课程不相同的选法有4 3 12种 故选B 6 将三封信投入4个邮箱 不同的投法有 种 答案 64 解析 第一封信有4种投法 第二封信也有4种投法 第三封信也有4种投法 由分步乘法计数原理知 共有不同投法43 64种 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 分析 完成这件事 只要两位数的个位 十位确定了 这件事就算完成了 因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类 分类加法计数原理 解析 解法一 按十位数上的数字分别是1 2 3 4 5 6 7 8的情况分为8类 在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类加法计数原理知 符合题意的两位数的个数共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 解法二 按个位数字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别是1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 所以按分类加法计数原理共有1 2 3 4 5 6 7 8 36 个 方法规律总结 应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点 1 明确题目中所指的 完成一件事 指的是什么事 怎样才算是完成这件事 2 完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的 无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事 3 确立恰当的分类标准 这个 标准 必须满足 一 完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一个类 二 分别在不同两类中的两种方法不能相同 即不重复 无遗漏 满足a b 1 0 1 2 且关于x的方程ax2 2x b 0有实数解的有序数对 a b 的个数为 A 14B 13C 12D 10 答案 B 解析 当a 0时 2x b 0总有实数根 a b 的取值有4个 当a 0时 需 4 4ab 0 ab 1 a 1时 b的取值有4个 a 1时 b的取值有3个 a 2时 b的取值有2个 a b 的取法有9个 综合 知 a b 的取法有4 9 13个 已知a 3 4 6 b 1 2 7 8 r 8 9 则方程 x a 2 y b 2 r2可表示不同的圆的个数有多少个 分析 要想确定一个圆 需确定圆心的横坐标a 纵坐标b 圆的半径r 只有当三个量都确定时 这个圆才确定 故应该用分步乘法计数原理求解 解析 圆方程由三个量a b r确定 a b r分别有3种 4种 2种选法 由分步乘法计数原理 表示不同的圆的个数为3 4 2 24 个 分步乘法计数原理 方法规律总结 应用分步乘法计数原理解题时要注意以下三点 1 明确题目中所指的 完成一件事 是什么事 怎样才算完成了这件事 2 完成这件事情需要分成n个步骤 每一步骤都不能完成这件事情 只有各个步骤都完成了 这件事情才能完成 3 选取的标准不同 分的 步 也不同 完成这件事的任何一种方法 都要分成若干个步骤 1 有5本书全部借给3名学生 有不同的借法 种 2 有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践 则有不同分配方案 种 答案 1 243 2 125 解析 1 中要完成的事情是把5本书全部借给3名学生 可分5个步骤完成 每一步把一本书借出去 有3种不同的方法 根据分步乘法计数原理 共有N 3 3 3 3 3 35 243 种 不同的借法 2 中要完成的事情是把3名学生分配到5个车间中 可分3个步骤完成 每一步分配一名学生 有5种不同的方法 根据分步乘法计数原理 共有N 5 5 5 53 125 种 不同的分配方案 点评 1 中只有当5本书全部确定去向 这件事情才算完成 2 中只有当3名学生全部确定去的车间 这件事情才算完成 现有5幅不同的国画 2幅不同的油画 7幅不同的水彩画 1 从中任选一幅画布置房间 有几种不同的选法 2 从这些国画 油画 水彩画中各选一幅布置房间 有几种不同的选法 3 从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间 有几种不同的选法 分析 1 选一幅国画布置房间 这件事情可以完成 选一幅油画布置房间 这件事情也可以完成 因此完成 选一幅画布置房间 这件事情共分三类 两个基本原理的区别应用 2 选一幅国画布置房间 布置房间的任务没有完成 选一幅油画布置房间 布置房间的任务也没有完成 只有国画 油画 水彩画各选一幅都完成后 布置房间的任务才算完成 故完成这件事情需分三步 3 选两种不同种类的画 可以选国画 油画 也可以选国画 水彩画 如果选了国画 油画 则这件事情已经完成 故用分类加法计数原理 在每一类里选一种画 再选一种画 两种画都选出 这件事情才完成 故用分步乘法计数原理 因此本题应先分类 再分步解决 解析 1 分为三类 从国画中选 有5种不同的选法 从油画中选 有2种不同的选法 从水彩画中选 有7种不同的选法 根据分类加法计数原理共有5 2 7 14种不同的选法 2 分为三步 国画 油画 水彩画各有5种 2种 7种不同的选法 根据分步乘法计数原理 共有5 2 7 70种不同的选法 3 分为三类 第一类是一幅选自国画 一幅选自油画 由分步乘法计数原理知 有5 2 10种不同的选法 第二类是一幅选自国画 一幅选自水彩画 有5 7 35种不同的选法 第三类是一幅选自油画 一幅选自水彩画 有2 7 14种不同的选法 所以有10 35 14 59种不同的选法 方法规律总结 用两个计数原理解决具体问题时 首先 要分清是 分类 还是 分步 区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情 其次 要清楚 分类 或 分步 的具体标准 在 分类 时要遵循 不重不漏 的原则 在 分步 时要正确设计 分步 的程序 注意步与步之间的连续性 有些题目中 分类 与 分步 同时进行 即 先分类后分步 或 先分步后分类 有三只口袋装有小球 一只装有5个白色小球 一只装有6个黑色小球 一只装有7个红色小球 若每次从中取两个不同颜色的小球 共有多少种不同的取法 解析 分为三类 一类是取白球 黑球 有5 6 30种取法 一类是取白球 红球 有5 7 35种取法 一类是取黑球 红球 有6 7 42种取法 共有取法 30 35 42 107 种 正确理解完成一件事情所需要的步骤或类型下图中一共有多少个矩形 顶点不完全相同就视作不同的矩形 错解 按横行进行分类 第一类 由A行和B行组成的矩形有15个 第二类 由B行和C行组成的矩形有15个 第三类 由C行和D行组成的矩形有15个 由分类加法原理知 不同的矩形共有15 15 15 45个 辨析 完成一个矩形 既要考虑横线由哪两条构成 也要考虑竖线由哪两条构成 只有当两条横线与两条竖线都确定时 这个矩形才算完成 故这是分步乘法计数原理 正解 我们只要在A B C D四条横线中选取2条 在1 2 3 4 5 6这6条竖线中选取两条 就能确定一个矩形 如图中矩形B2D2D5B5是由横线B2B5 D2D5和竖线B2D2 B5D5围成的 选取横线有AB AC AD BC BD CD共6种不同方法 选取竖线有 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 共15种不同方法 由分步乘计数原理知 共有不同的矩形6 15 90个