高中数学 1.1命题课件 北师大版选修2-1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 常用逻辑用语 第一章 孟子说过一句 废话 人人亲其亲长其长而天下平 这句话的意思是 只要人人孝顺自己的双亲服从自己的尊长 天下就太平 从逻辑的角度看 这句话虽然有条件关联词 却不是条件关系 而是同一个意思的重复 它的前后两句是可以颠倒的 只要天下平 人人而亲其亲长其长 真正的条件关系 前后句是不能颠倒的 就如 只要你给我钱 我就高兴 不能颠倒成 只要我高兴 你就给我钱 逻辑无时无刻不存在于我们的思维和语言中 逻辑常指人们思考问题时从某些已知条件推出合理结论的规律 人们说某人逻辑性强 就是说他善于推理 能得出正确结论 你想成为有逻辑思维的人吗 链接生活 1 1命题 第一章 1 可以判断真假 用文字或符号表述的语句叫作 其中判断为真的语句叫作 判断为假的语句叫作 通常把命题表示为 的形式 其中p是条件 q是结论 2 一般地 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么我们把这样的两个命题叫作 其中一个命题叫作 另一个叫作原命题的 命题 真命题 假命题 若p 则q 互逆命题 原命题 逆命题 3 一般地 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定 我们把这样的两个命题叫作 其中一个命题叫作 另一个叫作原命题的 4 一般地 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定 我们把这样的两个命题叫作 其中一个命题叫作 另一个叫作原命题的 互否命题 原命题 否命题 互为逆否命题 原命题 逆否命题 5 四种命题之间的关系 1 四种命题之间的关系如下 2 四种命题真假性之间的关系 若两个命题互为逆否命题 则它们有相同的真假性 若两个命题为互逆命题或互否命题 则它们的真假性没有关系 1 对命题概念的两点认识 1 命题是对一个结论的判断 所谓判断 就是肯定一个事物是什么或不是什么 不能含糊不清 命题的实质是对某一前提条件下相应结论的一个判断 这个判断可能正确 也可能错误 所以不能认为只有真命题才是命题而假命题不是命题 2 命题都由条件和结论构成 任何命题都有条件和结论 都可以改写成 若p 则q 的形式 数学中 一些命题表面上看不具有 若p 则q 的形式 如 对顶角相等 但是适当改变叙述方式 就可以写成 若p 则q 的形式 即 如果两个角是对顶角 那么这两个角相等 这样 命题的条件和结论就十分清楚了 一般地 在命题中 已知的事项为 条件 由已知推出的事项为 结论 2 四种命题得到逆命题 否命题 逆否命题的方法 1 交换原命题的条件和结论 得到逆命题 2 同时否定原命题的条件和结论 得到否命题 3 交换原命题的条件和结论 并且同时否定 得到逆否命题 3 对四种命题间真假关系的认识 互逆命题 互否命题 互为逆否命题 反映的是两个命题之间的相互关系 不具有特指性 即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种 且唯一 4 对四种命题间结构关系的认识 1 当两个命题是互逆命题或者是互否命题时 这两个命题的真假是没有必然关系的 即它们之间可能同真 同假 一真一假 2 当两个命题是互为逆否命题时 这两个命题是等价的 即两者之间要么同真 要么同假 两者必居其一 命题的四种形式之间的关系 提供了一个判断命题真假的变通手段 由于互为逆否的两个命题是等价命题 它们同真或同假 所以当一个命题不易判断时 可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假 如判断 a b 0 a 0或b 0 的真假 直接判断不容易 但判断其逆否命题 a 0且b 0 a b 0 就容易多了 1 下列语句中 不能成为命题的是 A 5 12B x 0C 若a b 则a b 0D 三角形的三条中线交于一点 答案 B 解析 分析各语句是否能判断出真假 A假 C真 D真 在未给x赋值之前 不能判断x 0的真假 所以x 0不是命题 2 下列说法中 原命题为真 它的否命题为假 原命题为真 它的逆命题不一定为真 一个命题的逆命题为真 它的否命题一定为真 一个命题的逆否命题为真 它的否命题一定为真 其中正确的是 A B C D 答案 B 解析 互为逆否命题的两个命题同真假 答案 C 解析 本题主要考查命题的四种形式 由题意知 写逆否命题将原命题的题设结论否定再交换 关键点是原命题与逆否命题关系 4 命题 等腰三角形的两个底角相等 的条件为 结论为 答案 等腰三角形 两个底角相等5 命题 若a b 则2a 2b 1 的否命题是 答案 若a b 则2a 2b 1 解析 该题将不等式和四种命题综合在一起 要注意不等号的方向及等号的取舍 原命题的否命题是 若a b 则2a 2b 1 判断下列语句是否是命题 若是 判断其真假 1 奇数的平方仍是奇数 2 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 3 所有的质数都是奇数 4 5x 4x 5 x R 则x2 4x 7 0 6 未来是多么美好啊 7 你是高二的学生吗 8 若x y是有理数 则x y都是有理数 命题的概念与命题真假的判断 总结反思 并不是所有的语句都是命题 只有能判断真假的陈述句才是命题 命题首先是 陈述句 其他语句如疑问句 祈使句 感叹句等一般都不是命题 其次是 能判断真假 不能判断真假的陈述句不是命题 如 x 2 小高的个子很高 等都不能判断真假 故都不是命题 因此 判断一个语句是否为命题 关键有两点 是否为陈述句 能否判断真假 下列语句是否是命题 若是 判断其真假 并说明理由 1 x 16 2 一个实数不是正数就是负数 3 x 2或x 3是方程x2 5x 6 0的根 4 空集是任何非空集合的真子集 5 指数函数是增函数吗 解析 1 不是命题 因为没有给定变量x的值 无法确定其真假 2 是假命题 因为0既不是正数也不是负数 3 是真命题 代入验证即可 4 是真命题 由空集的定义和性质不难得出 5 不是命题 因为是疑问句无法判断真假 命题的结构 分析 将命题改写为 若p 则q 的形式的方法及原则 解析 1 命题的条件 在同一个平面内 两条直线平行于同一条直线 命题的结论 这两条直线平行 若p 则q 的形式 在同一个平面内 若两条直线平行于同一条直线 则这两条直线平行 总结反思 命题改写中的注意事项任何命题都由条件和结论构成 若p 则q 这种形式是数学中命题的基本结构形式 也有一些命题的叙述比较简洁 并不是以 若p 则q 这种形式给出的 这时 首先要确定命题的条件和结论 若条件和结论是隐含的 还需要把这个命题补充完整后再进行改写 将下列命题改写成 若p 则q 的形式 并判断真假 1 6是12和18的公约数 2 当a 1时 方程ax2 2x 1 0有两个不等实根 3 负数的立方仍是负数 解析 1 若一个数是6 则它是12和18的公约数 真命题 2 若a 1 则方程ax2 2x 1 0有两个不等实根 假命题 3 若一个数是负数 则它的立方仍是负数 真命题 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 1 若q 1 则方程x2 2x q 0有实根 2 若x y都是奇数 则x y是偶数 3 若xy 0 则x 0或y 0 4 若x2 y2 0 则x y全为0 分析 各命题已具备 若p 则q 的形式 因此可直接写出它们的四种命题 并利用它们之间的关系判断真假 四种命题的关系 解析 1 原命题是真命题 逆命题 若x2 2x q 0方程有实根 则q 1 为真命题 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 为真命题 逆否命题 若方程x2 2x q 0无实根 则q 1 为真命题 2 原命题为真命题 逆命题 若x y是偶数 则x y都是奇数 为假命题 否命题 若x y不都是奇数 则x y不是偶数 为假命题 逆否命题 若x y不是偶数 则x y不都是奇数 为真命题 3 原命题为真命题 逆命题 若x 0或y 0 则xy 0 是真命题 否命题 若xy 0 则x 0且y 0 是真命题 逆否命题 若x 0且y 0 则xy 0 是真命题 4 原命题为真命题 逆命题 若x y全为0 则x2 y2 0 是真命题 否命题 若x2 y2 0 则x y不全为0 是真命题 逆否命题 若x y不全为0 则x2 y2 0 是真命题 总结反思 1 写出一个命题的逆命题 否命题 逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论 然后按定义来写 在判断原命题及逆命题的真假时 常借助 原命题与其逆否命题同真假 逆命题和否命题同真假 进行判断 2 互为逆否关系的命题是等价的 原命题与其逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 1 当判断一个命题的真假有困难时 可以判断它的逆否命题的真假 2 原命题 逆命题 否命题 逆否命题这四个命题中真命题可能为0个 2个或4个 判断命题的真假 写出它们的逆命题 否命题 逆否命题 并判断其真假 若在二次函数y ax2 bx c中 b2 4ac 0 则该函数图像与x轴有交点 解析 该命题为假命题 逆命题 若二次函数y ax2 bx c的图像与x轴有公共点 则b2 4ac 0 为假命题 否命题 若二次函数y ax2 bx c中b2 4ac 0 函数图像与x轴无公共点 为假命题 逆否命题 若二次函数y ax2 bx c的图像与x轴无公共点 则b2 4ac 0 为假命题 判断命题 已知a x为实数 若关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集不是空集 则a 1 的逆否命题的真假 分析 可以通过证明它的逆否命题为真命题 来间接地证明原命题为真命题 等价命题的应用 解析 方法一 原命题的逆否命题 已知a x为实数 若a 1 则关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为空集 真假判断如下 因为抛物线y x2 2a 1 x a2 2开口向上 判别式 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 若a 1 则4a 7 0 即抛物线y x2 2a 1 x a2 2与x轴无交点 所以关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为空集 故原命题的逆否命题为真 方法二 先判断原命题的真假 因为a x为实数 且关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集不是空集 所以 2a 1 2 4 a2 2 0 即4a 7 0 所以a 1 所以原命题成立 又因为原命题与其逆命题等价 所以逆否命题为真 总结反思 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性 即互为逆否命题的命题具有等价性 所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时 可以通过证明它的逆否命题为真命题 来间接地证明原命题为真命题 证明 若a2 b2 2a 4b 3 0 则a b 1 证明 命题 若a2 b2 2a 4b 3 0 则a b 1 的逆否命题是 若a b 1 则a2 b2 2a 4b 3 0 于是 由a b 1 得a2 b2 2a 4b 3 a b a b 2 a b 2b 3 a b 1 0 所以其逆否命题为真命题 所以原命题也为真命题 故a b 1成立 已知a 0 且a 1 设p 关于x的不等式ax 1的解集为 x x 0 q 函数y lg ax2 x a 的定义域为R 如果p和q有且只有一个正确 求a的取值范围 分析 解决此类问题 可先由命题为真或为假获得参数的取值范围 再利用补集思想得到命题为假或为真的参数的取值范围 原理是一个命题非真即假 由命题的真假确定参数的取值范围 总结反思 本题应用了补集思想以及分类整合思想 将命题的真假作为背景或依托可以考查高中数学各模块知识 常考知识点如各基本初等函数的定义域 值域 函数的图像与性质 立体几何知识 数列 不等式等方面知识 解答过程中必须把握一个命题非真即假的原则 通过推理与判断 灵活运用所学知识 尤其在判断命题的真假方面 往往通过举出反例说明命题为假 已知p 方程x2 mx 1 0有两个不等的负根 q 方程4x2 4 m 2 x 1 0无实根 若p和q都为假命题 求m的取值范围 解得1 m 3 即q 1 m 3 p和q都为假命题 m m 2 m m 1 或m 3 m m 1 m的取值范围是 m m 1 设p 平面向量a b c互不共线 q表示下列不同的结论 1 a b a b 2 a b a b 3 a b c a c b与a垂直 4 a b c a b c 其中 使命题 若p 则q 为真命题的所有序号是 误解 1 或 1 4 忽视向量的数量积满足分配律及数乘向量满足结合律而导致漏掉 3 或不理解向量数量积不满足结合律而错选 4 正解 由于平面向量a b不共线 则必有 a b a b 所以 1 正确 由于a b a b cos a b 所以 2 不正确 由于 a b c a c b a a b c a a c b a 0所以 a b c a c b与a垂直 3 正确 由于平面向量的数量积不满足结合律 且a b c互不共线 故 a b c a b c 所以 4 不正确 综上可知 真命题的序号是 1 3 总结反思 1 注意命题的条件与结论若一个命题具备所给的条件 且能得到所给的结论 它就是真命题 若一个命题具备所给的条件 不一定能或一定不能得到所给的结论 那么就是假命题 如本例命题的条件是三个互不共线的平面向量 故首先都不是零向量 这是判断命题的结论是否成立的重要前提 2 要明确平面向量的概念与运算平面向量的加法运算 减法运算 数乘运算统称为线性运算 结果仍是向量 平面向量的数量积运算 结果是实数 且三个平面向量的数量积不满足结合律 要把向量的运算与实数的运算区分开来 尤其是与实数运算的不同 这是避免判断命题真假出错的关键 如本例 4 是错误的 数量积不满足结合律