2019-2020年高三数学 知识点精析精练23 空间的距离.doc

2019-2020年高三数学 知识点精析精练23 空间的距离【复习要点】空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.空间中的距离主要指以下七种：(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.【例题】【例1】 如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.解：(1)在矩形ABCD中，作AEBD，E为垂足连结QE，QA平面ABCD，由三垂线定理得QEBEQE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,AE=在RtQAE中，QA=PA=cQE=Q到BD距离为.(2)解法一：平面BQD经过线段PA的中点，P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在AQE中，作AHQE，H为垂足BDAE,BDQE,BD平面AQE BDAHAH平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离.在RtAQE中，AQ=c,AE=AH=P到平面BD的距离为解法二：设点A到平面QBD的距离为h，由VABQD=VQABD,得SBQDh=SABDAQh=【例2】 把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后EOF的大小.解：如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD边长为a,则A(0，a,0)，B(a,0,0)，C(0, a,0)，D(0,0, a)，E(0,a, a)，F(a, a,0)EOF=120【例3】 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.解法一：如图，连结AC1，在正方体AC1中，A1C1AC,A1C1平面AB1C，A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离.连结B1D1、BD，设B1D1A1C1=O1,BDAC=OACBD，ACDD1，AC平面BB1D1D平面AB1C平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C平面BB1D1D=B1O作O1GB1O于G，则O1G平面AB1CO1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离.在RtOO1B1中，O1B1=，OO1=1，OB1= O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为.解法二：如图，在A1C上任取一点M，作MNAB1于N，作MRA1B1于R，连结RN，平面A1B1C1D1平面A1ABB1，MR平面A1ABB1，MRAB1AB1RN，设A1R=x,则RB1=1xC1A1B1=AB1A1=45，MR=x,RN=NB1=(0x1当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为.【例4】 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱,、分别是与的中点，点在平面上的射影是的的重心。（1） 求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2） 求点到平面的距离。解：（1）连接，则即为与平面所成的角，设，在中，则，则与平面所成角的大小为。（2）、设点到平面的距离为，由 ，即。【例5】 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，ABBC，CB=3，AB=4，A1AB=60.（1）求证：平面CA1B平面A1ABB1（2）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；（3）求点C1到平面A1CB的距离.证：（）因为四边形BCC1B1是矩形BCBB1，又ABBC，BC平面A1ABB1，BC平面CA1B，平面CA1B平面A1ABB1.解（2）过A1作A1DB1B于D，连接DC，BC平面A1ABB1，BCA1DA1D平面BCC1B1，故A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角.在矩形BCC1B1中，DC=，因为四边形A1ABB1是菱形，A1AB=60，CB=3，AB=4，（3）B1C1BC1， B1C1平面A1BC，C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离.连结AB1 ，AB1与A1B交于点O，四边形A1ABB1是菱形，B1OA1B.平面CA1B平面A1ABB1， B1O平面A1BCB1O即为C1到平面A1BC的距离. B1O=，C1到平面A1BC的距离为.【例6】 如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60,在四边形ABCD中，D=DAB=90，AB=4，CD=1，AD=2.（1）建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；（2）求异面直线PA与BC所成的角；（3）若PB的中点为M，求证：平面AMC平面PBC. 解（1）建立如图所示的空间直角坐标系D=DAB=90，AB=4，CD=1，AD=2，A（2，0，0），C（0，1，0），B（2，4，0）. 由PD平面ABCD，得PAD为PA与平面ABCD所成的角，PAD=60.在RtPAD中，由AD=2，得PD=，.（2）所以PA与BC所成的角为 （3）.，.【例7】 如图，在矩形中，为上一点，将点沿线段折起至点，连结，取的中点，若有平面 （1）试确定点位置；（2）若异面直线所成的角为，求证：平面平面；（3）在条件（2）下，求点到平面的距离解：（1）为的中点证明如下：取的中点，连由条件知，则四点共面平面，平面平面，则四边形为平行四边形则为的中点（2）所成的角为，在中，,则，平面平面，平面平面（3）平面，点到平面的距离等于点到平面的距离作交的延长线于，平面平面，平面，点到平面的距离即点到平面的距离为【例8】 已知斜三棱柱ABCA1B1C1，BCA=90，AC=BC=a，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又A1BAC1.（1）求证：BC平面ACC1A1；（2）求AA1与平面ABC所成的角；（3）求二面角B-AA1-C的正切值.解：（1）证明：A1D平面ABC，A1DBC（2分）又ACBC，BC平面ACC1A1（4分）（2）A1D平面ABC，A1AD是AA1与底面ABC所成的角由（1）知，BC平面ACC1A1，又A1BAC1A1CAC1，ACC1A1是菱形 AA1=a，A1DAC，且AD=DC=a，A1AD=60即AA1与底面ABC所成的角为60（3）由（1）知，BC平面ACC1A1，作CNAA1于点N，A1AC是等边三角形，点N是AA1的中点，连NB，则BNAA1，BNC是二面角B-AA1-C的平面角易知，CN=，BC=a在RtBCN中，tanBNC=，二面角B-AA1-C的正切值为【例9】 对棱都相等的四面体称为等腰四面体。 （1）试在长方体中，连接某些顶点作出一个等腰四面体，写作 ，并探索等腰四面体的性质。（至少写出三条，不需证明） 性质：四个面都是全等的三角形；各顶点到其所对面的距离都相等；它的体积是长方体体积的三分之一。 （2）证明等腰四面体的另一条性质：等腰四面体中，各侧面与底面所成二面角的余弦之和等于1。已知：四面体中，各侧面与底面所成二面角分别为。求证：证明：过作底面，为垂足，连接， 设二面角为，则，设二面角为，则，设二面角为，则，【空间的距离练习】一、选择题1正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为( )2三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，ABC=90,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为( )A. B. C.2.6D.2.4二、填空题3如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_.4如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角EABC的度数为30，那么EF与平面ABCD的距离为_.三、解答题5.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：(1)求证：平面A1BC1平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B1到平面A1BC1的距离.6已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45,AB=a,求：(1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1EAC的体积.7如图，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F.(1)求点A到平面B1BCC1的距离；(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.8如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=,AB= AD=a,ADC=arccos,PA面ABCD且PA=a.(1)求异面直线AD与PC间的距离；(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为.【空间的距离参考答案】一、1.解析：过点M作MMEF,则MM平面BCFMBE=MBCBM为EBC为角平分线，EBM=45,BM=,从而MN=答案：A2.解析：交线l过B与AC平行，作CDl于D，连C1D，则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD=,RtC1CD中易求得C1D=2.6答案：C二、3.解析：以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=a,PQAB,同理可得PQCD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在RtAPQ中，PQ=a答案：a4.解析：显然FAD是二面角EABC的平面角，FAD=30,过F作FG平面ABCD于G，则G必在AD上，由EF平面ABCD.FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=.答案：三、5.(1)证明：由于BC1AD1，则BC1平面ACD1同理，A1B平面ACD1，则平面A1BC1平面ACD1(2)解：设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离.易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=,则sinA1BC1=,则S=,由于，则Sd=BB1,代入求得d=,即两平行平面间的距离为.(3)解：由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于.6.解：(1)连结DB交AC于O，连结EO，底面ABCD是正方形DOAC，又ED面ABCDEOAC，即EOD=45又DO=a，AC=a，EO=a，SEAC=a(2)A1A底面ABCD，A1AAC，又A1AA1B1A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线又EOBD1，O为BD中点，D1B=2EO=2aD1D=a，A1B1与AC距离为a(3)连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D面EACB1Q是三棱锥B1EAC的高，得B1Q=a7.解：(1)BB1A1E，CC1A1F，BB1CC1BB1平面A1EF即面A1EF面BB1C1C在RtA1EB1中，A1B1E=45，A1B1=aA1E=a,同理A1F=a,又EF=a，A1E=a同理A1F=a,又EF=aEA1F为等腰直角三角形，EA1F=90过A1作A1NEF，则N为EF中点，且A1N平面BCC1B1即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离A1N=又AA1面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为a=2，所求距离为2(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形.B1C1D1D,B1C1A1NB1C1平面ADD1A1BC平面ADD1A1得平面ABC平面ADD1A1，过A1作A1M平面ABC，交AD于M，若A1M=A1N，又A1AM=A1D1N，AMA1=A1ND1=90AMA1A1ND1,AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件.8.解：(1)BCAD,BC面PBC,AD面PBC从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.过A作AEPB，又AEBCAE平面PBC，AE为所求.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=aAE=a(2)作CMAB，由已知cosADC=tanADC=,即CM=DMABCM为正方形，AC=a,PC=a过A作AHPC,在RtPAC中，得AH=下面在AD上找一点F，使PCCF取MD中点F，ACM、FCM均为等腰直角三角形ACM+FCM=45+45=90FCAC,即FCPC在AD上存在满足条件的点F.