八年级数学上册 线段的垂直平分线知识点与同步训练（含解析）（新版）苏科版.doc

线段的垂直平分线2.1垂直平分线的概念和性质垂直平分线的概念：定义1：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）定义2：中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴。垂直平分线的性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段.2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.2.2垂直平分线的判定在同一平面内，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上2.3与垂直平分线有关的作图问题作法：如图（1） 分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；（2） 作直线CD，CD为所求直线 重难点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法考点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法易错点：垂直平分线的画法和角平分线的画法进行区分垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线。题模一：垂直平分线的概念和性质例2.1.1 如图，ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则BCE的周长为【答案】 13【解析】 DE是AB的垂直平分线，EA=EB，则BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13例2.1.2 如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_【答案】 6【解析】 DE是BC边上的垂直平分线，BE=CEEDC的周长为24，ED+DC+EC=24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，（AB+AC+BC）（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）（AE+DC+AC）DE=12，BE+BDDE=12，BE=CE，BD=DC，得，DE=6例2.1.3 如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，A=30，AB的垂直平分线交AC于D，则CBD的度数为_【答案】 45 【解析】 此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得BDC=60是解答本题的关键本题的解法很多，用底角75-30更简单些根据三角形的内角和定理，求出C，再根据线段垂直平分线的性质，推得A=ABD=30，由外角的性质求出BDC的度数，从而得出CBD=45AB=AC，A=30，ABC=ACB=75，AB的垂直平分线交AC于D，AD=BD，A=ABD=30，BDC=60，CBD=180-75-60=45故填45例2.1.4 已知ABC，BAC=110，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线且DE交BC于M点，FG交BC于N点，求MAN的度数。【答案】 见解析【解析】 设B=x，C=yBAC+B+C=180，110+B+C=180，x+y=70AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，DA=BD，FA=FC，EAD=B，FAC=CDAF=BAC-（x+y）=110-70=40（2）AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，DA=BD，FA=FC，DAF的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）题模二：垂直平分线的判定例2.2.1 如图，已知AC=AD，BC=BD，则（ ）A CD平分ACBB CD垂直平分ABC AB垂直平分CDD CD与AB互相垂直平分【答案】C【解析】 ，所以可推出，可推出，题模三：与垂直平分线有关的作图问题例2.3.1 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ所以直线PQ就是所求的垂线请回答：该作图的依据是_【答案】 到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，PA=AQ，PB=PB，点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，直线AB垂直平分线段PQ，PQAB【解析】 到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，PA=AQ，PB=PB，点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，直线AB垂直平分线段PQ，PQAB例2.3.2 阅读“作线段的垂直平分线”的作法，完成填空及证明已知：线段AB，要作线段AB的垂直平分线作法：（1）分别以A、B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点C、D；（2）作直线CD直线CD 即为所求作的线段AB的垂直平分线根据上述作法和图形，先填空，再证明已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=_=_【答案】 BC；BD；证明见解析【解析】 本题考察的是尺规作图由以上做法知 设CD、AB交于E，那么ACDBCD，从而，再由、，那么ACEBCE，从而且即这就证明了E是线段AB的中垂线例2.3.3 有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置（保留作图痕迹，不要求写出画法）【答案】 见解析【解析】 作图如下：C1，C2就是所求的位置随练2.1 如图，在RtABC中，B=90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E已知BAE=10，则C的度数为（）A 30B 40C 50D 60【答案】B【解析】 此题主要考查线段的垂直平分线的性质、直角三角形的两锐角互余、三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和利用线段的垂直平分线的性质计算通过已知条件由B=90，BAE=10AEB，AEB=EAC+C=2CED是AC的垂直平分线，AE=CEEAC=C，又B=90，BAE=10，AEB=80，又AEB=EAC+C=2C，C=40故选：B随练2.2 如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB若FA=5，则FB=_【答案】 5【解析】 由题意直线CD是线段AB的垂直平分线，点F在直线CD上，FA=FB，FA=5，FB=5随练2.3 如图，锐角三角形ABC中，BCABAC，小靖依下列方法作图：（1）作A的角平分线交BC于D点（2）作AD的中垂线交AC于E点（3）连接DE根据他画的图形，判断下列关系何者正确？_A DEACB DEABC CD=DED CD=BD【答案】B【解析】 依据题意画出右图可得知1=2，AE=DE，2=3，1=3，即DEAB故选B随练2.4 如图，两条公路OA和OB相交于O点，在AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）【答案】 见解析【解析】 如图所示：作CD的垂直平分线，AOB的角平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等随练2.5 阅读“作线段的垂直平分线”的作法，完成填空及证明已知：线段AB，要作线段AB的垂直平分线作法：（1）分别以A、B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点C、D；（2）作直线CD直线CD即为所求作的线段AB的垂直平分线根据上述作法和图形，先填空，再证明已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，求证：，CD平分ABABCD【答案】 BC；BD；见解析【解析】 该题考查的是全等三角形的判定与性质如图，连接AC、BC、AD、BD，由题得，在ACD和BCD中，ACDBCD（SSS）在ACE和BCE中，ACEBCE（SAS），且CD平分AB