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专题十四 函数与不等式【母题原题1】【2018浙江，15】已知R，函数f(x)=，当=2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_【答案】 (1). (1,4) (2). 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)0的解集是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【母题原题2】【2017浙江，17】已知，函数在区间1,4上的最大值是5，则a的取值范围是_【答案】【解析】，分类讨论：当时， ，函数的最大值，舍去；当时， ，此时命题成立；当时， ，则：或，解得： 或综上可得，实数的取值范围是【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：；，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论【母题原题3】【2016浙江，理18】已知，函数F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中minp，q= （）求使得等式F（x）=x22ax+4a2成立的x的取值范围；（）（）求F（x）的最小值m（a）；（）求F（x）在区间0,6上的最大值M（a）.【答案】（）；（）（）；（）试题解析：（）由于，故当时，当时，所以，使得等式成立的的取值范围为（）（）设函数，则，所以，由的定义知，即（）当时，当时，所以，【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式【思路点睛】（）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（）（）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（）根据的取值范围求出的最大值，进而可得【命题意图】高考对本部分内容的以考查能力为主，重点考查分段函数、绝对值的概念、基本函数的性质、不等式的解法，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.【命题规律】函数是高考命题热点之一，往往以常见函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等.由于导数的加入，除将函数与导数相结合考查外，仍有对函数独立的考查题目，难度基本稳定在中等或以下.【答题模板】求解函数不等式问题，一般考虑：第一步：化简函数，明确函数的构成特点.当呈现方式含绝对值式时，要利用绝对值的概念化简函数；第二步：根据函数特征，联想函数的性质，确定求解方法.根据函数的构成特点，结合题目要求，联想函数的单调性、零点的概念、不等式的解法、不等式恒成立问题的解法等；第三步：运算求解.【方法总结】1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解3.确定函数最值的方法：（1）单调性法：考查函数的单调性，确定函数的最值点，便可求出函数相应的最值.（2）图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.（3）分段函数的最值：将每段函数的最值求出，比较大小确定函数的最值.（4）导数法：对于一般的可导函数，可以利用导数求出函数的极值，并与端点值进行大小比较，从而确定函数的最值.4.分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数问题时应注意以下三点：(1)明确分段函数的分段区间(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系(3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内5.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想1【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】设函数f(x)=minx-2,x2,x+2，其中minx,y,z表示x,y,z中的最小者.下列说法错误的（ ）A. 函数f(x)为偶函数 B. 若x1,+)时，有f(x-2)f(x)C. 若xR时，f(f(x)f(x) D. 若x-4,4时，f(x-2)f(x)【答案】D【解析】分析：fx的图像可由三个函数y=x-2,y=x2,y=x+2的图像得到（三图垒起，取最下者），然后依据图像逐个检验即可详解：在同一坐标系中画出y=x-2,y=x2,y=x+2的图像（如图所示），故fx的图像为图中粗线所示fx的图像关于y轴对称，故fx为偶函数，故A正确当1x2时，-1x-20，fx-2=f2-x2-x=fx；当2x3时，0x-21，fx-2x-2=fx；当3x4时，1x-22，fx-2=2-x-2=4-xx-2=fx；当x4时，x-22，此时有fx-2fx，故B成立从图像上看，当x0,+时，有fxx成立，令t=fx，则t0，故ffxfx，故C成立取x=32，则f-12=f12=14，f32=12，fx-20，函数y=fx-a有四个不同的零点，从小到大依次为x1,x2,x3,x4则x1x2+x3+x4的取值范围为（ ）A. (4,4+e) B. 4,4+e) C. 4，+ D. -,4【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析，将函数的大致图像画出来，可以判断出函数有四个零点时对应参数a的范围，并且可以断定有两个正根，两个负根，以及两个负根和为定值，从而确定出其积的取值范围，两个正根可以解方程，之后用两根和来断定，最后根据题的条件，确定出其取值范围.所以x1x2+x3+x4(4,4+e)，故选A.点睛：该题考查的是有关函数零点的问题，涉及到的知识点由函数图像的对称性，对勾函数图像的走向，函数零点个数向向函数图像交点个数靠拢，总之要想最对改题目，必须将基础知识抓牢.3【2018届福建省莆田市第二次检测】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x)=x-x2,0x2,2-xex,x2,若函数F(x)=f(x)-m有六个零点，则实数m的取值范围是（ ）A. (-1e3,14) B. (-1e3,0)(0,14) C. (-1e3,0 D. (-1e3,0)【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，注意分段函数要明确相应的式子，当0x2时，很容易画出抛物线段，当x2时，利用导数研究函数的单调性，利用函数解析式，确定出函数值的符号，从而画出函数的图像，利用偶函数的图像的对称性，得到函数fx的图像与直线y=m在y轴右侧有三个交点，观察图像可得结果.详解：画出函数的图像，当0x2时，很容易画出抛物线段，利用导数研究函数y=2-xex(x2)的图像的走向，从而确定出其在2,3)上单调减，在3,+)上单调增，但是其一直落在x轴下方，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数F(x)=f(x)-m有六个零点，等价于有三个正的零点，相当于函数fx的图像与直线y=m在y轴右侧有三个交点，观察图像可知m的取值范围是(-1e3,0)，故选D.点睛：该题考查的是有关函数零点的个数问题，在求解的过程中，将零点的个数问题转化为函数图像与直线的交点个数问题，结合偶函数的图像的对称性，得到在y轴右侧有三个交点，利用导数研究函数的单调性，得到函数图像的走向，从而观察图像求得结果.4【2018届天津市滨海新区七所重点学校联考】已知函数fx=xx-a+2x，若存在a2，3，使得关于x的函数y=fx-tfa有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（ ）A. 98，54 B. 1，2524 C. 1，98 D. 1，54【答案】B【解析】a2,3,fx=x2+2-ax,xa-x2+2+ax,xa,当xa时,fx=x2+2-ax,其对称轴x=a-22a,则函数在a,+上为增函数,此时fx的值域为2a,+;当xa时,fx=-x2+2+ax,其对称轴x=a+22a,则函数在-,a+22上为增函数,此时函数的值域为-,a+224,函数在a+22,a上为减函数,值域为2a,a+224.由于关于x的函数y=fx-tfa有三个不同的零点,所以2at2a,a+224,t1,a+228a.而a+228a=18a+4a+4为增函数,故t3函数gx=b-f3-x，其中bR，若函数y=fx-gx恰有4个零点，则实数b的取值范围是（ ）A. -114,+ B. -3,-114 C. -,-114 D. -3,0【答案】B【解析】y=fx+f3-x-b=0,fx+f3-x=b.构造函数Fx=fx+f3-x=-x2-x-3,x3,画出函数Fx的图象如下图所示,其中A,B的坐标分别为-12,-114,72,-114.故当b-3,-114时,与y=b有4个交点,故选B.7.【2018届浙江省绍兴市5月调测】设函数f(x)=1x-1-a-4x+a+1有两个零点，则实数a的值是_.【答案】-12,72,4【解析】分析：将原问题进行换元，转化为两个函数有两个交点的问题，然后结合函数图像的特征整理计算即可求得最终结果.详解：不防令t=1x-1，则x=1+1t.原问题转化为函数y1=t-a+a与函数y2=41+1t-1=4t+3的图像有2个交点，函数y2=4t+3的图像是确定的，如下所示(三个函数图像对应满足题意的三种情况)，而函数y1=t-a+a是一动态V函数，顶点轨迹y=x，当动态V函数的一支与反比例函数相切时，即为所求.联立y1=a-t+a=-t+2ay=4t+3可得t2+3-2at+4=0，则满足题意时：=3-2a2-16=0，解得：a1=-12,a2=72，注意到当V函数的顶点为4,4时满足题意，此时a=4.综上可得：实数a的值是-12,72,4.8【2018届浙江省温州市一模】已知函数f(x)=|x+1x|+|m-x+1m-x|-a有六个不同零点，且所有零点之和为3，则a的取值范围为_【答案】a5【解析】根据题意，有fx=fm-x，于是函数fx关于x=12m对称，结合所有的零点的平均数为12，可得m=1，此时问题转化为函数gx=x+1x+1-x+11-x，在12,+上与直线y=a有3个公共点，此时gx=1x+11-x+1,12x1，当12x0，于是函数gx单调递增，且取值范围是5,+，当x1时，函数gx的导函数gx=2-1x2-11-x2，考虑到gx是1,+上的单调递增函数，且limx1+gx=-,limx+gx=2，于是gx在1,+上有唯一零点，记为x0，进而函数gx在1,x0上单调递减，在x0,+上单调递增，在x=x0处取得极小值n，如图：接下来问题的关键是判断n与5的大小关系，注意到，nf32=32+23+12+2=1435 .9【2017届浙江省台州市高三上学期期末】已知函数f(x)=|x+1x-ax-b|(a,bR),当x12,2时，设f(x)的最大值为M(a,b)，则M(a,b)的最小值为_【答案】14【解析】设M=fmax(x)，则M=maxf(12),f(1),f(2)，由于Mf(12)=|52-12a-b|=12|a+2b-5|,Mf(1)=|2-a-b|,Mf(2)=12|4a+2b-5|，则M|2-a-b|,23M23f(12)=13|a+2b-5|,13M13f(2)=16|4a+2b-5|，所以将以上三式两边相加可得2M|2-a-b|+13|a+2b-5|+16|4a+2b-5|2-53-56|，即2M12M14，应填答案14.10.【2018届江苏省扬州树人学校模拟四】已知函数f(x)=|x+a|+|x-1|,x0,x2-ax+2,x0的最小值为a，则实数a的取值集合为_【答案】-23-2,2.函数f(x) 最小值为a0，a=2当0-a1，即-1a0时，则f(x)=-2x-a+1,0x-aa+1,-ax12x+a-1,x1x2-ax+2,x0，f(x)在(-,0上上先减后增，最小值为fa2=2-a24；f(x)在(0,+)上的最小值为a+10函数f(x) 最小值为a1，即a-1时，则f(x)=-2x-a+1,0x1-a-1,1x0函数f(x) 最小值为a0（舍去）综上可得a=-2-23或a=2，实数a的取值集合为-23-2,211【2018届湖南省岳阳市第一中学一模】已知fx=-x-a2,x0,-x2-2x-3+a,x0,若xR，fxf0恒成立，则a的取值范围为_【答案】-2,0【解析】分析：由题意若xR,fxf0，即函数fxmax=-a2，根据分段函数及二次函数的图象与性质，即可求解实数a的取值范围.12【浙江省温州市十五校联合体2017-2018学年高二下期中联考】已知函数fx=x2-ax-1-1aR（1）若fx0在xR上恒成立，求a的取值范围；（2）求fx在-2,2上的最大值M(a).【答案】(1)a-2；(2)Ma=0a33-a0a33-3aa1时，ax+1；当x1,-x+1,x1时，x2，a2当x-2，所以x-2，故此时a-2.综合，得所求实数a的取值范围是a-2.（2）fx=x2-ax+a-11x2x2+ax-a-1-2x1得：f(1)=0，f(2)=3-a，f(-2)=3-3a当a3时，a232，-a2-32，f-2f2f1=0，Ma=0；当时0a3，f-2f2，f1f2=3-a，即Ma=3-a当a0时，a20，f1f2f-2=3-3a，即Ma=3-3a所以Ma=0a33-a0a33-3aa0
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