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第二十二章 22.1.6二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质知识点1:二次函数的一般式y=ax2+bx+c与顶点式y=a(x-h)2+k之间的关系1.转化方法:y=ax2+bx+c=a+c =a+c =a+.对照y=a(x-h)2+k,这里h=-,k=.即抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-,顶点坐标为.2.将一般式配成顶点式的一般步骤为:(1)将二次项和一次项结合在一起,并提取二次项系数;(2)将括号中的二次二项式加上一次项系数一半的平方,并在常数项中减去所配的常数;(3)将配好的函数解析式写成y=a(x-h)2+k的形式.知识点2:二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质二次函数y=ax2+bx+c的图象的“五点法”作图.(1)用配方法求出抛物线的顶点坐标和对称轴,在坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴;(2)设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A,B,与y轴的交点为C,再找出C关于对称轴的对称点D,把A,B,C,D和顶点M共五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下无限伸展,就得到函数图象,这种作图方法简称“五点法”.二次函数y=ax2+bx+c的性质主要从图象开口方向、对称轴、顶点坐标,函数的增减性,函数的最大(小)值这几个方面来研究,列表归纳如下:二次函数y=ax2+bx+ca0a0示意图开口方向向上向下对称轴直线x=-直线x=-顶点坐标增减性在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小最大(小)值当x=-时,y取得最小值当x=-时,y取得最大值拓展延伸：由二次函数的图象可知,在抛物线y=ax2+bx+c上纵坐标相等的两个点均关于对称轴对称.如已知纵坐标相等的两点的横坐标分别为x1,x2,可求出抛物线的对称轴为直线x=.反之,若已知对称轴和一点,也能求出这个点关于对称轴的对称点.知识点3:运用待定系数法求二次函数的一般式1.一般式是最常见的二次函数的表达形式,即一般形式,课本上也是以一般形式来定义二次函数的.当b=0,c=0时,二次函数的解析式变为y=ax2,是最简单的二次函数,它的图象以原点为顶点,以y轴为对称轴;当b=0,c0时,二次函数的解析式变为y=ax2+c,其图象以y轴为对称轴,以点(0,c)为顶点;当b0,c=0时,二次函数的解析式变为y=ax2+bx,其图象一定经过原点.2.已知抛物线上三个点的坐标,通常设一般式来求其解析式.3.运用待定系数法求一般式的一般步骤:(1)将三个点的坐标分别代入二次函数的解析式,得到一个关于a,b,c的三元一次方程组.(2)解这个三元一次方程组,求出a,b,c的值.(3)将a,b,c的值代入函数解析式,得出函数解析式.拓展提高：通常解析式中有几个待定系数,往往就需要几个点的坐标来求出解析式.知识点4:运用待定系数法求二次函数的顶点式通常已知抛物线的顶点坐标、对称轴或函数最值时,选用设顶点式来求抛物线的解析式.拓展延伸：(1)合理选用函数解析式会使求解过程很简捷,有时同一条件下可选用多种解析式.(2)题目给出的条件有时并不直截了当拿来就可以用,而是需要通过转化,如已知函数最值和图象的对称轴,可推知顶点坐标,从而选用顶点式,另外已知抛物线的对称轴和抛物线在x轴上截得的线段长,可推知抛物线与x轴两交点的坐标,从而选用两点式.考点1：二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数之间的关系【例1】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列关系不正确的是()A.a0 C.a+b+c0 D.b0答案:C点拨：由二次函数的图象可知,抛物线开口向下,可判断a0;抛物线的对称轴在y轴左侧,则-0,结合a0可判断b0,因此A,B,D均正确;当x=1时,由图象知a+b+c0,由对称轴在y轴的左侧可知b0,由此可以判断该一次函数的图象经过第二、三、四象限,即不经过第一象限.本题将一次函数和二次函数的图象及其性质结合在一起,是一个综合性问题.在二次函数的一般形式y=ax2+bx+c中,a的符号由其图象开口方向判断,b的符号由a以及其图象的对称轴的位置判断,c的符号由二次函数图象与y轴的交点位置来判断.一次函数y=ax+b中,a的符号由一次函数的增减性判断,b的符号由直线y=ax+b与y轴的交点位置来判断.考点3:运用两点式y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数,且a0)求二次函数的解析式【例3】已知抛物线与x轴的两个公共点的坐标分别为(1-,0),(1+,0),并且与y轴交于点(0,-2),求此抛物线的解析式.解:抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为(1-,0),(1+,0).设此抛物线的解析式为y=a(x-1+)(x-1-).点(0,-2)在此抛物线上,a(-1+)(-1-)=-2,解得a=2,此抛物线的解析式为y=2(x-1+)(x-1-),即y=2x2-4x-2.点拨：已知抛物线与x轴的两个公共点的坐标分别为(x1,0)和(x2,0)时,我们往往设两点式,即y=a(x-x1)(x-x2),如果与x轴只有一个公共点(x0,0),那么往往设此抛物线的解析式为y=a(x-x0)2,再由抛物线上的另一个点的坐标求出此抛物线的解析式.
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