2019-2020年三年级数学 奥数讲座 一笔画（二）.doc

2019-2020年三年级数学 奥数讲座 一笔画（二）利用一笔画原理，我们可以解决许多有趣的实际问题。例1 下图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。如果能，应从哪开始走？分析与解：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右图。能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右图是否一笔画问题。下图中只有A，D两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A或D展室开始走。例1的关键是如何把一个实际问题变为判断是否一笔画问题，就像欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时做的那样。例2 一个邮递员投递信件要走的街道如下图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？分析与解：图中共有8个奇点，必须在8个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画。在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左上图中虚线所示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米。走法参考右上图(走法不唯一)。例3下图中每个小正方形的边长都是100米。小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？分析与解：这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解。首先，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，B都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点。所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如下图。或例2与例3的图中各有8个奇点，都是通过减少奇点个数，将多笔画变成一笔画的问题，但它们采用的方法却完全不同。因为例2中只要求走遍所有的线段，没有要求不能重复，所以通过添加线段的方法(实际是重复走添加线段的这段路)，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画。而在例3中，要求不能走重复的路，所以不能添加线段，只能通过减少线段的方法，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画。区别就在于能否重复走！能“重复”就“添线”，不能“重复”就“减线”。例4在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见下图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D。已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？分析与解：许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题。这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复。可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜。问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题。图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜。 附送：2019-2020年三年级数学 奥数讲座 一题多解专题简析：一题多解是指从不同角度，运用不同的思维方式来解答同一道题的思考方法，经常进行一题多解的训练，可以锻炼我们的思维，使头脑更灵活。在进行一题多解的练习时，要根据题目的具体情况，首先确定思维的起点，然后沿着不同的思考方向，就能找到不同的解题方法。在寻求一题多解时，还应该特别选择解决问题的简便方法和最佳途径。例题1 有一个正方形池塘，四周种树，每边种8棵，每个顶点种一棵，每两棵树之间距离都相等。四周一共种了多少棵树？思路导航：方法一：根据条件可知，每边种8棵，4边就是84=32棵，但每边起点一棵算了两次，一共多算了4棵，所以四周一共种了324=28棵树。方法二：我们可以先数正方形的一组对边，包括两个顶点的，每边种8棵；再数另一组对边的，不数两个顶点的，每边种82=6棵。所以，一共有：8262=28棵。方法三：把正方形四边拉直，每边种8棵，就是把每边分成了7等份，4边共分成了28等份，每一等份对应一棵树，所以共有28棵树。练 习 一1在一个正方形的菜地四周围篱笆，每个顶点插一根，每两根篱笆之间的距离相等，每边有12根篱笆，四周一共围了多少根篱笆？2有一个三角形花圃周围种松树，每个顶点种一棵，每边种10棵，每两棵之间距离相等，四周一共种了多少棵？3少先队员表演节目，围成一个正方形，每个顶点站1人，已知每边站6人，一共站了多少人？例题2 一瓶花生油连瓶一共重800克，吃掉一半油，连瓶一起称，还剩550克。瓶里原有多少克油？空瓶重多少克？思路导航：方法一：根据条件可知，花生油和瓶的重量油800克变为550克，是因为吃掉了一半油，半瓶油的重量是800550=250克，一瓶油的重量是2502=500克，油瓶的重量是800500=300克。方法二：根据条件可知，半瓶油连瓶重550克，从800克中减去半瓶油的重量800550=250克，550250=300克即为瓶的重量，油的重量为：800300=500克。方法三：根据“半瓶油连瓶共重550克”可求出一瓶油和两个瓶共重5502=1100克，所以瓶重：1100800=300克，油重800300=500克。练 习 二1一袋大米，连袋共重50千克。吃掉一半后，连袋剩下27千克。大米重多少千克？袋重多少千克？2一筐苹果连筐共重85千克，倒去一半后，连筐共重45千克。苹果和筐各重多少千克？3一筐橘子，连筐共重45千克。先拿一半送给幼儿园，再拿出剩下的一半给敬老院的老人，余下的橘子连筐重15千克。橘子和筐各重多少千克？例题3 甲班有42人，乙班有35人，开学时来了25位新同学，怎样分才能使两班学生人数相等？思路导航：方法一：根据已知条件，我们可求出转来了25位同学后的总人数为：423525=102人，再求出平均每班为1022=51人，再根据甲班乙班原有的人数分别求出甲班分了：5142=9人，乙班分了：5135=16人。方法二：根据已知条件，我们可先求出乙班比甲班少4235=7人，那么25位新同学中我们可先分7人给乙班，使乙班和甲班一样多，这样就剩下257=18人。剩下的18人，我们再平均分给两班，每班各分182=9人。所以，甲班共分了9人，乙班共分了97=16人。练 习 三1小明有18枝铅笔，小红有15枝铅笔，妈妈又买来13枝铅笔，怎样分，才能使两人铅笔一样多？2甲仓库有粮食420吨，乙仓库有粮食370吨，又运来粮食180吨，怎样分，才能使两仓库粮食一样多？3有甲、乙两筐苹果，甲筐有苹果25千克，乙筐有苹果18千克，又买来13千克苹果，怎样分才能使两筐苹果一样多？例题4 从小青家经小红和小强家到学校有450米，从小青家到小强家有390米，从学校到小红家有320米。从小红家到小强家有多少米？思路导航：根据题意，画出线段图。方法一：从小青家到学校有450米，到小强家有390米，说明小强家到学校有450390=60米，又因为小红家到学校有320米，所以小红家到小强家有32060=260米。方法二：根据上面线段图和已知条件可知：从小青家到学校有450米，从学校到小红家有320米，说明小青家到小红家有450320=130米。又因为小青家到小强家有390米，所以小红家到小强家有390320=260米。方法三：根据上面线段图和已知条件可知：从小青家到小强家有390米，从学校到小红家有320米。我们可求出小青家到学校与小红家到小强家的距离为390320=710米，从中减去小青家到学校的距离450米，就是小红家到小强家的距离：710450=260米。练 习 四1亮亮经过小明、小丹家到电影院共500米，从亮亮家到小丹家是270米，从小明家到电影院是410米。从小明家到小丹家多少米？2小敏外出旅游乘车回家，从汽车站经医院、商店到家共1000米，从汽车站到商店是620米，从医院到家是690米。那么医院到商店多少米？3有两块木板，一块长70厘米，另一块长80厘米。如果把两块木板重叠后钉成一块木板，全长130厘米。重叠部分长多少厘米？例题5 小青以均匀的速度在公路上散步，从第1根电线杆走到第10根电线杆共用了12分钟，如果她走24分钟，应走到第几根电线杆？思路导航：方法一：根据题意，画出线段图。从图上可以看出，由于每个间隔所用的时间无法直接求出，因而只有从时间关系上加以考虑，24分钟正好是12分钟的2倍，就相当于小青先走12分钟，又继续走12分钟。注意第10根（图中A处）既是前12分钟的终点，又是后12分钟的起点，显然被重复算了一次。因此，小红如果走24分钟，应走到1021=19根电线杆处。方法二：根据题意，画出线段图。由图可知，12分钟走到第10根电线杆，共走了101=9个间隔，24分钟正好是12分钟的2倍，那么24分钟就走了92=18个间隔。要求应走到第几根电线杆，我们要加上起点B点那根电线杆，因而应走到第181=19根电线杆。练 习 五1玲玲上楼，从一楼到三楼用6分钟，如果她走12分钟，应走到几楼？2路的一旁插着彩旗，如果从第一面旗走到第4面旗要用12分钟，那么走24分钟能从第一面走到第几面？3小芳和妈妈用均匀的速度在马路上散步，他们从第1根电线杆走到第12根电线杆，整整用了8分钟。仍用这样的速度，再走8分钟，他们会走到第几根电线杆？