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广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017届高三5月联合模拟理科数学一、选择题：共12题1若集合A=x|y=x12，B=x|y=ln(x+1)，则AB=A.0,+)B.(0,1)C.(-1,+)D.(-,-1)【答案】A【解析】本题主要考查集合的基本运算、对数函数.A=xy=x12=x|x0，B=xy=lnx+1=x|x-1，则AB=x|x0.2下面是关于复数z=2-i的四个命题：p1：|z|=5；p2：z2=3-4i；p3：z的共轭复数为-2+i；p4：z的虚部为-1，其中真命题为A.p2，p3B.p1，p2C.p2，p4D.p3，p4【答案】C【解析】本题主要考查复数的共轭复数、模、四则运算、命题真假的判断.因为z=2-i，所以|z|=5，则p1是假命题；又z2=(2-i)2=3-4i,故p2是真命题；z=2-i的共轭复数为2+i，故p3是假命题，因此排除A、B、D，则答案为C.3在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为线段BC上的点，则AEDE的最小值为A.12B.15C.17D.16【答案】B【解析】本题主要考查平面向量的数量积、函数的性质，考查了逻辑推理能力与转化思想.设BE=tBC(0t1),则AE=AB+BE=AB+tBC，DE=DC+CE=AB-(1-t)BC,且ABBC=0,则AEDE=4t2-4t+16=4(t-12)2+15,由二次函数的性质可知，当t=12时，AEDE取得最小值15.4如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个；与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；去年同期的GDP总量前三位是江苏、山东、浙江；2016年同期浙江的GDP总量也是第三位.A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查由样本数据估计总体数据、统计图，考查了分析问题与解决问题的能力. 2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个，江苏与河南，分别居第一位与第四位，故错误；由图知，正确；由图计算2016年第一季度同期五省的GDP总量，前三位是江苏、山东、浙江，故正确；由图计算2016年同期五省的GDP总量，浙江的GDP总量也是第三位，故正确，故答案为B.5若函数f(x)=2sinx(01)在区间0,3上的最大值为1，则=A.14B.13C.12D.32【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的单调性，考查了逻辑推理能力.因为x0,3,所以x0,3，又因为函数f(x)=2sinx(0caB.bacC.abcD.cab【答案】B【解析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质,考查了函数的基本性质的应用.因为a=log113=log3(0,1),b=e31,c=log3cos15ac7某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B=A.15B.29C.31D.63【答案】D【解析】本题主要考查当型循环结构程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序：A=1,B=3;B=7,A=2;B=15,A=3;B=31,A=4;B=63,A=5,此时不满足条件,循环结束,输出B=638在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，b=3，A=30，B为锐角，那么角A:B:C的比值为A.1:1:3B.1:2:3C.1:3:2D.1:4:1【答案】B【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理，考查了计算能力.因为a=1，b=3，A=30，B为锐角，所以由正弦定理可得sinB=bsinAa=32,则B=60，所以C=90，则A:B:C=1:2:39某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A.20+45B.12+45C.20+25D.12+25【答案】A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是一个底面直角边长分别为2、4的直角三角形、高是2的直三棱柱，所以该几何体的表面积S=21224+22+4+25=20+4510在三棱锥A-BCD中，平面ABC平面BCD，BAC与BCD均为等腰直角三角形，且BAC=BCD=90，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30的角，则线段PA的长度的取值范围是A.(0,22)B.(0,63)C.22,2D.(63,2)【答案】B【解析】本题主要考查异面直线所成的角、空间向量、线面与面面垂直，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.设BC的中点为O,连接OA,因为BAC=90，BC=2，所以OA=1，故建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，则O(0,0,0),A(0,0,1),B(-1,0,0),C(1,0,0),P(s,0,t),Q(1,m,0)(s0,m0),则PQ=(1-s,m,-t),AC=(1,0,-1),PA=(-s,0,1-t)，所以PQAC=1-s+t,|PQ|=(1-s)2+m2+t2,AC=2,所以(1-s)2+m2+t22cos30=1-s+t，即3m2=4t1-s-1-s2-t20,结合t-s=1可得41-s22+2s2,则s13，则PQ=1-t2+s2=2s0,cos0,则r=2b,由截y轴所得弦长为2可得a2+1=r2,则a2=2b2-1,又d=|a-2b|5=a2-4ab+4b25a2-2a2+b2+4b25=15,当且仅当a=b=1时,d取得最小值,此时r=2,则圆的面积为2.三、解答题：共7题17已知各项均为正数的等差数列an满足：a4=2a2，且a1，4，a4成等比数列，设an的前n项和为Sn.()求数列an的通项公式；()设数列Snn2n的前n项和为Tn，求证：Tn0，即a1+3d=2(a1+d),a1(a1+3d)=16,解得a1=2，d=2，所以数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.()证明：由()知a1=d=2，则Sn=2n+n(n-1)22=n2+n，bn=Snn2n=n+12n.Tn=221+322+423+n+12n，(*)12Tn=222+323+n2n+n+12n+1，(*)12Tn=221+122+123+12n-n+12n+1，Tn=2+121+122+12n-1-n+12n=2+12(1-12n-1)1-12-n+12n=3-12n-1-n+12n3.Tn3.【解析】本题主要考查等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,考查了错位相减法,逻辑推理能力与计算能力.(1) 根据题意，等差数列an中，设公差为d，则有a1+3d=2(a1+d)a1(a1+3d)=16,求解易得结论;(2)求出an的前n项和为Sn,则bn=n+12n,利用错位相减法,再结合等比数列的前n项和公式求解,易得结论.18某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销量y(单位：万件)之间的关系如表：()在图中画出表中数据的散点图；()根据()中的散点图拟合y与x的回归模型，并用相关系数甲乙说明；()建立y关于x的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？.附注：参考数据：i=14(yi-y)232.6，52.24，i=14xiyi=418.参考公式：相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2，回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx.【答案】()作出散点图如图：()由()散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得：x=52，y=692，i=14xiyi=418，i=14(yi-y)232.6，i=14xi2=30，i=14(xi-x)(yi-y)=i=14xiyi-xi=14yi=418-52138=73，i=14(xi-x)2=i=14xi2-nx2=30-4(52)2=52.24，r=i=14(xi-x)(yi-y)i=14(xi-x)2i=14(yi-y)2=732.2432.60.9996.y与x的相关系数近似为0.9996，说明y与x的线性相关程度相当大，可以用线性回归模型拟合y与x的关系.()由()知：x=52，y=692，i=14xiyi=418，i=14x2=30，i=14(xi-x)2=5，b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2=735，a=y-bx=692-73552=-2，故y关于x的回归直线方程为y=735x-2，当x=5时，y=7355-2=71，所以第5年的销售量约为71万件.【解析】本题主要考查回归分析及其应用,考查了分析问题与解决问题的能力.(1)根据所给数据易得散点图;(2)利用所提供的数据与公式求出y与x的相关系数r,即可得出结论;(3)由题中所提供的数据,分别求出b,a的值,则可得回归直线方程,再将x=5代入回归直线方程可得结论.19如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC=2FB.()证明：平面AEF平面ACC1A1；()若AB=EC=2，求二面角C-AF-E的余弦值.【答案】()证明：取线段AE的中点G，取线段AC的中点M，连接MG，GF，BM，则MG=12EC=BF，又MG/EC/BF，MBFG是平行四边形，故MB/FG.MBAC，平面ACC1A1平面ABC，平面ACC1A1平面ABC=AC，MB平面ACC1A1，而BM/FG，FG平面ACC1A1，FG平面AEF，平面AEF平面ACC1A1.()以MA、MB、MG为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系M-xyz，则A(1,0,0)，C(-1,0,0)，E(-1,0,2)，F(0,3,1)，AC=(-2,0,0)，AF=(-1,3,1)，AE=(-2,0,2)，设平面ACF的一个法向量m=(x1,y1,z1)，则有mAC=0,mAF=0,即-2x1=0,-x1+3y1+z1=0,令y1=1，则m=(0,1,-3)，设平面AEF的一个法向量n=(x2,y2,z2)，则有nAE=0,nAF=0,即-2x2+2z2=0,-x2+3y2+z2=0,令x2=1，则n=(1,0,1)，设二面角C-AF-E的平面角，则cos=|cos|=|mn|m|n|=|-3|22=64.【解析】本题主要考查线面,面面垂直的判定与性质,二面角,空间向量的应用,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.(1) 取线段AE的中点G，取线段AC的中点M，连接MG，GF，BM，证明四边形MBFG是平行四边形，再证明MB平面ACC1A1,则结论易得;(2) 以MA、MB、MG为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系M-xyz，求出平面ACF的一个法向量m, 平面AEF的一个法向量n, 设二面角C-AF-E的平面角，利用向量的夹角公式cos=|cos|=|mn|m|n|求解即可.20已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率eb0)，焦距为2c，由题设条件知，4a=8，a=2，2122cb=23，b2+c2=a2=4，所以b=3，c=1，或b=1，c=3(经检验不合题意舍去)，故椭圆C的方程为x24+y23=1.()当y0=0时，由x024+y023=1，可得x0=2，当x0=2，y0=0时，直线l的方程为x=2，直线l与曲线C有且只有一个交点(2,0).当x0=-2，y0=0时，直线l的方程为x=-2，直线l与曲线C有且只有一个交点(-2,0).当y00时，直线l的方程为y=12-3x0x4y0，联立方程组y=12-3x0x4y0,x24+y23=1.消去y，得(4y02+3x02)x2-24x0x+48-16y02=0.由点P(x0,y0)为曲线C上一点，得x024+y023=1，可得4y02+3x02=12.于是方程可以化简为x2-2x0x+x02=0，解得x=x0，将x=x0代入方程y=12-3x0x4y0可得y=y0，故直线l与曲线C有且有一个交点P(x0,y0)，综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为P(x0,y0).【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质,直线与圆锥曲线的位置关系,考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1) 由题设条件知，4a=82122cb=23，且ea1，A=f(a+b2)，B=f(a)+f(b)2，C=bf(b)-af(a)b-a-1，试判断A，B，C三者是否有确定的大小关系，并说明理由.【答案】()f(x)=mx-nx2.由于f(1)=n=0,f(1)=m-n=1,所以m=1，n=0.()由()知f(x)=lnx.(i)A-B=lna+b2-lna+lnb2=lna+b2ab1=0,而ab，故AB.(ii)A-C=lna+b2-(blnb-alnab-a-1)=1b-a(b-a)lna+b2-blnb+alna+b-a.设函数g(x)=(x-a)lnx+a2-xlnx+alna+x-a，x(0,+)，则g(x)=lnx+a2x+x-ax+a，g(x)=a(x-a)x(x+a)2.当xa时，g(x)0，所以g(x)在(a,+)上单调递增；又g(x)g(a)=0，因此g(x)在(a,+)上单调递增.又ba，所以g(b)g(a)=0，即A-C0，即AC.(iii)C-B=blnb-alnab-a-1-lna+lnb2=1b-a(a+b2lnb-a+b2lna+a-b).设h(x)=x+a2lnx-x+a2lna-x+a，x(0,+).则h(x)=12lnx+a2x-12lna-12，有h(x)=x-a2x2.当xa时，h(x)0，所以h(x)在(a,+)上单调递增，有h(x)h(a)=0.所以h(x)在(a,+)上单调递增.又ba，所以h(b)h(a)=0，即C-B0，故CB.综上可知：ACB.【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义,函数的性质,基本不等式,考查了函数的构造,考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意可得f(1)=0f(1)=1,求解可得结论;(2) 由()知f(x)=lnx,(i)A-B=lna+b2-lna+lnb2,利用对数的运算性质与基本不等式求解可得结论; (ii)A-C=1b-a(b-a)lna+b2-blnb+alna+b-a, 设函数g(x)=(x-a)lnx+a2-xlnx+alna+x-a，x(0,+)，求导并判断函数的单调性,易得结论; (iii)C-B=1b-a(a+b2lnb-a+b2lna+a-b), 设h(x)=x+a2lnx-x+a2lna-x+a，x(0,+),同理求解即可.22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cos,y=3sin(为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos(+3)=3.()求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；()设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值.【答案】()因为直线l的极坐标方程为cos(+3)=3，即(12cos-32sin)=3，即x-3y-23=0.曲线C的参数方程为x=3cosy=3sin(是参数)，利用同角三角函数的基本关系消去，可得x29+y23=1.()设点P(3cos,3sin)为曲线C上任意一点，则点P到直线l的距离d=|3cos-3sin-23|2=|32cos(+4)-23|2，故当cos(+4)=-1时，d取最大值为32+232.【解析】本题主要考查参数方程与极坐标,考查了参直与极直互化,点到直线的距离公式,三角函数.(1)消去参数可得曲线C的普通方程;将直线l的极坐标方程展开,再利用公式x=cos,y=sin化简可得直线l的直角坐标方程;(2) 设点P(3cos,3sin)为曲线C上任意一点，利用点到直线的距离公式求出点P到直线l的距离d=|3cos-3sin-23|2,结合三角函数的性质求解即可.23已知函数f(x)=|x-a|+12a(a0).()若不等式f(x)-f(x+m)1恒成立，求实数m的最大值；()当a12时，函数g(x)=f(x)+|2x-1|有零点，求实数a的取值范围.【答案】()f(x+m)=|x+m-a|+12a.f(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a|m|，f(x)-f(x+m)1恒成立当且仅当|m|1，-1m1，即实数m的最大值为1.()当a12时，g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+12a=-3x+a+12a+1,x12.g(x)min=g(12)=12-a+12a=-2a2+a+12a0，0a12,-2a2+a+10,或a0,-2a2+a+10,-12a0，实数a的取值范围是-12,0).【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式的应用,考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)利用绝对值三角不等式f(x)-f(x+m)|m|,由题意可得|m|1,则结论易得;(2)分x12三种情况讨论去绝对值,求出函数g(x)min,解不等式g(x)min0,即可求出结果.
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